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C.∠1=∠2=45°
D.∠1=40°
6.如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DCC.BC=EC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
7.已知a>b>0,那么下列不等式组中无解的是( )
8.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°
,AB=AD=4
,CD=2
,点P在四边形ABCD的边上,若点P到BD的距离为3,则点P的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
9.给出以下五种说法:
①若a,b,c为实数,且a>b,则ac2>bc2;
②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12,则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5;
③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题;
④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm,那么它的周长是17cm或22cm;
⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6>0的正整数解为1,2,3,那么k应取值为2≤k<3.
其中说法正确的是( )
A.①②⑤B.③⑤C.②③④D.①②④⑤
10.如图,四边形ABCD是正方形,直线a,b,c分别通过A、D、C三点,且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5,b与c之间的距离是7,则正方形ABCD的面积是( )
A.70B.74C.144D.148
二、填空题:
本题有6个小题,每小题4分,共24分
11.不等式(a﹣b)x<a﹣b的解集是x>1,则a、b的大小关系是:
a b.
12.已知三角形三边长分别是1、x、2,且x为整数,那么x的值是 .
13.如图所示,∠C=∠D=90°
,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,则应添加一个条件是 .
14.若关于x的不等式组
有解,则写出符合条件的一个a的值 .
15.等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P,EF⊥AD,F为垂足,若线段EB=4,则线段EF= .
16.已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足,下列结论:
①△ABD≌△EBC;
②∠BCE+∠BCD=180°
;
③AD=EF=EC;
④BA+BC=2BF,其中正确的结论有 (填序号).
三、解答题:
本题共有7个小题,共66分
17.
(1)解不等式:
3x﹣1<2x+4
(2)不等式组
并将其解集在数轴上表示出来.
18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连结AP,若AC=4,BC=8时,试求BP的长.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA延长线上,EP⊥BC于点P,交AB于点F.
(1)求证:
∠E=∠AFE;
(2)若AF=3,BF=5,求CE的长并直接写出△ABC周长的取值范围.
20.如图,△ABC是边长为5cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)连接AQ、CP,相交于点M,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?
若变化,则说明理由;
若不变,请求出它的度数.
21.在△ABC中,AC=AB=5,一边上高为3,求底边BC的长(注意:
请画出图形).
22.某公交公司有A,B型两种客车,它们的载客量和租金如下表:
A
B
载客量(人/辆)
45
30
租金(元/辆)
400
280
红星中学根据实际情况,计划租用A,B型客车共5辆,同时送2015~2016学年度七年级师生到基地校参加社会实践活动,设租用A型客车x辆,根据要求回答下列问题:
(1)用含x的式子填写下表:
车辆数(辆)
载客量
租金(元)
x
45x
400x
5﹣x
(2)若要保证租车费用不超过1900元,求x的最大值;
(3)在
(2)的条件下,若2015~2016学年度七年级师生共有195人,写出所有可能的租车方案,并确定最省钱的租车方案.
23.如图1,等边△ABC边长为6,AD是△ABC的中线,P为线段AD(不包括端点A、D)上一动点,以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE,连结BE.
(1)点P在运动过程中,线段BE与AP始终相等吗?
说说你的理由;
(2)若延长BE至F,使得CF=CE=5,如图2,问:
①求出此时AP的长;
②当点P在线段AD的延长线上时,判断EF的长是否为定值,若是请直接写出EF的长;
若不是请简单说明理由.
浙江省杭州市2015~2016学年度八年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:
A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项正确.
故选D.
【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
【考点】命题与定理.
【分析】根据等边三角形的判定方法对A进行判断;
根据余角的定义对B进行判断;
根据钝角三角形的定义对C进行判断;
根据平行线的性质对D进行判断.
有一个角为60°
的等腰三角形是等边三角形是真命题;
等角的余角相等是真命题;
钝角三角形一定有一个角大于90°
是真命题;
两直线平行,同位角相等,则同位角相等是假命题.
【点评】本题考查了命题:
判断事物的语句叫命题;
正确的命题称为真命题;
错误的命题称为假命题.
【考点】等腰三角形的判定.
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理,即可求得答案.
