完整版导数练习题精编Word文档下载推荐.docx

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exf（x）1.

参考答案

1.

（1）函数fx极小值为

f01,无极大值;

⑵0,2e.

【解析】

试题分析：

（1）当a2时,

2x2

fxex

2,f'

x2e2x

2x2，通过二次求导可知

函数f'

x2e2x2x

2在R上单调递增，且

00，所以当x

0时f'

x0，当x0

时，f'

x0

因此函数fx在区间

0上单调递减，在区间

0,上单调递增,

所以fx的极小值点为

，无极大值点；

（2）对函数gx求导可得g'

X

2x八

2ea，分a

0和a0讨论，显然a0

时，g'

0，函数gx在R上单调递增，研究图象可知一定存在某个x00,使得在区间

xg

上函数

2x

的图象在函数yax的图象的下方,

e2x

ax不恒成立，舍去;

当a0时，函数

调递减

1一间一In

2:

上单调递增，

min

1ln

0，解得0

a2e.

函数fx

ax

的定义

当a2时，

2f'

2,易知函数

2e2x

2的定义域是R

上单调递增函数，且

00,所以令f'

0，得x0;

令f'

x

0，得

x0，所以函数

fx在区间

0

上单调递减，在区间

0,

上单调递增.所以函数fx极小值为f01,

无极大值.

（2）gx

22x2

x2ex

22x2x

2x2eax，贝Ug'

x2ea.

①当a0时,

g'

0恒成立，所以函数

x在R上单调递增,

且数形结合易知,

一定存在某个

X。

0,使得在区间

X°

上,

函数y

2x

e的图象在函数y

ax的图象的下方，即满足eax的图象即gx0.

所以g

x0不恒成立，故当

a0时，不符合题意，舍去;

②当a

0时,

令g'

x0，得x

-In-；

g'

22

0，得x

In-；

所以函数

在区间

上单调递增.

定义域R上的最小值为

0恒成立，则需满足gllna

0，即J2

1―a—In

hn?

0，即?

1

222

嗚0.

又因为a

0，所以1Ina00，

解得a

2e，所以0

综上，实数a的取值范围是0,2e.

最值

考点：

利用导数研究函数的单调性及极值、

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数

学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明fx的单调性,

来判断极值点的情况；

第二问是本题解答的难点，把gx0恒成立转化为求函数gx的最小值，按

照a的符号进行讨论，来判断gx的单调性，当a0时，gx单调递增，通过找反例排除，当a0时，求岀函数gx零点，判断其单调性，求岀其最小值，建立不等式求解

2•

（1）（0,1）；

（2）最小值为2-

（1）当m时，对f（x）求导求其单调增区间；

（2）先化简F（x）mx1为

F（x）（mx1）的最大值来求解

F（x）mx10,恒成立问题，转化为求G（x）

试题解析：

（1）f（x）

12cJ/、11x2门

Inxx，x0，f（x）x，（x0）.

2xx

'

2

由f（x）0得1x

0又x0，所以0x1，所以f（x）的单增区间为（0,1）.

（2）令G（x）F（x）

12

（mx1）Inxmx（1m）x1.

所以G（x）mx

mx（1m）x1

（1m）

当m0时，因为x0,所以G'

（x）0所以G（x）在（0,）上是递增函数,

3

又因为G

（1）-m20.

所以关于x的不等于G（x）mx1不能恒成立.

m（x—）（x1）

当m0时，g'

（x）m

11'

1'

令G（x）0得x，所以当x（0,）时，G（x）0；

当x（,）时，G（x）0，

mmm

11

因此函数G（x）在x（0,—）是增函数，在x（—,）是减函数.

mm

故函数G（x）的最大值为G（丄）Inm.

m2m

111

令h（m）Inm，因为h

（1）0，h

（2）In20.

2m24

所以整数m的最小值为2.

1.导数与单调性；

2.分类讨论的数学思想；

3.恒成立问题.

【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题，只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒成立问题，我们一般都需要对已知条件进行化简，如本题我们就化简F（x）mx1为

F（x）mx10,化简后右边为零，我们就可以转化为求G（x）F（x）（mx1）的最大值来求解借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解

3.

（1）函数f（x）在R上为减函数；

（2）证明见解析.

得出函数f（X）的单调性；

（2）对任

（1）对函数f（x）求导，利用函数的单调性与导数的关系

g（x）sinxax2ae,求导，利用导数，求出g（x）的最大值小于零

解:

（1）当a0时，f（x）ex（sinxe），x

f（x）在R上为减函数.

