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b
W=[g(x)dx,
作线性变换y=(x-a)(x-b),即可化成[0,1]区间上的积分。
进一步若
则0乞f(y)<
1此时有
b1
W=ag(x)dx=So0f(y)dy+c(b-a),
其中$=2-a)(d-c)。
这说明以上方法带有普遍性。
二、广义积分计算
广义积分是高等数学中较难的概念之一,需要我们掌握其定义和相关性质。
在进行广义积分计算时,我们应选取简便且有效的方法。
对于广义积分,现有如下定义:
设函数f(x)在[a,•:
:
)有定义,并且对任意的A(Aa)在区间[a,A)上可
A
积,当极限limf(x)dx存在时,称这极限值I为f(x)在区间[a,,:
)上的广义
A—卉CLa
:
A:
积分。
记作.f(x)dx=llim…f(x)dx,这时也称积分.f(x)dx是收敛的,
aA■.aa
并且用记号:
f(x)dx表示它的值。
如果上述的极限不存在,称积分是发散
a
f(x)dx的,这时虽用同样的记号,但已经不表示数值了。
而含参变量的广义
积分,就是形如:
f(x,y)dx的积分,称为含参量y的广义积分。
在数理方程和
概率论中经常出现这种形式的积分。
对于广义积分的计算,我们有很多方法,比如说换元法,拉普拉斯变换,Fourier积分变换或丨函数的性质等很多方法,而对于一些特殊类型的广义积分的计算,我们还可以用概率论的有关知识。
在概率论中,有一些重要的分布,比如说正态分布,指数分布,丨分布等等,而关于这
些分布的数字特征均是关于概率密度函数的广义积分,例如,概率积分是标准正
态概率密度函数的广义积分,是很重要的积分之一,在概念论方面经常遇到,且有广泛应用。
下面通过一些实例,对概率论在特殊类型广义积分计算中的应用进行探索,并期望在这一探索中,领会出一些令人耳目一新的方法。
1.用概率论中的指数分布计算广义积分
7e~xxA0
定义1:
密度函数为p(x)=<
e,0,分布函数为
Q,xc0
1_e~'
摂x>
0
F(x)二,0这里■0,是常数,这个分布称为指数分布。
0,xvO
例2计算p(4x5x6)e^xdx
这个例题可以用广义积分的分部积分法直接求解,但要用到两次分部积分
法,并要求极限。
这里注意到被积函数中含有因式,刚好是参数为一2的
指数分布概率密度函数的一部分,故有,
[(4x2+5x+6)e,xdx=3f0_(4x^5^6)2e^xdx
2.利用概率论中的正态分布计算广义积分
1)利用正态分布的概率密度性质计算广义积分
定义2:
设X为连续型随机变量,若X的概率密度函数为
1Jx-u)2
f(x^,e2^,(4CX£
+2C),其中u,62为已知参数,则称X服从正态
分布,记作X~N(u,「.2)
概率密度具有规范性,即
⑴令X二I
t2
eT
上
e2dt
_O0
—(沁
⑵e4dx
JjoCi
此例中,⑴看作随机变量X~N(0,12);
2看作随机变量X~N(3,、、22)。
通常微积分方法求解本例题比较困难,把被积函数看作或变换成某个正态分布的概率密度,再利用①式计算积分,则较为简单。
2)利用正态分布的期望定义计算广义积分
定义3:
设连续型随机变量的概率密度为f(x),若.…xf(x)dx绝对收敛,
则称此积分为X的期望,记作E(X)
对于正态分布X~N(u「2)可以证明EX=u,即有:
恳1一仝£
fx_—e2。
dx=u②
—(x-a)2
利用②式可以较为方便地计算'
xe2pdx型广义积分
■^)0
二2)2
例4计算广义积分(x-1)e6dx
__(xQ2Jx^4)2
原式二xe2(3*dx-'
e2("
dx
¥
jqQ¥
(x/)2(X/)2
「^3,:
x土e"
dx-云-3;
揺
=.6-4一、、61=3'
、6二
本例中可看作随机变量,x~(4,0-3)2)这类广义积分一般用换元法比较麻
烦,而把被积函数看作或变换成某随机变量正态分布的期望表达式,则很容易求
解。
3)利用正态分布的方差定义计算广义积分
定义4设连续型随机变量的期望为E(X),概率密度函数为f(x),若
E(X-E(X))2存在x二,则称
-be
」x-E(xf]f(x)为xX的方差,记作D(X)
若X~N(u,s2),则可证明D(X)二S2,即有:
乂1亠啤
"
52亦°
dx"
2
由方差的定义可以推算出其计算公式D(X)二EX2-(EX)2,即有
EX?
