届高三数学一轮复习单元检测试题1集合与常用逻辑用语人教AWord格式文档下载.docx
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x≤-2或x≥2;
-1<
2,∴綈q:
x≤-1或x≥2,
∴綈p是綈q的充分不必要条件.
4.(2011·
福州期末)在△ABC中,“
·
=
”是“|
|=|
|”的( )
[解析] 如图,在△ABC中,过C作CD⊥AB,则|
|·
cos∠CAB,|
cos∠CBA,
⇔|
|
cos∠CAB=|
cos∠CBA⇔|
|⇔|
|,故选C.
5.(文)(2011·
山东日照调研)设α、β是两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,命题p:
若α∥β,l⊂α,m⊂β则l∥m;
命题q:
l∥α,m⊥l,m⊂β,则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )
A.p或qB.p且q
C.綈p或qD.p且綈q
[解析] p为假命题,q为假命题,故p或q,p且q,p且綈q均为假命题,选C.
辽宁省丹东四校联考)已知α、β、γ为互不重合的三个平面,命题p:
若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;
若α上不共线的三点到β的距离相等,则α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是( )
A.命题“p且q”为真B.命题“p或綈q”为假
C.命题“p或q”为假D.命题“綈p且綈q”为假
[解析] 如图
(1),正方体中,相邻三个面满足β⊥α,β⊥γ,但α⊥γ,故p为假命题;
如图
(2),α∩β=l,直线AB,CD是α内与l平行且与l距离相等的两条直线,则直线AB,CD上任意一点到平面β的距离都相等,三点A、B、C不共线,且到平面β的距离相等,故命题q为假命题,
∴“p或q”为假命题.
6.(2011·
宁夏银川一中检测)下列结论错误的是( )
A.命题“若p,则q”与命题“若綈q,则綈p”互为逆否命题
B.命题p:
∀x∈[0,1],ex≥1,命题q:
∃x∈R,x2+x+1<
0,则p∨q为真
C.“若am2<
bm2,则a<
b”的逆命题为真命题
D.若p∨q为假命题,则p、q均为假命题
[解析] 根据四种命题的构成规律,选项A中的结论是正确的;
选项B中的命题p是真命题,命题q是假命题,故p∨q为真命题,选项B中的结论正确;
当m=0时,a<
b⇒/am2<
bm2,故选项C中的结论不正确;
选项D中的结论正确.
7.(文)(2011·
福州期末)已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N等于( )
A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}
C.{y|y=1或y=2}D.{y|y≥1}
[解析] 由集合M、N的代表元素知M、N都是数集,排除A、B;
又M={y|y≥1},N=R,∴选D.
陕西宝鸡质检)已知集合A={x|y=
,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则A∩B为( )
A.∅B.{1}
C.[0,+∞)D.{(0,1)}
[答案] B
[解析] 由1-x2≥0得,-1≤x≤1,∵x∈Z,∴A={-1,0,1},当x∈A时,y=x2+1∈{2,1},即B={1,2},∴A∩B={1}.
8.(2011·
天津河西区质检)命题p:
∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则( )
A.p是假命题,綈p:
∃x0∈[0,+∞),(log32)x0>
1
B.p是假命题,綈p:
∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1
C.p是真命题,綈p:
D.p是真命题,綈p:
[解析] ∵0<
log32<
1,∴y=(log32)x在[0,+∞)上单调递减,∴0<
y≤1,∴p是真命题;
∀的否定为“∃”,“≤”的否定为“>
”,故选C.
9.(2010·
广东湛江模拟)“若x≠a且x≠b,则x2-(a+b)x+ab≠0”的否命题是( )
A.若x=a且x=b,则x2-(a+b)x+ab=0.
B.若x=a或x=b,则x2-(a+b)x+ab≠0.
C.若x=a且x=b,则x2-(a+b)x+ab≠0.
D.若x=a或x=b,则x2-(a+b)x+ab=0.
10.(2011·
四川资阳市模拟)“cosθ<
0且tanθ>
0”是“θ为第三角限角”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
[解析] ∵cosθ<
0,∴θ为第二或三象限角或终边落在x轴负半轴上,∵tanθ>
0,∴θ为第一或三象限角,∴θ为第三象限角,故选A.
11.(文)(2011·
湖南长沙一中月考)设命题p:
∀x∈R,|x|≥x;
∃x∈R,
=0.则下列判断正确的是( )
A.p假q真B.p真q假
C.p真q真D.p假q假
[解析] ∵|x|≥x对任意x∈R都成立,∴p真,∵
=0无解,∴不存在x∈R,使
=0,∴q假,故选B.