当x^（x0,）时，g（x）0，g（x）在区间（x0,）单调递减,

因此在区间[0,）上g（x）maxg（x°

）sinx°

ax°

2ae,

（2）设g（x）sinxax2ae,x[0,）,g（x）cosx2ax,

令h（x）g（x）

cosx2ax,x[0,），则h（x）sinx2a,

个整体，就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化，难度大，综合性强.

4.

（1）f11In2；

（2）证明见解析

最小值的范围即可证得结论

所以

g（x）min

g（x。

）

ex0

In2x0，又因为

X02

g（X0）e

X021

0，故e

X0

Ine

In丄

X°

Inx02

X0InX0,

g（xJ

In2x0e*2

In2Inx0

In22x0

x0,上单调递增,

利用导数研究函数的单调性、极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思

想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题

（1）中导函数的零点不能直接

求岀，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找岀极值点；

解答的难点是

（2）证明不等式，可

g（x）ex2In2x的最小值，这是本

利用函数fX的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数

题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解岀，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设岀极值点,表示岀函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧5.

（1）当a0时，x0，f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,）上单调递增，f（x）有极小值

x1

0）上单调递增，无

f

（1）1Ina；

当a0时，x0，f（x）0，所以f（x）在（

极值；

（2）（,e）.

（1）求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；

（2）分离参数，将

不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值.

（1）因为f（x）xInax,a

0,aR，

所以当a

0时，f（x）的定义域为（0,

）；

当a0，

f（x）的定义域为（，0）.

又f（x）

xInaxxInxIna，

1x1f（x）1■

xx

故当a0时，x0，f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,）上单调递增,

f（x）有极小值f

（1）1Ina；

当a

0时，

x0，f（x）

0，所以f（x）在（

0）上单调递增，无极值

（2）

解法一：

1时，

f（x）xInx

，由

（1）知当且仅当x1时，

f（x）min1，

因为

（x）

1x

—,x0,所以g（x）在（0,1）上单调递增，在e

（1,）上单调递减，

当且仅当x

1时，g（x）max

当m

由于g（x）三

0,f（x）min1，所以f（x）

mg（x）恒成立；

当m0时，[mg（x）]max£

，

解法二:

所以F（x）minF

（1）e.

故当me时，不等式f（x）mg（x）恒成立.

1.导数在研究函数中的应用；

2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用.

【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综

合性较强，属于难题；

利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用f（x）M恒成立

f（x）minM转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.

6.

（1）

f（x）xInxx

1;

（2）见解析.

试题分析:

（1）求导，由f

（1）1求出a即可；

（2）“函数yf（x）xex

x2的图象在直线

yx

1的下方”等价于

Inxe10，构造函数h（x）Inxe1，

，求导，研究函数

X

h（x）Inxe1的单调性与最值，证h（x）max0即可.

对

f（x）求导，得f（x）1

Inx2ax，f

（1）1

2a

1，a

1，

f（x）

xInxx21

（2）

证明

:

“函数yf（x）xex

x的图象在直线y

1的下方”

等价于即要证

xe

10，所以只要证.h（x）

Inxex1，h（x）

ex，x趋于

0时，h（x）0，

存在一个极值Xo（0,1）使得e"

丄等价于h（x）Inx0丄1（0x01）所以h（x）0

XoX

故函数yf（x）xex的图象在直线yx1的下方.2

1.导数的运算法则；

2.导数与函数的单调性、极值、最值；

3.函数与不等式.

21

7.

（1）fx的单调区间为2e,,,0，单调减区间为0,2e；

（2）me2.

（1）根据fx在点1,f1处的切线与直线12exy40平行，可得

f'

112e，据此可求得m，研究fx的符号变化即得函数fx的单调区间；

（2）若对任意的

X1,X20,，若gX1fX2恒成立，则有gxmaxfX皿山，分别求出fX皿山和

1lnx

（2）gx

2x0，令gx

20

0xe

gX的最大值即可求得m的取值范围

（1）

2'

x2exm，Qf

112e

m1

2e,m0

即f'

2X

2ex

xx2e，令fx

0，解得x

2e或x

0，

函数gx的单调为0,e，单调减区间为e,

当X

e时，gx

1'

max_，又f

XX

2exm

xeme，

fXminme

Q

g

X1f

X2

恒成立，

me

导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及给定区间山的最值问题，属于中档题.利用导数的几何意义求曲线上某点的切线是导数中最常见的问题之一，关键是把好审题关，判断给岀的点是否是切点，利用导数研究函数的单调性常用列表或串根法判断导数的符号，有时还要讨论，本题的难点是

（2）中的转化问题，涉及到两个变量的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问题

8.（I）

f（x）的单调增区间为（丄，

），f（x）的单调减区间为（0,丄）；

（n）当a0时，

F（x）无极

值；

0时，F（x）有极大值-

ln，无极小值.（山）证明详见解析.

