第1章123Word文档下载推荐.docx

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”）

（1）若f′（x）＝2x，则f（x）＝x2.（　　）

（2）已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．（　　）

（3）已知函数f（x）＝（x＋1）（x＋2），则f′（x）＝2x＋1.（　　）

【解析】　

（1）由f′（x）＝2x，则f（x）＝x2＋c.

（2）由y＝2sinx－cosx，则y′＝（2sinx）′－（cosx）′

＝2cosx＋sinx.

（3）由f（x）＝（x＋1）（x＋2）＝x2＋3x＋2，

所以f′（x）＝2x＋3.

【答案】　

（1）×

（2）√　（3）×

教材整理2　复合函数的概念及求导法则

阅读教材P20“例5”右边部分，完成下列问题．

复合函

数的概

念　　

一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过变量u，y可以表示成__________，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作________．

数的求

导法则

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为＝__________，即y对x的导数等于__________.

【答案】　x的函数　y＝f（g（x））　·

y对u的导数与u对x的导数的乘积

（1）函数f（x）＝xex的导数是f′（x）＝ex（x＋1）．（　　）

（2）函数f（x）＝sin（－x）的导数为f′（x）＝cosx．（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

导数四则运算法则的应用

　求下列函数的导数．

（1）y＝x－2＋x2；

（2）y＝3xex－2x＋e；

（3）y＝；

（4）y＝x2－sincos.

【自主解答】　

（1）y′＝2x－2x－3.

（2）y′＝（ln3＋1）·

（3e）x－2xln2.

（3）y′＝.

（4）∵y＝x2－sincos＝x2－sinx，

∴y′＝2x－cosx.

1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．

2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简（恒等变形），然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．

[再练一题]

1．

（1）设函数f（x）＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′

（1）的取值范围是（　　）

A．[－2,2]　　　　　　　　B．[，]

C．[，2]D．[，2]

（2）已知f（x）＝，若f′（x0）＋f（x0）＝0，则x0的值为________.

【导学号：

05410013】

【解析】　

（1）f′（x）＝sinθ·

x2＋cosθ·

x，

∴f′

（1）＝sinθ＋cosθ＝2sin，

∵θ∈，∴sin∈，

∴2sin∈[，2]．

（2）∵f′（x）＝

＝（x≠0）．

∴由f′（x0）＋f（x0）＝0，得

＋＝0，

解得x0＝.

【答案】　

（1）D　

（2）

复合函数的导数

（1）y＝e2x＋1；

（2）y＝；

（3）y＝5log2（1－x）；

（4）y＝sin3x＋sin3x.

【精彩点拨】　先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．

【自主解答】　

（1）函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·

ux′＝（eu）′（2x＋1）′＝2eu＝2e2x＋1.

（2）函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

ux′＝（u－3）′（2x－1）′＝－6u－4

＝－6（2x－1）－4＝－.

（3）函数y＝5log2（1－x）可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

u′x＝（5log2u）′·

（1－x）′＝＝.

（4）函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．

∴y′x＝（u3）′·

（sinx）′＋（sinv）′·

（3x）′

＝3u2·

cosx＋3cosv

＝3sin2xcosx＋3cos3x.

1．解答此类问题常犯两个错误

（1）不能正确区分所给函数是否为复合函数；

（2）若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

2．求下列函数的导数．

（1）y＝；

（2）y＝log2（2x2－1）．

【解】　

（1）y＝

＝

＝＝1＋.

设y＝1＋，u＝1－x，

则y′＝yu′·

ux′＝（1＋）′·

（1－x）′

＝·

（－1）＝－.

（2）设y＝log2u，u＝2x2－1，

则y′＝y′u·

ux′＝·

4x

＝.

[探究共研型]

导数法则的综合应用

探究　试说明复合函数y＝（3x＋2）2的导函数是如何得出的？

【提示】　函数y＝（3x＋2）2可看出函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，

∴yx′＝yu′·

ux′＝（u2）′·

（3x＋2）′

＝6u＝6（3x＋2）．

　已知函数f（x）＝ax2＋2ln（2－x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线为l，若直线l与圆C：

x2＋y2＝相切，求实数a的值．

【精彩点拨】　求出导数f′

（1），写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．

【自主解答】　因为f

（1）＝a，f′（x）＝2ax＋（x<

2），

所以f′

（1）＝2a－2，

所以切线l的方程为2（a－1）x－y＋2－a＝0.

因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.

关于复合函数导数的应用及其解决方法

1．应用

复合函数的导数应用主要有：

求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．

2．方法

先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；

若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．

3．若将上例中条件改为“直线l与圆C：

x2＋y2＝相交”，求a的取值范围．

【解】　由例题知，直线l的方程为2（a－1）x－y＋2－a＝0.

∵直线l与圆C：

x2＋y2＝相交，

∴圆心到直线l的距离小于半径．

即d＝<

.

解得a>

[构建·

体系]

1．函数y＝（2017－8x）3的导数y′＝（　　）

A．3（2017－8x）2　　　　　B．－24x

C．－24（2017－8x）2D．24（2017－8x）2

【解析】　y′＝3（2017－8x）2×

（2017－8x）′

＝3（2017－8x）2×

（－8）＝－24（2017－8x）2.

【答案】　C

2．函数y＝x2cos2x的导数为（　　）

A．y′＝2xcos2x－x2sin2x

B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x

C．y′＝x2cos2x－2xsin2x

D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x

【解析】　y′＝（x2）′cos2x＋x2（cos2x）′

＝2xcos2x＋x2（－sin2x）·

（2x）′

＝2xcos2x－2x2sin2x.

【答案】　B

3．已知f（x）＝ln（3x－1），则f′

（1）＝________.

【解析】　f′（x）＝·

（3x－1）′＝，

∴f′

（1）＝.

【答案】　

4．设曲线y＝eax在点（0,1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_______.

05410014】

【解析】　令y＝f（x），则曲线y＝eax在点（0,1）处的切线的斜率为f′（0），又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′（0）＝2.因为f（x）＝eax，所以f′（x）＝（eax）′＝（eax）·

（ax）′＝aeax，所以f′（0）＝ae0＝a，故a＝2.

【答案】　2

5．求下列函数的导数．

（1）y＝cos（x＋3）；

（2）y＝（2x－1）3；

（3）y＝e－2x＋1.

【解】　

（1）函数y＝cos（x＋3）可以看做函数y＝cosu和u＝x＋3的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

yx′＝yu′·

ux′＝（cosu）′·

（x＋3）′

＝－sinu·

1＝－sinu＝－sin（x＋3）．

（2）函数y＝（2x－1）3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，

ux′＝（u3）′·

（2x－1）′

2＝6u2＝6（2x－1）2.

（3）y′＝e－2x＋1·

（－2x＋1）′＝－2e－2x＋1.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：