版新课标名师导学高考第一轮总复习理科数学第一章集合 常用逻辑第1讲 集合及其运算Word文档格式.docx
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【解析】∵集合A={x|x2-3x>
0}={x|x<0或x>3}=(-∞,0)∪(3,+∞),B={x||x|<
2}={x|-2<x<2}=(-2,2),∴A∩B=(-2,0).
【答案】A
4.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},若A⊆B,则a的值为( )
A.-2B.-1C.0D.1
【解析】因为{0,1}⊆{-1,0,a+3},所以a+3=1,解得a=-2.
5.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<
0},B={1,2,3,4},则Venn图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{1,2}B.{2,3}
C.{3,4}D.{2,3,4}
【解析】由题意A={x|-2<
x<
3},∁UA={x|x≤-2或x≥3},∴阴影部分为(∁UA)∩B={3,4}.
【知识要点】
1.集合的含义与表示
(1)一般地,我们把研究对象统称为__元素__,把一些元素组成的总体叫__集合__,简称为集.
(2)集合中的元素的三个特征:
__确定性__、__互异性__、__无序性__.
(3)集合的表示方法有:
__列举法__、__描述法__、__图示法__、__区间法__.
(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“__∈__”与“__∉__”来表示.
(5)常用的数集:
自然数集N;
正整数集N*(或N+);
整数集Z;
有理数集Q;
实数集R.
2.集合之间的关系
(1)一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素__都是__集合B中的元素,我们就说这两个集合有__包含__关系,称集合A为集合B的__子集__,记作__A⊆B(或B⊇A)__;
若A⊆B,且A≠B,则AB,我们就说A是B的真子集.
(2)不含任何元素的集合叫做__空集__,记作__∅__,它是__任何一个集合的子集__,是任何一个__非空集合的真子集__,即∅⊆A,∅B(B≠∅).
3.集合的基本运算
(1)并集:
A∪B={x|x∈A__或__x∈B};
(2)交集:
A∩B={x|x∈A__且__x∈B};
(3)补集:
∁UA=__{x|x∈U且x∉A}__.
4.集合的运算性质
(1)A∩B=A⇔A⊆B,A∩A=A,A∩∅=∅;
(2)A∪B=A⇔A⊇B,A∪A=A,A∪∅=A;
(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C;
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A;
(5)A⊆B,B⊆A,则A=B.
典例剖析 【p2】
考点1 集合的基本概念
(1)对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<
5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}
D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}
【解析】A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;
B中集合当k取负数时,多出了若干元素;
C中集合当t=0时多了-3这个元素,只有D正确.
【答案】D
(2)已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的,且2∈A,则实数m的值为( )
A.2B.3
C.0或3D.0或2或3
【解析】因为2∈A,所以m=2或m2-3m+2=2,解得m=0或m=2或m=3.又集合中的元素要满足互异性,对m的所有取值进行一一检验可得只有m=3符合.
【答案】B
(3)若集合A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有一个元素,则m的取值集合是( )
A.{1}B.{-1}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
【解析】当m=0时,A={x|2x=0}={0},满足题意;
m≠0时,Δ=4-4m2=0,m=±
1.
综上m的取值集合是{-1,0,1}.
【点评】
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集,还是其他类型集合;
(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
考点2 集合间的基本关系
(1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.A=BB.A∩B=∅
C.A⊆BD.B⊆A
【解析】由集合A中的函数y=ln(x+3),
得到x+3>0,即x>-3,∴A=(-3,+∞),
∵B={x|x≥2}=[2,+∞),
∴A≠B,A∩B=[2,+∞),
∴B⊆A.
(2)若集合{a,0,1}=
,则a=______,b=______.
【解析】∵0∈
,∴c=0,从而
=1,即b=1,∴a=-1.
【答案】-1;
1
(3)已知集合A={x|x2-3x-4≤0},B={x|x≤a},若A∪B=B,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞)B.[4,+∞)
C.(-∞,4)D.(-∞,4]
【解析】集合A={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}=[-1,4],B={x|x≤a},
若A∪B=B,则A⊆B,所以a≥4,
∴实数a的取值范围是[4,+∞).
【点评】已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
考点3 集合的基本运算
(1)设集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x2-3x<0},则A∩B=( )
A.{-1}B.{1,2}
C.{1,2,3}D.{0,-1,3}
【解析】由题得B={x|0<x<3},所以A∩B={1,2}.
(2)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-3>
0},则∁UA=________.
【解析】由已知得,A={x|x2-2x-3>
0}=(-∞,-1)∪(3,+∞),又全集为R,根据补集的定义可得∁UA=[-1,3].
【答案】[-1,3]
(3)设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2-x-2=0},B={0,2},则B∪(∁UA)=( )
A.{0}B.{-2,0,1,2}
C.{-1,0,2}D.{-1,0,1,2}
【解析】由题得A={-1,2},所以∁UA={0,1,-2},所以B∪(∁UA)={-2,0,1,2}.
(4)设全集U为实数集R,集合A={x|y=ln(3-2x)},B={y|(y-1)(y-3)≤0},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.
∪
B.
C.
D.