福建厦门市期末)下列命题中,假命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>
0B.∃x∈R,sinx=
C.∀x∈R,x2-x+1>
0D.∃x∈N,lgx=2
[解析] 对任意x∈R,总有|sinx|≤1,∴sinx=
无解,故选B.
12.(2011·
辽宁大连期末)已知全集U=R,集合A={x|x=2n,n∈N}与B={x|x=2n,n∈N},则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是( )
[解析] n=0时,20=1∈A,但1∉B,2×
0=0∈B,但0∉A,又当n=1时,2∈A且2∈B,故选A.
[点评] 自然数集N中含有元素0要特别注意,本题极易因忽视0∈N导致错选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知命题甲:
a+b≠4,命题乙:
a≠1且b≠3,则命题甲是命题乙的________条件.
[答案] 既不充分也不必要
[解析] 当a+b≠4时,可选取a=1,b=5,故此时a≠1且b≠3不成立(∵a=1).同样,a≠1且b≠3时,可选取a=2,b=2,此时a+b=4,因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.
[点评] 也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件.
14.方程
+
=1表示曲线C,给出以下命题:
①曲线C不可能为圆;
②若1<
t<
4,则曲线C为椭圆;
③若曲线C为双曲线,则t<
1或t>
4;
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<
.
其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).
[答案] ③④
[解析] 显然当t=
时,曲线为x2+y2=
,方程表示一个圆;
而当1<
4,且t≠
时,方程表示椭圆;
当t<
4时,方程表示双曲线,而当1<
时,4-t>
t-1>
0,方程表示焦点在x轴上的椭圆,故选项为③④.
15.(文)函数f(x)=logax-x+2(a>
0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是________.
[答案] a>
[解析] 若函数f(x)=logax-x+2(a>
0,且a≠1)有两个零点,即函数y=logax的图象与直线y=x-2有两个交点,结合图象易知,此时a>
1;
当a>
1时,函数f(x)=logax-x+2(a>
0,且a≠1)有两个零点,∴函数f(x)=logax-x+2(a>
0,且a≠1)有两个零点的充要条件是a>
1.
(理)(2010·
济南模拟)设p:
,q:
x2+y2>
r2(x,y∈R,r>
0),若p是q的充分不必要条件,则r的取值范围是________.
[答案]
[解析] 设A={(x,y)|
},B={(x,y)|x2+y2>
r2,x,y∈R,r>
0},则集合A表示的区域为图中阴影部分,集合B表示以原点为圆心,以r为半径的圆的外部,设原点到直线4x+3y-12=0的距离为d,则d=
,∵p是q的充分不必要条件,∴AB,则0<
r<
16.(2011·
河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________.
①命题∀x∈R,x2+x+1>
0的否定是:
0.
②命题“若ab=0,则a=0,或b=0”的否命题是“若ab≠0,则a≠0且b≠0”.
③已知线性回归方程是
=3+2x,则当自变量的值为2时,因变量的精确值为7.
④若a,b∈[0,1],则不等式a2+b2<
成立的概率是
[答案] ②
[解析] ∀x∈R,x2+x+1>
0的否定应为∃x∈R,x2+x+1≤0,故①错;
对于线性回归方程
=3+2x,当x=2时,y的估计值为7,故③错;
对于0≤a≤1,0≤b≤1,满足a2+b2<
的概率为p=
,故④错,只有②正确.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)(文)(2011·
重庆南开中学期末)已知函数f(x)=
的定义域是集合A,函数g(x)=lg[x2-(2a+1)x+a2+a]的定义域是集合B.
(1)分别求集合A、B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
[解析]
(1)A={x|x≤-1或x>
2}
B={x|x<
a或x>
a+1}.
(2)由A∪B=B得A⊆B,因此
所以-1<
a≤1,所以实数a的取值范围是(-1,1].
(理)已知函数f(x)=
的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(∁RB);
(2)若A∩B={x|-1<
4},求实数m的值.
[解析] 由
-1≥0知,0<
x+1≤6,
∴-1<
x≤5,A={x|-1<
x≤5}.
(1)当m=3时,B={x|-1<
3}
则∁RB={x|x≤-1或x≥3}
∴A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}.
(2)A={x|-1<
x≤5},A∩B={x|-1<
4},
∴有-42+2·
4+m=0,解得m=8.
此时B={x|-2<
4},符合题意.
18.(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).”
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;
(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
[解析]
(1)逆命题是:
若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:
设a+b<
0,则a<
-b,b<
-a,
∵f(x)是R上的增函数,
∴f(a)<
f(-b),f(b)<
f(-a),
∴f(a)+f(b)<
f(-a)+f(-b),这与题设f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,所以逆命题为真.
(2)逆否命题:
若f(a)+f(b)<
f(-a)+f(-b),
则a+b<
0,为真命题.
