84 直线平面垂直的判定与性质文档格式.docx
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1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ×
)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ×
(3)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( ×
(4)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √ )
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( ×
题组二 教材改编
2.[P45练习T2]下列命题中正确的是________.(填序号)
①如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β;
②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β;
③如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ;
④如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β.
答案 ①②③
解析 对于④,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,①②③均是正确的.
3.[P42习题T11,16]在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心;
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.
答案
(1)外
(2)垂
解析
(1)如图1,连结OA,OB,OC,OP,
在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,
所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.
(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G.
∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,
∴PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,
∵AB⊥PO,PO∩PC=P,
∴AB⊥平面PGC,
又CG⊂平面PGC,
∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,
即O为△ABC的垂心.
题组三 易错自纠
4.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案 必要不充分
解析 这无数条直线可能是一组平行直线,此时l与α可能不垂直.
5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是________.
答案 垂直
解析 因为DD1⊥平面ABCD,
所以AC⊥DD1,
又因为AC⊥BD,DD1∩BD=D,
所以AC⊥平面BDD1B1,
因为OM⊂平面BDD1B1,所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2,
则OM=
=
,MN=
,
ON=
所以OM2+MN2=ON2,所以OM⊥MN.
6.如图所示,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是________.(填序号)
①MN∥AB;
②平面VAC⊥平面VBC;
③MN与BC所成的角为45°
;
④OC⊥平面VAC.
答案 ②
解析 由题意得BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC.因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC.故②正确.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
典例(2017·
苏锡常镇四市调研)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.
(1)求证:
E是AB的中点;
(2)若AC1⊥A1B,求证:
AC1⊥BC.
证明
(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,
所以OE∥BC1.
因为侧面AA1C1C是菱形,
AC1∩A1C=O,
所以O是AC1的中点,
所以
=1,E是AB的中点.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,
又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C,A1B⊂平面A1BC,
所以AC1⊥平面A1BC,
又因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.
思维升华证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法:
①判定定理;
②面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
跟踪训练(2015·
江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明
(1)由题意知,E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,
BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
典例如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
CE∥平面PAD;
(2)求证:
平面EFG⊥平面EMN.
证明
(1)方法一 取PA的中点H,连结EH,DH.
因为E为PB的中点,
所以EH綊
AB.
又CD綊
AB,
所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
所以CE∥平面PAD.
方法二 连结CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=
又CD=
所以AF=CD.
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA,
所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,
所以AB⊥平面EFG,
所以AB垂直于平面EFG内的任意一条直线.
又因为M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,
所以MN垂直于平面EFG内的任意一条直线,
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.
引申探究
1.在本例条件下,证明:
平面EMN⊥平面PAC.
证明 因为AB⊥PA,AB⊥AC,
且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB,
所以MN⊥平面PAC.
又MN⊂平面EMN,
所以平面EMN⊥平面PAC.
2.在本例条件下,证明:
平面EFG∥平面PAC.
证明 因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,
所以EF∥PA,FG∥AC,
又EF⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,
所以EF∥平面PAC.
同理FG∥平面PAC.
又EF∩FG=F,
所以平面EFG∥平面PAC.
思维升华
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
跟踪训练(2014·
江苏)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明
(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,
所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,
所以DE∥PA,DE=
PA=3,EF=
BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°
,即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,
所以DE⊥平面ABC,
又DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
题型三 垂直关系中的探索性问题
典例如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.
(1)证明:
AE∥平面BDF;
(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?
若存在,确定点P的位置,并加以证明;
若不存在,请说明理由.
(1)证明 连结AC交BD于点O,连结OF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴O为AC的中点.
又F为EC的中点,∴OF∥AE.
又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,
∴AE∥平面BDF.
(2)解 当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:
取BE的中点H,连结DP,PH,CH.
∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.
又AB∥CD,∴PH∥CD,
∴P,H,C,D四点共面.
∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,
∵BC=CE,且H为BE的中点,
∴CH⊥BE.
又CH∩CD=C,且CH,CD⊂平面DPHC,
∴BE⊥平面DPHC.
又PM⊂平面DPHC,∴PM⊥BE.
思维升华对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.
跟踪训练如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,M为棱AC的中点.AB=BC,AC=2,AA1=
B1C∥平面A1BM;
AC1⊥平面A1BM;
(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?
如果存在,求此时
的值;
如果不存在,请说明理由.
(1)证明 连结AB1与A1B,两线交于点O,连结OM.
在△B1AC中,∵M,O分别为AC,AB1的中点,
∴OM∥B1C,
又∵OM⊂平面A1BM,B1C⊄平面A1BM,
∴B1C∥平面A1BM.
(2)证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC,BM⊂平面ABC,
∴AA1⊥BM,
又∵M为棱AC的中点,AB=BC,∴BM⊥AC.
