第5章⑶协整分析与误差修正模型图文文档格式.docx
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ΔYt=α1ΔXt+vt
式中,vt=μt-μt-1。
5
实际情况往往并非如此
如果t-1期末,发生了上述第二种情况,即Y的值小于其均衡值,则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化ΔYt大一些;
反之,如果Y的值大于其均衡值,则Y的变化往往会小于第一种情形下的ΔYt。
可见,如果Yt=α0+α1Xt+μt正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。
因此,一个重要的假设就是:
随机扰动项μt必须是平稳序列。
显然,如果μt有随机性趋势(上升或下降),则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。
6
式Yt=α0+α1Xt+μt中的随机扰动项也被称为非均衡误差(disequilibriumerror),它是变量X与Y的一个线性组合:
μt=Yt−α0−α1Xt(*
因此,如果Yt=α0+α1Xt+μt式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话,(*)式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列,并且具有零期望值,即是具有0均值的I(0序列。
从这里已看到,非稳定的时间序列,它们的线性组合也可能成为平稳的。
例如:
假设Yt=α0+α1Xt+μt式中的X与Y是I(1序列,如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话,则意味着由非均衡误差(*)式给出的线性组合是I(0序列。
这时我们称变量X与Y是协整的(cointegrated)。
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⒉协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整,存在向量
α=(α1,α2,…,αk,使得
Zt=αXT~I(d-b
其中,b>
0,X=(X1t,X2t,…,XktT,则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b阶协整,记为Xt~CI(d,b,α为协整向量(cointegratedvector)。
在中国居民人均消费与人均GDP的例中,该两序列都是2阶单整序列,而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列,于是认为该两序列是(2,2阶协整。
由此可见:
如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整阶数相同时,才可能协整;
如果它们的单整阶数不相同,就不可能协整。
8
三个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有可能经过线性组合构成低阶单整变量。
例如,如果存在:
Wt~I(1,Vt~I(2,Ut~I(2
并且
Pt=aVt+bUt~I(1
Qt=cWt+ePt~I(0
那么认为:
Vt,Ut~CI(2,1
Wt,Pt~CI(1,1
9
从协整的定义可以看出:
(d,d)阶协整是一类非常重要的协整关系,它的经济意义在于:
两个变量,虽然它们具有各自的长期波动规律,但是如果它们是(d,d)阶协整的,则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。
前面提到的中国CPC和GDPPC,它们各自都是2阶单整,并且将会看到,它们是(2,2阶协整,说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系,从计量经济学模型的意义上讲,建立如下居民人均消费函数模型
CPCt=α0+α1GDPPCt+μt
变量选择是合理的,随机误差项一定是“白噪声”(即均值为0,方差不变的稳定随机序列),模型参数有合理的经济解释。
这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的,但却可以用
10经典的回归分析方法建立回归模型的原因。
•从这里,我们已经初步认识到:
检验变量之间的协整关系,在建立计量经济学模型中是非常重要的。
而且,从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量,其数据基础是牢固的,其统计性质是优良的。
11
12
1、两变量的Engle-Granger检验
为了检验两变量Yt,Xt是否为协整,Engle和Granger于1987年提出两步检验法,也称为EG检验。
第一步,用OLS方法估计方程Yt=α0+α1Xt+μt并计算非均衡误差,得到:
ˆ=αˆ0+αˆ1XtYt
ˆˆ=Y−Ye
t
称为协整回归(cointegrating或静态回归(staticregression。
t的单整性。
如果et为稳定序列,则认为变量Yt,Xt第二步,检验e
t为1阶单整,为(1,1阶协整;
如果e则认为变量Yt,Xt为(2,1阶协整;
…。
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t的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。
e
由于协整回归中已含有截距项,则检验模型中无需再用截距项。
如使用模型1
Δet=δet−1+∑θiΔet−i+εt
i=1p
进行检验时,拒绝零假设H0:
δ=0,意味着误差项et是平稳序列,从而说明X与Y间是协整的。
需要注意是,这里的DF或ADF检验是针对协整回
t而非真正的非均衡误差μt进行的。
归计算出的误差项e
而OLS法采用了残差最小平方和原理,因此估计量
δ是向下偏倚的,这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。
于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。