A、∵a=3,b=3,c=4,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
B、∵a:
∴a≠b≠c,
∴△ABC不是等腰三角形;
C、∵∠B=50°
,
∴∠A=180°
﹣∠B﹣∠C=50°
∴∠A=∠B,
∴AC=BC,
D、∵∠A:
2,
∵∠A=∠B,
∴△ABC是等腰三角形.
故选B.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定.此题比较简单,注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键.
【考点】在数轴上表示不等式的解集.
【分析】首先用a表示出不等式的解集,然后解出a.
根据图示知,原不等式的解集是:
x≤﹣1;
又∵3x﹣2a≤﹣2,
∴x≤
∴
=﹣1,
解得,a=﹣
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集.不等式的解集在数轴上表示出来的方法:
“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件,但不满足结论的例子.
A、满足条件∠1+∠2=90°
,也满足结论∠1≠∠2,故A选项错误;
B、不满足条件,故B选项错误;
C、满足条件,不满足结论,故C选项正确;
D、不满足条件,也不满足结论,故D选项错误.
故选:
C.
【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.
A、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
B、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
C、已知AB=DE,再加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意;
D、已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
【考点】不等式的解集.
【分析】利用求不等式解集的方法判定,
A、x的解集为﹣b<x<a,故A有解;
B、x的解集为x>﹣b,故B有解;
C、无解,
D、x的解集为﹣a<x<b.故D有解;
【点评】此题主要考查了解不等式组,关键是正确理解解集的规律:
同大取大;
同小取小;
大小小大中间找;
大大小小找不到.
【考点】勾股定理;
点到直线的距离.
【分析】首先作出AB、AD边上的点P(点A)到BD的垂线段AE,即点P到BD的最长距离,作出BC、CD的点P(点C)到BD的垂线段CF,即点P到BD的最长距离,由已知计算出AE、CF的长与3比较得出答案.
过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于F,
∵∠BAD=∠ADC=90°
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴∠CDF=90°
﹣∠ADB=45°
∵sin∠ABD=
∴AE=AB•sin∠ABD=4
•sin45°
=4>3,
CF=
CD═2<3,所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个,
故选A.
【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离,解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案.
【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
①若a,b,c为实数,且a>b,则ac2≥bc2,故原命题错误;
②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12,则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5或6,故原命题错误;
③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题,正确;
④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm,那么它的周长是22cm,故原命题错误;
⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6>0的正整数解为1,2,3,那么k应取值为2≤k<3,正确.
其中说法正确的是③⑤,
B.
【点评】此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
【考点】全等三角形的判定与性质;
平行线之间的距离;
勾股定理;
正方形的性质.
【分析】过A作AM⊥直线b于M,过D作DN⊥直线c于N,求出∠AMD=∠DNC=90°
,AD=DC,∠1=∠3,根据AAS推出△AMD≌△CND,根据全等得出AM=CN,求出AM=CN=5,DN=7,在Rt△DNC中,由勾股定理求出DC2即可.
如图:
过A作AM⊥直线b于M,过D作DN⊥直线c于N,
则∠AMD=∠DNC=90°
∵直线b∥直线c,DN⊥直线c,
∴∠2+∠3=90°
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3,
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND,
∴AM=CN,
∵a与b之间的距离是5,b与c之间的距离是7,
∴AM=CN=5,DN=7,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:
DC2=DN2+CN2=72+52=74,
即正方形ABCD的面积为74,
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,正方形的性质的应用,解此题的关键是能正确作出辅助线,并进一步求出△AMD≌△CND,难度适中.
a < b.
【考点】不等式的性质.
【分析】本题需先根据不等式不等式(a﹣b)x<a﹣b的解集是x>1,的解集是x<1,得出a﹣b的关系,即可求出答案.
∵不等式(a﹣b)x<a﹣b的解集是x>1,
∴a﹣b<0,
∴a<b,
则a与b的大小关系是a<b.
故答案为:
<.
【点评】本题主要考查了不等式的解集,在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时,不等号的方向改变.
12.已知三角形三边长分别是1、x、2,且x为整数,那么x的值是 2 .
【考点】三角形三边关系.
【分析】根据三角形的三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求解即可.
∵三角形的三边长分别为1,x,2,
∴第三边的取值范围为:
1<x<3
∵x为整数,
∴x=2.