二DXE2(X),于是对于正态分布有:
产dx=、2a2
分。
由③式知,
原式二2壬22
=8、2~
这类广义积分的计算一般需要换元法和分部法,是比较繁杂的,这里把所求积分变换成某随机变量正态分布的方差表达式,简化了积分计算。
3.利用丨分布求被积函数中含有三角函数的广义积分
对于被积函数含有三角函数形式的广义积分,可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性,并进行求值。
定理:
设X为服从概率密度为f(x)的随机变量,其特征函数为(t)[3],■
为常数,则有广义积分:
-beEe"
x+Ee丛1
.cos■xf(x)dx二——=一[('
)(」;
)]
22
说严一
sin'
xf(x)dx二————_[(,)_(-'
;
22i
证明:
由欧拉公式e'
=e(co^isin:
)可知,
i'
xi・x
e=coS-x十is^x,e=cos扎x—isin扎x,
故有
Eeix
Ee」'
x
Ecos■x
cos■xf(x)dx
J-od
E#x+E—sinx/s汕xfxdx
2i;
又由特征函数的定义,得e%=®
(财,(-九),即证
例6计算广义积分(cos■x)xe9x(:
»
1,“:
0)
因被积函数含有-分布密度函数的一部分,故
xe"
■
」i¥
才(JJ)]
(1)"
其中x为服从参数:
的丨分布的随机变量,其密度函数为
f(x)=p^T©
+1),八00)
f(x)二0,x:
可以考虑用
更进一步,如果遇到被积函数中为含有三角函数稍复杂的形势,
三角函数的积化和差等公式先降价处理,在进行计算,也可以简化计算
f—"
fxdx。
2b-aa
三、引进随机变量证明积分不等式
例7求证,当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时,
1fxdx。
当f(x)为[a,b]上的连续的上凸函数时,fM
设连续型随机变量•的密度函数为:
丄,当a誉兰时,
Px产「0,其它,―
则E=xp(x)dx
b
Ef二.f(x)p(x)dx=Jaf(x)
b1.ab帛
xdx,而
ab-a2
丄dx=-b-ab-a
af(x)dx。
fE<
Ef(),
由引理1可知,当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时,
兰丄ff(x)dx
2b_aa
当f(x)为[a,b]上的连续的上凸函数时
,fE-Ef(),即
fab1f(x)dx。
2b-aa
这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。
例8求证,对于可积函数f(x),(f(x)>
0),
af(x)dxfz(b-a$。
aaf(x)
令Ua,b,y二fx为严格整函数,则
=fi为正随机变量,考
察0,:
上的连续下凸函数fX二丄,对该函数运用引理1,得:
E1-
,从而EE--1,
b11b
XpxdXjfx£
dx二応J心,
b11
p(x)dx=〔dx=「
fxafxb-ab-aafx
b1dx,
1b
所以f(x)dx
b-aa
1b1dx_1,b-aafx
rbb
即afXdXafx
例9若f(x)与g(x)与a,b1上连续,则
b2b2b2
([f(x)g(x)dx)({f(x)dx)([g(x)dx。
设随机变量•的概率分布F(x)及其概率密度函数p(x)分别为:
Qxya
F(x)二严,x
b—a
1,xb
b,blp(x)=」b-a'
i
0,else
•一2"
-21b2
Ef=Jf(x)p(x)dx二一Jf(x)dx,
则:
=b—「
g()g(x)p(x)dxg(x)dx,贝V:
士b_aa
!
f()g('
)=.f(x)g(x)p(x)dx二
y」b—a
ria
f(x)g(x)dx,
由引理2知if()g()<
if2()g2(),把以上各式代入,即
af(x)g(x)dx乞af2(x)g2(x)dxag2(x)dx成
成立。
四、结束语
本文将概率的基本思想应用于证明和计算积分,通过以上的一些例子,使我们看到,概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用,在其他的数学分支中也有其重要的应用。
运用概率的思想方法解决问题,其思想方法独特、简捷,这不但有利于揭示不同数学分支之间的内在联系,而且可以加强逆向思维能力的训练,从而有利于对知识的理解和掌握,为我们在今后的解题过程中提供了一种新的思虑,新的方法,有利于我们开阔视野,丰富想象,培养创新精神。
参考文献:
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高等教育出版社,2002年7月
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- 概率 方法 积分 中的 应用