数学一轮复习第四章几何初步第4节等腰三角形试题文档格式.docx
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【答案】底边的垂直平分线
2.等腰三角形的判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一个三角形有相等,那么这个三角形是等腰三角形,简称为“等角对”.
【答案】两角等边
3.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都,且都等于.
【答案】相等60°
(2)等边三角形的每条边上都有;
(3)等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有条.
【答案】3
4.等边三角形的判定
(1)相等的三角形是等边三角形;
【答案】三边
(2)有两个角是的三角形是等边三角形;
【答案】60°
(3)有一个角为的等腰三角形是等边三角形.
5.角平分线的性质和判定
(1)性质:
角平分线上的点到角两边的.
【答案】距离相等
(2)判定:
到角两边距离相等的点在这个角的.
【答案】角平分线上
6.线段的垂直平分线的性质和判定定理
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离.
【答案】相等
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
考点精析专项突破
考点一等腰三角形的性质和判定
【例1】
(1)(20xx泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°
,则∠P的度数为()
A.44°
B.66°
C.88°
D.92°
【答案】D
解题点拨:
通过题中所给的条件AM=BK,BN=AK,以及由PA=PB,可证∠A=∠B所以△AKM≌△BNK,得到对应角相等,再利用外角等于不相邻的两个内角和,便可求出∠A与∠MKN相等,最后由三角形的内角和求出∠P的度数.
(2)(20xx巴中)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线,过点C作CH⊥AE于点H,并延长交AB于点F,连接DH,则线段DH的长为.
【答案】1
由全等三角形的知识可证得△AFC是等腰三角形,所以H为FC中点,再由已知条件可得DH为△CBF的中位线,利用中位线的性质即可求出线段DH的长.
考点二等边三角形的性质与判定
【例2】如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.
(1)证明:
AG=AD;
(2)证明:
GF=FC+AG.
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.全等三角形是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°
,
∵DG⊥AC,
∴∠AGD=90°
∵∠ADG=30°
∴AG=AD;
(2)过点D作DH∥BC交AC于点H,
∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,
∴∠B=∠ACB=∠A=60°
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°
∴△ADH是等边三角形,
∴DH=AD,
∵AD=CE
∴DH=CE
在△DHF和△ECF中,
,
∴△DHF≌△ECF(AAS),
∴HF=FC,
又∵AG=GH
∴GF=GH+HF=AG+FC.
课堂训练当堂检测
1.(20xx安顺)已知实数x、y满足,则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()
A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对
【答案】B
2.(20xx武汉)平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()
A.5B.6C.7D.8
【答案】A
3.(20xx达州)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°
得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 .
【答案】24+9
4.(20xx菏泽)如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:
AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°
,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:
AE=2CM+BN.
(1)①证明:
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,∴AC=BC,CD=CE.
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED,∴∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
②解:
由①得△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE.
在△ABE中,∠AEB=180°
―∠EAB―∠ABE=180°
―∠EAB―∠ABC-∠CBE=180°
―∠EAB―∠ABC-∠CAD=180°
―∠CAB-∠ABC=180°
-50°
=80°
.
在等腰△DCE中,∵CD=CE,∠DCE=120°
,CM⊥DE,∴∠DCM=∠DCE=60°
,DM=EM.
在Rt△CDM中,DM=CM·
tan∠DCM=CM·
tan60°
=CM,∴DE=2CM.
由
(1)中②,得∠AEB=180°
―(180°
-120°
)=120°
,∴∠BEN=60°
在Rt△BEN中,sin∠BEN=,∴BE=BN÷
sin60°
=BN.
由
(1)中①知AD=BE,∴AD=BN.
∴AE=DE+AD=2CM+BN,即AE=2CM+BN.
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.(20xx荆门))如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为()
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】C
2.(20xx黄石)如图所示,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,∠A=50°
,则∠BDC
=( )
A.50°
B.100°
C.120°
D.130°
【答案】B.
3.(20xx荆门)已知3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长为()
A.7 B.10 C.11 D.10或11
4.(20xx扬州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形,所有剪法中剩余部分面积的最小值是()
A.6B.3 C.2.5 D.2
二、填空题
5.(20xx资阳)如图,在3×
3的方格中,A、B、C、D、E、F分别位于格点上,从C、D、E、F四点中任取一点,与点A、B为顶点作三角形,则所作三角形为等腰三角形的概率是 .
【答案】
6.(20xx乐山)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°
,则∠DBC=.
【答案】15°
7.(20xx南通)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°
,则∠ADC=.
【答案】52°
三、解答题
8.(20xx贺州)如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点O,求∠AOB的度数.
如图:
AC与BD交于点H.
∵△ACD,△BCE都是等边三角形,
∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°
∴∠DCB=∠ACE,
在△DCB和△ACE中,,
∴△DCB≌△ACE,
∴∠CAE=∠CDB,
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°
,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°
,∠DHC=∠OHA,
∴∠AOH=∠DCH=60°
∴∠AOB=180°
﹣∠AOH=120°
9.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:
BE=CF.
(1)连接DB、DC,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴DB=DC.
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
,
Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),
∴BE=CF.
B组提高练习
10.(20xx内江)已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为()
A.B.C.D.不能确定
【答案】B..
【提示】解:
如图,过点A作AG⊥BC于G,连接PA,PB,PC,
∴∠ABC=60°
,BC=AC=AB.
∴AG=AB·
=3×
=
∵S△ABC=BC·
PD+AC·
PE+AB·
PF=BC·
AG
∴PD+PE+PF=AG=,
11.(20xx江西)如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是 .
【答案】5或4或5.
如图所示:
①当AP=AE=5时,
∵∠BAD=90°
∴△AEP是等腰直角三角形,
∴底边PE=AE=5;
②当PE=AE=5时,
∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3,∠B=90°
∴PB=,
∴底边AP=;
③当PA=PE时,底边AE=5;
综上所述:
等腰三角形AEP的对边长为5或4或5;
12.(20xx沈阳)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为,点B的对应点为D,点C的对应点为E,连接BD,BE.
(1)如图,当时,延长BE交AD于点F.
①求证:
△ABD是等边三角形;
②求证:
BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
温馨提示:
考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°
得到△ADE
∴AB=AD,∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形.
②证明:
由①得△ABD是等边三角形
∴AB=BD
∴AC=AE,BC=DE
又∵AC=BC
∴EA=ED
∴点B,E在AD的中垂线上
∴BE是AD的中垂线
∵点F在BE的延长线上
∴BF⊥AD,AF=DF.
③
由②知BF⊥AD,AF=DF.
∴AF=DF=3,
∵AE=AC=5,
∴EF=4,
∵在等边三角形ABD中,BF=AB·
sin∠BAF=6×
=3,
∴BE=BF-EF=3-4;
(2)13
如图所示,
∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°
又∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°
∴∠BAE=∠ABC,
∵AC=BC=AE,
∴∠BAC=∠ABC,
∴∠BAE=∠BAC,
∴AB⊥CE,且CH=HE=CE,
∵AC=BC,
∴AH=BH=AB=3,
则DE=2CH=8,BE=5,
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- 数学 一轮 复习 第四 几何 初步 等腰三角形 试题