∵AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1,
∴BM⊥平面ACC1A1,
∴BM⊥AC1.
∵AC=2,∴AM=1.
又∵AA1=
,∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,
tan∠AC1C=tan∠A1MA=
∴∠AC1C=∠A1MA,
即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°
∴A1M⊥AC1.
∵BM∩A1M=M,BM,A1M⊂平面A1BM,
∴AC1⊥平面A1BM.
(3)解 当点N为BB1的中点,即
时,
平面AC1N⊥平面AA1C1C.
证明如下:
设AC1的中点为D,连结DM,DN.∵D,M分别为AC1,AC的中点,
∴DM∥CC1,且DM=
CC1.
又∵N为BB1的中点,∴DM∥BN,且DM=BN,
∴四边形BNDM为平行四边形,
∴BM∥DN,
∵BM⊥平面ACC1A1,
∴BM垂直于平面ACC1A1内的任意一条直线,
∴DN垂直于平面ACC1A1内的任意一条直线,
∴DN⊥平面AA1C1C.
又∵DN⊂平面AC1N,
∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.
立体几何证明问题中的转化思想
典例(14分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.
(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
思想方法指导
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理.
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;
证明垂直时常用的等腰三角形的中线等.
(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件,步骤书写要规范.
规范解答
证明
(1)如图所示,连结NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,
C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分]
∵N,K分别为CD,C1D1的中点,
∴DN∥D1K,DN=D1K,
∴四边形DD1KN为平行四边形,[3分]
∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN,
∴四边形AA1KN为平行四边形,∴AN∥A1K.[4分]
又∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,
∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如图所示,连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1.
∵M,K分别为AB,C1D1的中点,
∴BM∥C1K,BM=C1K,
∴四边形BC1KM为平行四边形,∴MK∥BC1.[8分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,
BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.[10分]
∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C,[12分]
∴MK⊥B1C.
∵A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.
又∵MK⊂平面A1MK,
∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[14分]
1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则下列说法中正确的为________.(填序号)
①垂直于平面β的平面一定平行于平面α;
②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α;
③垂直于平面β的平面一定平行于直线l;
④垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直.
答案 ④
解析 对于①,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故①错误;
对于②,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故②错误;
对于③,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故③错误.④正确.
2.若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为______.(填序号)
①过点P垂直于平面α的直线平行于平面β;
②过点P垂直于直线l的直线在平面α内;
③过点P垂直于平面β的直线在平面α内;
④过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β.
解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此①正确;
过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此②不正确;
根据面面垂直的性质定理,知③④正确.
3.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,则下列命题正确的是________.(填序号)
①若l⊥β,则α⊥β;
②若α⊥β,则l⊥m;
③若l∥β,则α∥β;
④若α∥β,则l∥m.
答案 ①
解析 对于①,∵l⊥β,l⊂α,∴α⊥β,①正确;
对于②,α⊥β,l⊂α,m⊂β,l与m的位置关系不确定;
对于③,∵l∥β,l⊂α,∴α∥β或α与β相交;
对于④,∵α∥β,l⊂α,m⊂β,此时,l与m的位置关系不确定.
4.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,则下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是________.(填序号)
①α⊥β且m⊂α;
②α⊥β且m∥α;
③m∥n且n⊥β;
④m⊥n且n∥β.
答案 ③
解析 对于①,由α⊥β且m⊂α,可得m∥β或m与β相交或m⊂β,故①不成立;
对于②,由α⊥β且m∥α,可得m⊂β或m∥β或m与β相交,故②不成立;
对于③,由m∥n且n⊥β,可得m⊥β,故③成立;
对于④,由m⊥n且n∥β,可得m∥β或m与β相交或m⊂β,故④不成立.
5.如图,在四棱锥P—ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是________.(填序号)
①PB⊥AC;
②PD⊥平面ABCD;
③AC⊥PD;
④平面PBD⊥平面ABCD.
解析 取BP的中点O,连结OA,OC,则BP⊥OA,BP⊥OC,又因为OA∩OC=O,所以BP⊥平面OAC,所以BP⊥AC,故①正确;
又AC⊥BD,BP∩BD=B,得AC⊥平面BDP,又PD⊂平面BDP,所以AC⊥PD,平面PBD⊥平面ABCD,故③④正确.
6.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;
②OM∥平面APC;
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.(填序号)
解析 对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,
∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;
对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,
∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,∴OM∥平面PAC;
对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.
7.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
答案 4
解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足______时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 ∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,连结AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如图,∠BAC=90°
,PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;
与AP垂直的直线有________.
答案 AB,BC,AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC;
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴与AP垂直的直线是AB.
10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°
,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________.
答案
解析 设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,
则DE=
h.
又
×
2×
h
所以h=
,DE=
在Rt△DB1E中,
B1E=
由面积相等得
x,
得x=
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明
(1)如图,连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,
因为F
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