中考数学几何压轴题辅助线专题复习Word格式.docx

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①求证：

△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：

4，求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP

上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？

若变化，说明理由；

若不变，求出线段EF的长度．

精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°

的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°

，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．

（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？

若成立，加以证明；

若不成立，请说明理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

精选8、等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°

，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；

（1）如图

（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；

（2）如图

（2）

（3）如图（3），在等腰

精选9．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l、l、l、l上，这四条直线

中相邻两条之间的距离依次为、、h1h2h3（h10，h20，h30）

（1）求证：

h1h3；

22

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：

S（h1h2）2h12；

3

（3）若h1h21，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积

212

S随h1的变化情况．

参考答案

精选1

解：

∵Rt△ABC中，∠ABC=90°

，AB=3，BC=4，

∴AC===5，

∵DE垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°

，

∵AD∥BC，

∴∠A=∠C，

∴△AOD∽△CBA，

∴=，即=，解得AD=．

故答案为：

．

精选2

证明：

在AB上截取AG，使AG=AF，易证△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°

AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°

．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°

．易证△BDE≌△BDG（ASA）．∴DE＝DG＝DF．

精选3、

（1）连接OC．

∵PC为⊙O的切线，

∴PC⊥OC．

∴∠PCO=90度．

∵∠ACP=12°

∴∠ACO=3°

∵OC=OA，

∴∠A=∠ACO=30度．

∴∠BOC=6°

∵OC=4

∴

∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC=；

2）∠CMP的大小不变，∠CMP=4°

5

由

（1）知∠BOC+∠OPC=9°

0∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC）=45°

．

精选4、

（1）在Rt△ABE中，．（1分）过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，

∴△ODB∽△ACB，∴，∴∴点O到BC的距离为．（3分）

2）证明：

过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵△OEB∽△ACB，∴直线BC与⊙O相切．（5分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=，∵OF⊥AC，∴AP=2AF=．（7分）

3）；

（9分）（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，

又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．（10分）设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x，

∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，

∴，∴，

∴，∴，∴AP=2AG=．（12分）

精选5、

证法1：

（截长）如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；

证法2：

（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；

证法3：

（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，

易证△DCF为等边△，再证△BCF≌△ACD即可．

证法4：

（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．

设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形）托勒密定理：

CD·

a＋BD·

a＝AD·

a，得证．

精选6、

（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°

．由折叠可得：

AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．

∴∠APO=90°

∴∠APD=90°

﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP与△PDA的面积比为1：

4，

∴====．

∴．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°

，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

222∴x=（8﹣x）+4．

解得：

x=5．∴AB=AP=2OP=10．

∴边AB的长为10．

（2）如图1，

∵P是CD边的中点，∴DP=DC．

∵DC=AB，AB=AP，

∴DP=AP．

∵∠D=90°

∴sin∠DAP==．

∴∠DAP=30°

∵∠DAB=90°

，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°

∴∠OAB=30°

∴∠OAB的度数为30°

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由

（1）中的结论可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°

∴PB==4．

∴EF=PB=2．

∴在

（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2．

精选7、解：

（1）DF=DE．理由如下：

如答图1，连接BD．

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．

又∵∠A=60°

∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°

，∴∠DBE=∠A=60°

∵∠EDF=60°

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：

如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF与△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；

（3）由

（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．

依题意得：

y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60+°

×

2×

2sin6=0°

x+1）

2+．即

2+．

∵>

0，

∴该抛物线的开口方向向上，

精选8、

（1）解：

过点C作CF⊥y轴于点F，

∴∠AFC=90°

∴∠CAF+∠ACF=90°

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°

，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=9°

0，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．

在△ACF和△ABO中，

∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1

∴C（﹣1，﹣1）；

（2）证明：

过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∴∠ACG=∠BAC=90°

∴∠AGC+∠GAC=9°

0．

∵∠CAG+∠BAO=9°

0，

∴∠AGC=∠BAO．

∵∠ADO+∠DAO=9°

0，∠DAO+∠BAO=9°

0，∴∠ADO=∠BAO，

∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中

∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．

∵∠ACB=∠ABC=45°

∴∠DCE=∠GCE=4°

5，在△DCE和△GCE中，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠G，

∴∠ADB=∠CDE；

（3）解：

在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．

∵∠ADH=∠BAO．

∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，

∵∠AOB=∠EOB=9°

在△AOB和△EOB中，

∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．

∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，

∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．

精选9、

（1）证：

设AD与l2交于点E，BC与l3交于点F，

由已知BF∥ED，BE∥FD，

四边形BEDF是平行四边形，BEDF．

又ABCD，RtABE≌RtCDF．h1h3

（2）证：

作BGl4，DHl4，垂足分别为G、H，

在Rt△BGC和Rt△CHD中，

BCGDCH180BCD90，CDHDCH90．

BCGCDH．

又BGCCHD90，BCCD，

Rt△BGC≌Rt△CHD，CGDHh2．

222222

又BGh2h3，BCBGCG（h2h3）h2（h1h2）h1，

222SBC2（h1h2）2h21．

l1

l4

A

h1

l2

h2

l3

h3

H

G

C

33

3）解：

h1h21，h21h1，

224

55

2

h215h21h115h1

141141

32h10，h20，1h10，0h1．

23

222当0h1时，S随h1的增大而减小；

当h1时，

151513

Sh113h2

122

S随h1的增大而增大．