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•MacKinnon(1991通过模拟试验给出了协整检验的临界值,表9.3.1是双变量情形下不同样本容量的临界值。
表9.3.1双变量协整ADF检验临界值
样本容量2550100∝
0.01-4.37-4.12-4.01-3.90
显著性水平
0.05-3.59-3.46-3.39-3.33
0.10-3.22-3.13-3.09-3.05
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•例9.3.1检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整关系。
在前文已知CPC与GDPPC都是I(2序列,而§
2.10中已给出了它们的回归式
CPCt=49.764106+0.45831GDPPCtR2=0.9981
通过对该式计算的残差序列作ADF检验,得适当检验模型ˆt=−1.55eˆt−1+1.49Δeˆt−1+2.27Δeˆt−3Δe
(-4.47)(3.93(3.05
LM(1=0.00LM(2=0.00
t=-4.47<
-3.75=ADF0.05,拒绝存在单位根的假设,残差项是稳定的,因此中国居民人均消费水平与人均GDP是(2,2阶协整的,说明了该两变量间存在长期稳定的“均衡”关系。
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2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些,主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。
假设有4个I(1变量Z、X、Y、W,它们有如下的长期均衡关系:
Zt=α0+α1Wt+α2Xt+α3Yt+μt(*
其中,非均衡误差项μt应是I(0序列:
μt=Zt−α0−α1Wt−α2Xt−α3Yt(**
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•然而,如果Z与W,X与Y间分别存在长期均衡关系:
Zt=β0+β1Wt+v1t
Xt=γ0+γ1Yt+v2t
则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0。
于是它们的任意线性组合也是稳定的。
例如
vt=v1t+v2t=Zt−β0−γ0−β1Wt+Xt−γ1Yt(***
一定是I(0序列。
由于vt象(**)式中的μt一样,也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合,由此(***)式也成为该四变量的另一稳定线性组合。
(1,-α0,-α1,-α2,-α3)是对应于(**)式的协整向量,(1,-β0-γ0,-β1,1,-γ1)是对应于(***)式的协整向量。
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检验程序:
对于多变量的协整检验过程,基本与双变量情形相同,即需检验变量是否具有同阶单整性,以及是否存在稳定的线性组合。
在检验是否存在稳定的线性组合时,如果不平稳,。
当所有的变量都被作为被解释变量检验之后,仍不能得到平稳的残差项序列,则认为这些变量间不存在(d,d)阶协整。
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同样地,表9.3.2给出了MacKinnon(1991通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。
表9.3.2多变量协整检验ADF临界值
样本
容量
25
50
100
∝变量数=3显著性水平0.010.050.1-4.92-4.1-3.71-4.59-3.92-3.58-4.44-3.83-3.51-4.30-3.74-3.45变量数=4显著性水平0.010.050.1-5.43-4.56-4.15-5.02-4.32-3.98-4.83-4.21-3.89-4.65-4.1-3.81变量数=6显著性水平0.010.050.1-6.36-5.41-4.96-5.78-5.05-4.69-5.51-4.88-4.56-5.24-4.7-4.42
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2、多变量协整关系的检验—JJ检验
•Johansen于1988年,以及与Juselius于1990年提出了一种用极大或然法进行检验的方法,通常称为JJ检验。
•《高等计量经济学》(清华大学出版社,2000年9月)P279-282.
•E-views中有JJ检验的功能。
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22三、误差修正模型
然而,这种做法会引起两个问题:
(1如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系
且误差项μt不存在序列相关,则差分式
ΔYt=α1ΔXt+νt
中的νt是一个一阶移动平均时间序列,因而是序列相关的;
(2如果采用差分形式进行估计,则关于变量水平值的重要信息将被忽略,这时模型只表达了X与Y间的短期关系,而没有揭示它们间的长期关系。
因为,从长期均衡的观点看,Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化,还取决于X与Y在t-1期末的状态,尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。
另外,使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。
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例如,使用ΔYt=α1ΔXt+νt回归时,很少出现截距项显著为零的情况,即我们常常会得到如下形式的方程:
ˆ0+αˆ1ΔXt+vtΔYt=αˆ0≠0α(*
在X保持不变时,如果模型存在静态均衡(staticequilibrium),Y也会保持它的长期均衡值不变。
但如果使用(*)式,即使X保持不变,Y也会处于长期上升或下降的过程中(Why?