V2a

（I）利用一阶导数的符号来求单调区间.（H）对a进行分类讨论，F（x）的极值.

（山）把证

明不等式转化求函数的最小值大于0.

Tg（x）

-,•-g（0.5）e22

1.72

0,

g

（1）e10

又g（x）

在（0,）上单调递增

•方程g

0有唯一的实根xt，且t

（0.5,1）

T当x

（0,t）

时，g（x）g（t）0•当

x（t,

）时,

g（x）g（t）0

•当x

t时，

g（x）minetInt

0），则即证g（x）

（山）证明：

设

g（x）

2，只要证g（x）min2.

exInx（x

Tg（t）0即et1，则te1•-g（x）min1Inel1t2#*2

•原命题得证.

求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值.

【方法点睛】

（1）解含参数a的不等式，需要对a进行分类讨论，是本题的亮点，也是本题的难点之一.

（2）

把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一.（3）在求最小值的过程中，对零点t设而不

求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方.（4）本题题干简洁，但是内涵

丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长.

9.（I）fx的单调递增区间是0一並；

（U）详见解析；

（山）,1

，2

【解析】试题分析：

（I）求导，令导数大于0得增区间.（H）令Fx

fxx1，求导，讨论导数的

0即可.（山）由（H）知k1或

正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最大值小于

减区间.；

根据单调性可得其最大值，

使其最大值大于

0即可.

‘xx

1c

试题解析

（

I）fx

，x0

x0

5

由fX

0得2

解得0x

故fX

的单调递增区间是

15

（n）令

F

xfx

1，x0,

则有F

1x2

当x

1,

时，Fx

所以Fx在1,

上单调递减,

（山）由（n）知，

当k

1时，不存在

1满足题意.

当k1时,

对于

x1,

有f

kx

1，则f

xkx1，从而不存在xq1满

足题意.

令G

fx

1:

x

0,,

则有Gx

k

由Gx

0得,

kx1

用导数研究函数的性质.

（H）函

（I）求岀导函数，由导函数大于零求解，由导数小于零求解，然后总结岀单调区间;

值大于2即可.

（I）f（x）

1（x0）

令f（x）0，即InX1

故f（x）的增区间为（一，）

令f（x）0,即Inx1

0,得

故f（x）的减区间为（0,丄）；

二f（x）的单调增区间为（丄,

），

f（x）的单调减区间为（0,—）

（n）F（x）axInx

1（x

0）

12ax2

f（X）2ax

（X

当a0时，恒有F（x）0

F（x）在（0,）上为增函数,

故F（x）在x（0,）上无极值;

当a0时，令F（x）0，得x.

x（0,J”）,F（x）0,F（x）单调递增，

x（J右），F（x）0,F（x）单调递减.

!

11j1

八F极大值（x）F（{2^）2"

\；

石，F（x）无极小值;

综上所述：

a0时，F（x）无极值

0时，F（x）有极大值1

设g（x）exInx（x0），则即证g（x）2，只要证g（x）min2

vg（x）

1--，•-g（0.5）e22

1.720，g

（1）e10

—在（0,）上单调递增

二方程g

（0.5,1）•

：

（0,t）时，g（x）g（t）

0•当x（t,

）时，g（x）

g（t）0

二当x

t时，g（x）minet

Int

g（t）

0即et，则t

t

te

•-g（x）min-

Inet-

t2t12

原命题得证

导数法求函数的单调区间；

由极值求参数范围；

证明不等式.

【方法点睛】含参数的单调性问题，主要是对参数如何分类，常求岀导函数并进行因式分解，然后求岀导函数等于零时的根，按照根的大小关系及根与零点的大小关系与参数的关系进行分类，最后求岀每一类的单调性即可；

对于不等式证明，常常移向，将一边看成函数，从而转化为求最值问题•例如：

本题的不等

式等价于exInx2，构造函数，设g（x）exInx（x0），则不等式等价于g（x）min2，然

后求函数g（x）的最小值且最小值大于2即可.