【解析】由题意可得:
A=
,B=[1,3],
图中阴影部分表示集合∁U
,
其中A∩B=
则∁U
=
.
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况;
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
考点4 集合中的创新问题
(1)定义一种集合运算A⊗B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},设M={x||x|<
2},N={x|x2-4x+3<
0},则M⊗N用区间表示为________.
【解析】M={x||x|<
2}=(-2,2),N={x|x2-4x+3<
0}=(1,3),
∴M∪N=(-2,3),M∩N=(1,2),
∴M⊗N=(-2,1]∪[2,3).
【答案】
(-2,1]∪[2,3)
(2)S(A)表示集合A中所有元素的和,且A⊆
,若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是( )
A.10B.11C.12D.13
【解析】因为A⊆
,所以符合条件的非空集合A可以是:
,共11个.
【点评】解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
方法总结 【p3】
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.
3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.
4.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.
5.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
6.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
7.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
走进高考 【p3】
1.(2018·
全国卷Ⅲ)集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}
【解析】由题意知,A={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.
2.(2018·
全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>
0},则∁RA=( )
A.{x|-1<
2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<
-1}∪{x|x>
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
【解析】A={x|x2-x-2>0}={x|x<-1或x>
2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.
3.(2018·
全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
【解析】∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=-1,0,1,
当x=1时,y=-1,0,1;
当x=0时,y=-1,0,1;
当x=-1时,y=-1,0,1,
所以共有9个.
考点集训 【p175】
A组题
1.集合{x∈N|x-3<
2}用列举法表示是( )
A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,3,4}
【解析】由题意x<
5,又x∈N,∴集合为{0,1,2,3,4}.
2.下列各式:
①1∈{0,1,2};
②∅⊆{0,1,2};
③{1}∈{0,1,2};
④{0,1,2}={2,0,1},其中错误的个数是( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【解析】对于①,由元素与集合的关系的可得正确;
对于②,由空集是任何集合的子集知正确;
对于③,根据集合间的关系知不正确;
对于④,由于集合的元素具有无序性知正确.
3.设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|-1<x<3},则( )
A.A=BB.A⊇B
C.A⊆BD.A∩B=∅
【解析】∵A={x|x2-4x+3<
0}={x|1<
3},
B={x|-1<
3},∴A⊆B.
4.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},则∁UA=( )
A.{-1,2}B.{-2,0,1}
C.{-2,1}D.{-1,0,2}
【解析】集合A={x|(x+2)(x-1)=0}={-2,1},
因为全集U={-2,-1,0,1,2},
所以∁UA={-1,0,2}.
5.设全集U=R,集合A={x|1<
4},集合B={x|2≤x<
5},则A∩(∁UB)=( )
A.{x|1≤x<
2}B.{x|1<
2}D.{x|x≥5}
【解析】∁UB={x|x<
2或x≥5},
故A∩(∁UB)={x|1<
2}.
6.设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<
0},则下图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x<
3}B.{x|-3<
x≤1}
2}D.{x|-2<x≤1}
A={x|x≤1},B={x|-2<
又由图可知,阴影部分表示的集合为A∩B,
∴A∩B={x|-2<x≤1}.
7.设A={x|1<x<4},B={x|x-a>0},若A⊆B,则a的取值范围是________.
【解析】由题意B={x|x>a},∵A⊆B,∴a≤1.
(-∞,1]
8.已知集合A={2,4},B={a,a2+3},若A∩B={2},则实数a的值为________.
【解析】集合A={2,4},B={a,a2+3},
若A∩B={2},则a=2或a2+3=2(无解).
所以a=2,此时B={2,7}.
【答案】2
B组题
1.设集合M={x|x≥4},a=
,则下列关系中正确的是( )
A.a∈MB.a∉M
C.{a}∈MD.{a}∉M
【解析】∵4>
,∴a∉M.
2.已知m,n∈R,集合A={2,log7m},集合B={m,n},若A∩B={0},则m-n=( )
A.1B.2C.4D.8
【解析】因为A∩B={0},故0∈A,0∈B,所以log7m=0,故m=1,
又n=0,因此m-n=1.
3.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},已知M={y|y=-x2+2x,0<
2},N={y|y=2x-1,x>
0},则M⊗N=______________.
【解析】由已知,M={y|y=-x2+2x,0<
2}=(0,1],
N={y|y=2x-1,x>
0}=
所以M∪N=(0,+∞),M∩N=
所以M⊗N=
∪(1,+∞).
∪(1,+∞)
4.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若A∩B=B,求实数a的取值范围.
【解析】∵A∩B=B,∴B⊆A,
∵A={0,-4},
∴B=∅,或B={0},或B={-4},或B={0,-4}.
当B=∅时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根,
则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
0,整理得a+1<
0,解得a<
-1;
当B={0}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两等根均为0,则
解得a=-1;
当B={-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两等根均为-4,则
无解;
当B={0,-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根分别为0,-4,则
解得a=1.
综上所述:
a≤-1或a=1.
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- 版新课标名师导学高考第一轮总复习理科数学第一章集合 常用逻辑第1讲 集合及其运算 新课 名师 高考 第一轮 复习 理科 数学 第一章 集合 常用 逻辑 及其 运算
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