,这意味着X与Y间不存在静态均衡。
这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。
可见,简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题,因此,误差修正模型便应运而生。
误差修正模型(ErrorCorrectionModel,简记为ECM)是一种具有特定形式的计量经济学模型,它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的,称为DHSY模型。
为了便于理解,我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。
假设两变量X与Y的长期均衡关系为:
由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上,因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系,假设具有如下(1,1阶分布滞后形式
Yt=β0+β1Xt+β2Xt−1+μYt−1+εt
该模型显示出第t期的Y值,不仅与X的变化有关,而且与t-1期X与Y的状态值有关。
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ΔYt=β1ΔXt−λ(Yt−1−α0−α1Xt−1+εt
(**)式可以写成:
ΔYt=β1ΔXt−λecm+εt(**)称为一阶误差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel。
(***)
其中:
ecm表示误差修正项。
由分布滞后模型
知,一般情况下|μ|<
1,由关系式λ=1-μ得0<
λ<
1。
可以据此分析ecm的修正作用:
(1若(t-1时刻Y大于其长期均衡解α0+α1X,ecm为正,则(-λecm为负,使得ΔYt减少;
(2若(t-1时刻Y小于其长期均衡解α0+α1X,ecm为负,则(-λecm为正,使得ΔYt增大。
(***)体现了长期非均衡误差对的控制。
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需要注意的是:
在实际分析中,变量常以对数的形式出现。
其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率,而经济变量的变化率常常是稳定序列,因此适合于包含在经典回归方程中。
于是:
(1长期均衡模型
中的α1可视为Y关于X的长期弹性(long-runelasticity)
(2短期非均衡模型
Yt=β0+β1Xt+β2Xt-1+μYt-1+εt
中的β1可视为Y关于X的短期弹性(short-runelasticity)。
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2、误差修正模型的建立
(1)Granger表述定理
误差修正模型有许多明显的优点:
如
a)一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素,从而避免了虚假回归问题;
b)一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题;
c)误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视;
d)由于误差修正项本身的平稳性,使得该模型可以用经典的回归方法进行估计,尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取;
等等。
因此,一个重要的问题就是:
?
32
就此问题,Engle与Granger1987年提出了著名的Grange表述定理(Grangerrepresentaiontheorem):
如果变量X与Y是协整的,则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述:
ΔYt=lagged(ΔY,ΔX−λμt−1+εt0<
1(*)
式中,μ
λ是t-1是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差
项,短期调整参数。
对于(1,1阶自回归分布滞后模型
如果Yt~I(1,Xt~I(1;
那么
的左边ΔYt~I(0,右边的ΔXt~I(0,因此,只有Y与X协整,才能保证右边也是I(0。
33
因此,建立误差修正模型,需要
首先对变量进行协整分析,以发现变量之间的协整关系,即长期均衡关系,并以这种关系构成误差修正项。
然后建立短期模型,将误差修正项看作一个解释变量,连同其它反映短期波动的解释变量一起,建立短期模型,即误差修正模型。
注意,由于
ΔY=lagged(ΔY,ΔX+λμt-1+εt0<
中没有明确指出Y与X的滞后项数,因此,可以是多个;
同时,由于一阶差分项是I(0变量,因此模型中也允许使用X的非滞后差分项ΔXt。
Granger表述定理可类似地推广到多个变量的情形中去。
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(2)Engle-Granger两步法
由协整与误差修正模型的的关系,可以得到误差修正模型建立的E-G两步法:
第一步,进行协整回归(OLS法),检验变量间的协整关系,估计协整向量(长期均衡关系参数);
第二步,若协整性存在,则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中,并用OLS法估计相应参数。
