特殊的平行四边形能力提升训练Word格式文档下载.docx
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C.22.5°
D.135°
8.如图,▱ABCD中,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,∠EDF=60°
,AE=2cm,则AD=( )
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
9.如图:
长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠,使点B与点D重合.折痕为EF,则DE长为( )
A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm
10.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图
(1)),再打开,得到如图
(2)所示的小菱形的面积为( )
A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm2
11.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为( )
A.
B.2C.
D.1
二、填空题
12.已知菱形的边长为6,一个内角为60°
,则菱形较短的对角线长是 .
13.如图,矩形ABCD的两条线段交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F,连接CE,已知△CDE的周长为24cm,则矩形ABCD的周长是 cm.
14.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为 .
3、解答题
15.已知:
如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:
∠AEF=∠AFE.
16.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOD=60°
,AB=
,AE⊥BD于点E,求OE的长.
17.如图,菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:
四边形OBEC是矩形.
18.如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证:
AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
19.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°
.将△DAE绕点D逆时针旋转90°
,得到△DCM.
EF=FM;
(2)当AE=1时,求EF的长.
一、选择题(12小题,每小题3分,共36分)
1.(3分)下列命题中,真命题是( )
A.两条对角线垂直的四边形是菱形
B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
【解答】解:
A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形,故选项A错误;
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形,故选项B错误;
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形,故选项C错误;
D、根据矩形的判定定理,两条对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故选项D正确;
故选D.
2.(3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直B.对角线相等
C.对角线互相平分D.对角互补
A、菱形对角线相互垂直,而矩形的对角线则不垂直;
故本选项符合要求;
B、矩形的对角线相等,而菱形的不具备这一性质;
故本选项不符合要求;
C、菱形和矩形的对角线都互相平分;
D、菱形对角相等;
但菱形不具备对角互补,故本选项不符合要求;
故选A.
3.(3分)顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形满足条件的是( )
如图点E,F,G,H分别是梯形各边的中点,且四边形EFGH是矩形.
∵点E,F,G,H分别是梯形各边的中点,且四边形EFGH是矩形.
∴∠FEH=90°
,EF∥BD∥HG,FG∥AC∥EH,EF≠GH.
∴AC⊥BD.
①平行四边形的对角线不一定互相垂直,故①错误;
②菱形的对角线互相垂直,故②正确;
③对角线相等的四边形,故③错误;
④对角线互相垂直的四边形,故④正确.
综上所述,正确的结论是:
②④.
故选:
D.
4.(3分)既是中心对称图形又是轴对称图形,且只有两条对称轴的四边形是( )
A.正方形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形
正方形是轴对称图形,也是中心对称图形,有4条对称轴;
矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,有2条对称轴;
菱形是轴对称图形,也是中心对称图形,有2条对称轴.
5.(3分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( )
A.3.5B.4C.7D.14
∵菱形ABCD的周长为28,
∴AB=28÷
4=7,OB=OD,
∵H为AD边中点,
∴OH是△ABD的中位线,
∴OH=
AB=
×
7=3.5.
6.(3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°
A.1cmB.2cmC.1.5cmD.
∵Rt△ABC中,AC=
cm,且∠ACB=90°
,
∴AB=2
∴AB边上的中线CD=
cm.
7.(3分)如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=( )
B.45°
C.22.5°
D.135°
因为AC为正方形ABCD的对角线,则∠CAE=45°
,又因为菱形的每一条对角线平分一组对角,则∠FAB=22.5°
C.
8.(3分)如图,▱ABCD中,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E、F,∠EDF=60°
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,
∴∠CDE=∠AED,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°
∴∠CDE=90°
∵∠EDF=60°
∴∠CDF=30°
∵DF⊥BC,
∴∠DFC=90°
∴∠C=60°
∴∠A=60°
∴∠ADE=30°
∴AD=2DE,
∵AE=2,
∴AD=2×
2=4(cm);
9.(3分)如图:
长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠,使点B与点D重合.折痕为EF,则DE长为( )
A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm
设DE=xcm,则BE=DE=x,AE=AB﹣BE=10﹣x,
在Rt△ADE中,DE2=AE2+AD2,
即x2=(10﹣x)2+16.
解得:
x=5.8.
故选C.
10.(3分)如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图
(1)),再打开,得到如图
(2)所示的小菱形的面积为( )
由题意可得:
图1中矩形的长为5cm,宽为4cm,
∵虚线的端点为矩形两邻边中点,
∴AC=4cm,BD=5cm,
∴如图
(2)所示的小菱形的面积为:
4×
5=10(cm2).
11.(3分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为( )
D.1
二、填空题(每小题3分,共12分)
12.(3分)已知菱形的边长为6,一个内角为60°
,则菱形较短的对角线长是 6 .
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∵∠A=60°
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=6.
∴菱形较短的对角线长是6.
故答案为6.
13.(3分)如图,矩形ABCD的两条线段交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F,连接CE,已知△CDE的周长为24cm,则矩形ABCD的周长是 48 cm.
∵OA=OC,EF⊥AC,
∴AE=CE,
∵矩形ABCD的周长=2(AE+DE+CD),
∵DE+CD+CE=24,∴矩形ABCD的周长=2(AE+DE+CD)=48cm.
14.(3分)如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为
.
作E关于直线AC的对称点E′,连接E′F,则E′F即为所求,
过F作FG⊥CD于G,
在Rt△E′FG中,
GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1,GF=4,
所以E′F=
=
.
故答案为:
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知:
【解答】证明:
∵ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
又∵EB=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE.
16.(7分)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOD=60°
∵对角线相等且互相平分,
∴OA=OD
∵∠AOD=60°
∴△AOD为等边三角形,则OA=AD,
BD=2DO,AB=
AD,
∴AD=2,
∵AE⊥BD,∴E为OD的中点
∴OE=
OD=
AD=1,
答:
OE的长度为1.
17.(7分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:
∵BE∥AC,CE∥DB,
∴四边形OBEC是平行四边形,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°
,∴平行四边形OBEC是矩形.
18.(8分)如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
(1)∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF,
同理∠DAE=∠FDA,
∵AD=DA,
∴△ADE≌△DAF,
∴AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,四边形AEDF是菱形,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴∠DAF=∠FDA.
∴AF=DF.
∴平行四边形AEDF为菱形.
19.(8分)正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°
(1)证明:
∵△DAE逆时针旋转90°
得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°
∴F、C、M三点共线,
∴DE=DM,∠EDM=90°
∴∠EDF+∠FDM=90°
∵∠EDF=45°
∴∠FDM=∠EDF=45°
在△DEF和△DMF中,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF;
(2)设EF=MF=x,
∵AE=CM=1,且BC=3,
∴BM=BC+CM=3+1=4,
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x,
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2,
在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即22+(4﹣x)2=x2,
x=
则EF=
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- 特殊 平行四边形 能力 提升 训练