2.
【点评】考查了三角形的三边关系,此类求范围的问题,实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可,确定x的值.
,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,则应添加一个条件是 AC=AD .
【考点】直角三角形全等的判定.
【专题】开放型.
【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,还可以是BC=BD.
条件是AC=AD,
∵∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL),
AC=AD.
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用,能熟记定理是解此题的关键,注意:
直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
有解,则写出符合条件的一个a的值 6 .
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】表示出不等式组的解集,根据不等式组有解确定出a的值即可.
不等式整理得:
由不等式组有解,得到a>5,
则满足题意a的值为6.
6.
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
15.等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P,EF⊥AD,F为垂足,若线段EB=4,则线段EF= 2 .
角平分线的性质;
等腰三角形的判定与性质.
【分析】延长EF交AC于点Q,利用EF∥CD,且CE平分∠ACD,可得∠QCE=∠QEC,所以QE=CE,结合等腰三角形的性质可得QE=2EF,且QC=BE,可得出结论.
如图,
延长EF交AC于点Q,
∵EF⊥AD,AD⊥BC
∴EQ∥BC
∴∠QEC=∠ECB
∵CE平分∠ACB
∴∠ECB=QCE
∴∠QEC=∠QCE
∴QE=QC
∵QE∥BC,且△ABC为等腰三角形
∴△AQE为等腰三角形
∴AQ=AE,QE=2EF,
∴CQ=BE=QE,
∴EF=
BE=2.
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和判定及平行线的性质的应用,解题的关键是作出辅助线,找到BE和CQ的数量关系,进一步寻找BE和EF的数量关系.
④BA+BC=2BF,其中正确的结论有 ①②④ (填序号).
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】易证△ABD≌△EBC,可得∠BCE=∠BDA,AD=EC可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE,即AD=AE=EC,根据AD=AE=EC可求得④正确.
①∵BD为△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△EBC中,
∴△ABD≌△EBC(SAS),
∴①正确;
②∵BD为△ABC的角平分线,BD=BC,BE=BA,
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,
∵△ABD≌△EBC,
∴∠BCE=∠BDA,
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°
∴②正确;
③∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,
∴∠DCE=∠DAE,
∴△ACE为等腰三角形,
∴AE=EC,
∴AD=EC,
∴AD=AE=EC,
∵BD为△ABC的角平分线,EF⊥AB,而EC不垂直与BC,
∴EF≠EC,
∴③错误;
④过E作EG⊥BC于G点,
∵E是BD上的点,∴EF=EG,
在RT△BEG和RT△BEF中,
∴RT△BEG≌RT△BEF(HL),
∴BG=BF,
在RT△CEG和RT△AFE中,
∴RT△CEG≌RT△AFE(HL),
∴AF=CG,
∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF,
∴④正确.
①②④.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.
【考点】解一元一次不等式组;
在数轴上表示不等式的解集;
解一元一次不等式.
【分析】
(1)移项、合并同类项可得解集;
(2)分别求出每个不等式解集,找到其公共部分即可的不等式组解集,并表示在数轴上.
(1)移项,得:
3x﹣2x<4+1,
合并同类项,得:
x<5;
(2)解不等式组:
解不等式①,得:
x>﹣6,
解不等式②,得:
x<6,
∴不等式组的解集为:
﹣6<x<6,
表示在数轴上如下所示:
【点评】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组的能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键.
【考点】作图—复杂作图;
线段垂直平分线的性质.
【专题】应用题;
作图题.
(1)作AB的垂直平分线交BC于P点,则PA=PB;
(2)设BP=x,则AP=x,CP=BC﹣PB=8﹣x,然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到(8﹣x)2+42=x2,再解方程即可.
(1)如图,点P为所作;
(2)设BP=x,则AP=x,CP=BC﹣PB=8﹣x,
在Rt△ACP中,∵PC2+AC2=AP2,
∴(8﹣x)2+42=x2,解得x=5,
即BP的长为5.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
【考点】等腰三角形的判定与性质.
(1)根据等边对等角得出∠B=∠C,再根据EP⊥BC,得出∠C+∠E=90°
,∠B+∠BFP=90°
,从而得出∠D=∠BFP,再根据对顶角相等得出∠
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