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(3)直接估计法
也可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计模型。
但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。
如对双变量误差修正模型
ΔYt=β1ΔXt−λ(Yt−1−α0−α1Xt−1+εt可打开非均衡误差项的括号直接估计下式:
ΔYt=λα0+β1ΔXt−λYt−1+λα1Xt−1+εt
这时短期弹性与长期弹性可一并获得。
需注意的是,用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。
36
例9.3.2中国居民消费的误差修正模型
经济理论指出,居民消费支出是其实际收入的函数。
以中国国民核算中的居民消费支出经过居民消费价格指数缩减得到中国居民实际消费支出时间序列(C);
以支出法GDP对居民消费价格指数缩减近似地代表国民收入时间序列(GDP
时间段为1978~2000(表9.3.3)
表9.3.31978~1998年间中国实际居民消费与实际GDP数据(单位:
亿元,1990年价)年份1978197919801981198219831984
CGDP年份3810426245815023542359006633
7809865889989454103801126512933
198********71988198919901991
CGDP年份
7579802586169286878891139977
14521157141703117889169761832020581
199********41995199619971998
C11325124281328814693161891707218230
GDP
23509273402981531907344063668439008
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(1)对数据lnC与lnGDP进行单整检验
容易验证lnC与lnGDP是一阶单整的,它们适合的检验模型如下:
ΔlnCt=0.056−0.744ΔlnCt−1(2.76(-3.23
LM(1=0.929LM(2=1.121
2
Δ2lnGDPt=0.13−1.54ΔlnGDPt−1+0.81Δ2lnGDPt−1+0.59Δ2lnGDPt−2+0.58Δ2lnGDPt−3
(3.81(-4.01)
(2.66)
(2.26)
(2.54)
LM(1=0.38LM(2=0.67LM(3=2.34LM(4=2.46
38
(2)检验lnC与lnGDP的协整性,并建立长期均衡关系首先,建立lnC与lnGDP的回归模型
lnCt=0.047+0.923lnGDPt
(0.30)(57.48R2=0.994DW=0.744
发现有残关项有较强的一阶自相关性。
考虑加入适当的滞后项,得lnC与lnGDP的分布滞后模型
lnCt=0.152+0.698lnGDPt+0.622lnCt−1−0.361lnGDPt−1
(1.63(6.62)(4.92)(-2.17)
R2=0.994DW=1.92LM(1=0.00LM(2=2.31
自相关性消除,因此可初步认为是lnC与lnGDP的长期稳定关系。
(*
39
残差项的稳定性检验:
ˆt=−0.9975eˆt−1Δe
(-4.32)
R2=0.994DW=2.01LM(1=0.04LM(2=1.34
t=-4.32<
-3.64=ADF0.05
说明lnC与lnGDP是(1,1)阶协整的,(*)式即为它们长期稳定的均衡关系:
40
(3)建立误差修正模型ˆt做为误差修正项,可建立如下•以稳定的时间序列e误差修正模型:
ˆt−1ΔlnCt=0.686ΔlnGDPt+0.784ΔlnCt−1−0.484ΔlnGDPt−1−1.163e(**(6.96)R2=0.994(2.96DW=2.06(-1.91LM(1=0.70(-3.15LM(2=2.04由(*式lnCt=0.152+0.698lnGDPt+0.622lnCt−1−0.361lnGDPt−1可得lnC关于lnGDP的长期弹性:
(0.698-0.361/(1-0.622=0.892;
由(**)式可得lnC关于lnGDP的短期弹性:
0.68641
下面用打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正模型,适当估计式为:
ΔlnCt=0.153+0.698ΔlnGDPt−0.378lnCt−1+0.337lnGDPt−1(1.63)(6.62)(-2.99(2.88R2=0.791=0.0064DW=1.93LM(2=2.31LM(3=2.78写成误差修正模型的形式如下ΔlnCt=0.698ΔlnGDPt−0.378(lnCt−1−0.405−0.892lnGDPt−1(***由(***)式知,lnC关于lnGDP的短期弹性为0.698,长期弹性为0.892。
可见两种方法的结果非常接近。
42
(4)预测由(*式lnCt=0.152+0.698lnGDPt+0.622lnCt−1−0.361lnGDPt−1给出1998年关于长期均衡点的偏差:
ˆ98=ln(18230-0.152-0.698ln(39008-0.662ln(17072e+0.361ln(36684=0.0125由(**)式ˆt−1ΔlnCt=0.686ΔlnGDPt+0.784ΔlnCt−1−
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