由于互为逆否命题同真假,故只需证原命题为真.
∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a,
又∵f(x)在R上是增函数,
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),∴原命题真,故逆否命题为真.
厦门双十中学月考)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
(1)求证:
“如果直线l过点(3,0),那么
=3”是真命题.
(2)写出
(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
[解析]
(1)设l:
x=ty+3,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=2t,y1·
y2=-6,
=x1x2+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2
=t2y1y2+3t(y1+y2)+9+y1y2
=-6t2+3t·
2t+9-6=3.
=3,故为真命题.
(2)
(1)中命题的逆命题是:
“若
=3,则直线l过点(3,0)”它是假命题.
设l:
x=ty+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2-2ty-2b=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1·
y2=-2b.
∵
=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-2bt2+bt·
2t+b2-2b=b2-2b,
令b2-2b=3,得b=3或b=-1,
此时直线l过点(3,0)或(-1,0).故逆命题为假命题.
19.(本小题满分12分)(文)(2011·
华安、连城、永安、漳平龙海,泉港六校联考)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
[解析] A={x|-1≤x≤3}
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],
,
,∴m=2.
故所求实数m的值为2.
(2)∁RB={x|x<
m-2或x>
m+2}
A⊆∁RB,∴m-2>
3或m+2<
-1.
∴m>
5或m<
-3.
因此实数m的取值范围是m>
山东潍坊模拟)已知全集U=R,非空集合A={x|
<
0},B={x|
0}.
(1)当a=
时,求(∁UB)∩A;
(2)命题p:
x∈A,命题q:
x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
[解析]
(1)当a=
时,A={x|
0}={x|2<
},B={x|
0}={x|
}.
∴(∁UB)∩A={x|x≤
或x≥
}∩{x|2<
}
={x|
≤x<
(2)若q是p的必要条件,即p⇒q,可知A⊆B,
由a2+2>
a,得B={x|a<
a2+2},
当3a+1>
2,即a>
时,
A={x|2<
3a+1},
,解得
a≤
;
当3a+1=2,即a=
A=∅,符合题意;
当3a+1<
2,即a<
A={x|3a+1<
2}.
,解得-
≤a<
综上,a∈[-
].
20.(本小题满分12分)(2010·
常德模拟)已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0.命题q:
∃x0∈R,使得x
+(a-1)x0+1<
0.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围.
[解析] 由条件知,a≤x2对∀x∈[1,2]成立,∴a≤1;
∵∃x0∈R,使x
0成立,
∴不等式x2+(a-1)x+1<
0有解,∴Δ=(a-1)2-4>
0,∴a>
3或a<
-1;
∵p或q为真,p且q为假,
∴p与q一真一假.
①p真q假时,-1≤a≤1;
②p假q真时,a>
3.
∴实数a的取值范围是a>
3或-1≤a≤1.
21.(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)=x2-2x+5,若存在一个实数x0,使不等式f(x0)-m>
0成立,求实数m的取值范围.
[解析] 不等式f(x0)-m>
0可化为m<
f(x0),若存在一个实数x0使不等式m<
f(x0)成立,
只需m<
f(x)min.
又∵f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,
∴f(x)min=4,∴m<
4.
故所求实数m的取值范围是(-∞,4).
雅安中学期末)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
[解析] 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,则
g′(x)=ln(x+1)+1-a,
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1.
(1)当a≤1时,对所有x>
0,g′(x)>
所以g(x)在[0,+∞)上是增函数.
又g(0)=0,所以对x≥0,有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(2)当a>
1时,对于0<
ea-1-1,g′(x)<
0,
所以g(x)在(0,ea-1-1)上是减函数.
又g(0)=0,所以对0<
ea-1-1,有g(x)<
g(0),
即f(x)<
ax.
所以当a>
1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.综上所述a的取值范围是(-∞,1].
22.(本小题满分12分)若规定E={a1,a2,…,a10}的子集{ai1,ai2,…,ain}为E的第k个子集,其中k=2i1-1+2i2-1+…+2in-1,则
(1){a1,a3}是E的第几个子集?
(2)求E的第211个子集.
[解析]
(1)由k的定义可知k=21-1+23-1=5.
因此{a1,a3}是E的第5个子集.
(2)∵21-1=1,22-1=2,23-1=4,24-1=8,…k=211,且211=128+64+16+2+1,∴i1=1,i2=2,i3=5,i4=7,i5=8,故E的第211个子集是{a1,a2,a5,a7,a8}.
[点评] 本题是新定义题型,构思新颖,视角独特,亮点明显,对考生在新情境下灵活运用所学知识分析,解决问题的能力要求较高,有较高的区分度.
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- 届高三 数学 一轮 复习 单元 检测 试题 集合 常用 逻辑 用语