勾股定理全章分类练习题及答案Word格式.docx

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，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

（2）若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

（3）若c－a＝4，b＝16，求a、c；

（4）若∠A＝30°

，c＝24，求c边上的高hc；

（5）若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

综合、运用、诊断

一、选择题

10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有（）．

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）4个

二、填空题

11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．

12．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝30°

，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

拓展、探究、思考

14．如图，△ABC中，∠C＝90°

．

（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S1＋S2与S3的关系；

图①

（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究S1＋S2与S3的关系；

图②

（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S1＋S2与S3的关系．

图③

测试2勾股定理

（二）

掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．

2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．

3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．

3题图

4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

4题图

5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）．

（A）5m（B）7m（C）8m（D）10m

6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；

另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?

9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°

时，其影长AC为____

__米．

10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______（取3）

二、解答题：

11．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°

角，作业时调整为60°

角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?

若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

测试3勾股定理（三）

熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°

，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．

2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．

3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°

，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．

4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为______．

5．在△ABC中，若∠ACB＝120°

，AC＝BC，AB边上的高CD＝3，则AC＝______，AB＝______，BC边上的高AE＝______．

6．已知直角三角形的周长为

，斜边为2，则该三角形的面积是（）．

（B）

（C）

（D）1

7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（）．

或

（D）

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝

求AB的长．

9．在数轴上画出表示

及

的点．

10．如图，△ABC中，∠A＝90°

，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

13．已知：

如图，△ABC中，∠C＝90°

，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：

AE2＋BF2＝EF2．

14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°

，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?

15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．

测试4勾股定理的逆定理

掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．

2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）6、8、10，

（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．（填序号）

4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；

②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；

③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．

5．若△ABC中，（b－a）（b＋a）＝c2，则∠B＝____________；

6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．

7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中a为正整数），则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．

8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．

9．下列线段不能组成直角三角形的是（）．

（A）a＝6，b＝8，c＝10（B）

10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是（）．

（A）1∶1∶2（B）1∶3∶4

（C）9∶25∶26（D）25∶144∶169

11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m（其中m2＝2n＋1），则此三角形（）．

（A）一定是等边三角形（B）一定是等腰三角形

（C）一定是直角三角形（D）形状无法确定

一、解答题

12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

14．已知：

如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝

，求证：

AF⊥FE．

16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

18．观察下列各式：

32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?

请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

参考答案

第十八章勾股定理

1．a2＋b2，勾股定理．2．

（1）13；

（2）9；

（3）2，

；

（4）1，

3．

．4．5

，5．5．132cm．6．A．7．B．8．C．

9．

（1）a＝45cm．b＝60cm；

（2）540；

（3）a＝30，c＝34；

（4）6

（5）12．

10．B．11．

12．4．13．

14．

（1）S1＋S2＝S3；

（2）S1＋S2＝S3；

（3）S1＋S2＝S3．

1．13或

2．5．3．2．4．10．

5．C．6．A．7．15米．8．

米．

9．

10．25．11．

12．7米，420元．

13．10万元．提示：

作A点关于CD的对称点A′，连结A′B，与CD交点为O．

1．

2．16，．3．5

，5．4．

5．6，

，

．6．C．7．D

8．

提示：

设BD＝DC＝m，CE＝EA＝k，则k2＋4m2＝40，4k2＋m2＝25．AB＝

图略．

10．BD＝5．提示：

设BD＝x，则CD＝30－x．在Rt△ACD中根据勾股定理列出（30－x）2＝（x＋10）2＋202，解得x＝5．

11．BE＝5．提示：

设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴32＋（9－x）2＝x2．解得x＝5．

12．EC＝3cm．提示：

设EC＝x，则DE＝EF＝8－x，AF＝AD＝10，BF＝

，CF＝4．在Rt△CEF中（8－x）2＝x2＋42，解得x＝3．

13．提示：

延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．

14．提示：

过A，C分别作l3的垂线，垂足分别为M，N，则易得△AMB≌△BNC，则

15．128，2n－1．

1．直角，逆定理．2．互逆命题，逆命题．3．

（1）

（2）（3）．

4．①锐角；

②直角；

③钝角．5．90°

．6．直角．

7．24．提示：

7＜a＜9，∴a＝8．8．13，直角三角形．提示：

7＜c＜17．

9．D．10．C．11．C．

12．CD＝9．13．

连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2＋EF2＝AE2得结论．

15．南偏东30°

16．直角三角形．提示：

原式变为（a－5）2＋（b－12）2＋（c－13）2＝0．

17．等腰三角形或直角三角形．提示：

原式可变形为（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0．

18．352＋122＝372，[（n＋1）2－1]2＋[2（n＋1）]2＝[（n＋1）2＋1]2．（n≥1且n为整数）

第十八章勾股定理全章测试

一、填空题

1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．

2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．

3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．

4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°

，∠ACB＝45°

，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

5．已知：

，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．

5题图

6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

6题图

7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．

8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

8题图

9．下列三角形中，是直角三角形的是（）

（A）三角形的三边满足关系a＋b＝c（B）三角形的三边比为1∶2∶3

（C）三角形的一边等于另一边的一半（D）三角形的三边为9，40，41

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）．

10题图

（A）450a元（B）225a元

（C）150a元（D）300a元

11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°

，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）．

（A）2（B）3

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°

，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于（）．

（A）5（B）

如图，△ABC中，∠CAB＝120°

，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°

，∠B＝∠D＝90°

，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．

15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP2＋PB·

PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．

16．已知：

△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?

如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?

18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．

图1图2图3

（1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：

所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；

画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；

（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值?

若是定值，请直接写出这个定值；

若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；

（3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值?

若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．

19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

1．8．2．

3．

4．30．5．2．

6．3．提示：

设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，

CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．

7．

8．6．提示：

延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．

9．D．10．C11．C．12．B

13．

作CE⊥AB于E可得

由勾股定理得

由三角形面积公式计算AD长．

14．150m2．提示：

延长BC，AD交于E．

15．提示：

过A作AH⊥BC于H

AP2＋PB·

PC＝AH2＋PH2＋（BH－PH）（CH＋PH）

＝AH2＋PH2＋BH2－PH2

＝AH2＋BH2＝AB2＝16．

16．14或4．

17．10；

18．

（1）略；

（2）定值，12；

（3）不是定值，

19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝8，BC＝6

由勾股定理得：

AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况．

①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6得△ABD的周长为32m．

图1

②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD＝4

图2

，得△ABD的周长为

③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，

图3