初中数学因式分解专题训练及答案解析Word下载.docx
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x2+xy+y2
x2﹣4x+4
6.下列分解因式正确的是( )
3x2﹣6x=x(3x﹣6)
﹣a2+b2=(b+a)(b﹣a)
4x2﹣y2=(4x+y)(4x﹣y)
4x2﹣2xy+y2=(2x﹣y)2
7.下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )
x2﹣xy
x2+xy
x2﹣y2
x2+y2
8.把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式,下列结果中正确的是( )
a(x﹣2)2
a(x+2)2
a(x﹣4)2
a(x+2)(x﹣2)
9.下列因式分解错误的是( )
x2+y2=(x+y)(x+y)
x2﹣xy+xz﹣yz=(x﹣y)(x+z)
x2﹣3x﹣10=(x+2)(x﹣5)
10.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,则△ABC的形状是( )
等腰三角形
直角三角形
等腰三角形或直角三角形
等腰直角三角形
11.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:
n=s×
t(s,t是正整数,且s≤t),如果p×
q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×
q是n的最佳分解,并规定:
F(n)=
.例如18可以分解成1×
18,2×
9,3×
6这三种,这时就有F(18)=
=
.给出下列关于F(n)的说法:
(1)F
(2)=
;
(2)F(24)=
(3)F(27)=3;
(4)若n是一个完全平方数,则F(n)=1.其中正确说法的个数是( )
1
4
12.(﹣8)2006+(﹣8)2005能被下列数整除的是( )
5
7
9
13.如果x2+x﹣1=0,那么代数式x3+2x2﹣7的值为( )
6
8
﹣6
﹣8
二.填空题(共12小题)
14.若x2+4x+4=(x+2)(x+n),则n= _________ .
15.多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是 _________ .
16.因式分解:
ax2y+axy2= _________ .
17.计算:
9xy•(﹣
x2y)= _________ ;
分解因式:
2x(a﹣2)+3y(2﹣a)= _________ .
18.若|m﹣4|+(
﹣5)2=0,将mx2﹣ny2分解因式为 _________ .
19.因式分解:
(2x+1)2﹣x2= _________ .
20.分解因式:
a3﹣ab2= _________ .
21.分解因式:
a3﹣10a2+25a= _________ .
22.因式分解:
9x2﹣y2﹣4y﹣4= _________ .
23.在实数范围内分解因式:
x2+x﹣1= _________ .
24.已知P=3xy﹣8x+1,Q=x﹣2xy﹣2,当x≠0时,3P﹣2Q=7恒成立,则y的值为 _________ .
25.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:
如对于多项式x4﹣y4,因式分解的结果是(x﹣y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:
(x﹣y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3﹣xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是:
_________ (写出一个即可).
三.解答题(共5小题)
26.化简:
(a﹣b)(a+b)2﹣(a+b)(a﹣b)2+2b(a2+b2)
27.因式分解:
x2(y2﹣1)+2x(y2﹣1)+(y2﹣1).
28.在实数范围内分解因式:
.
29.计算:
1﹣a﹣a(1﹣a)﹣a(1﹣a)2﹣a(1﹣a)3﹣…﹣a(1﹣a)2000﹣[(1﹣a)2001﹣3]
30.为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》,某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会,其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下:
首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低,由1到n排序,第1所民办学校得奖金
元,然后再将余额除以n发给第2所民办学校,按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.
(1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金;
(2)设第k所民办学校所得到的奖金为ak元(1≤k≤n),试用k、n和b表示ak(不必证明);
(3)比较ak和ak+1的大小(k=1,2,…,n﹣1),并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义.
参考答案与试题解析
考点:
因式分解的意义.1117103
分析:
根据公式特点判断,然后利用排除法求解.
解答:
解:
A、是平方差公式,正确;
B、是完全平方公式,正确;
C、是提公因式法,正确;
D、两平方项同号,因而不能分解,错误;
故选D.
点评:
本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解,需熟练掌握.
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算,把(x+1)(x+2)利用乘法公式展开即可求解.
∵(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2,
∴c=2.
故选A.
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算.是中考中的常见题型.
要找出“做得不够完整的一题”,实质是选出分解因式不正确的一题,只有选项A:
x3﹣x=x(x2﹣1)没有分解完.
A、分解不彻底还可以继续分解:
x3﹣x=x(x2﹣1)=x(x+1)(x﹣1),
B、C、D正确.故选A.
因式分解要彻底,直至分解到不能再分解为止.
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式,利用排除法求解.
A、是多项式乘法,错误;
B、右边不是积的形式,x2﹣4x+4=(x﹣2)2,错误;
C、提公因式法,正确;
D、右边不是积的形式,错误;
故选C.
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断.
根据多项式特点结合公式特征判断.
A、不能提公因式也不能运用公式,故本选项错误;
B、同号不能运用平方差公式,故本选项错误;
C、不符合完全平方公式,应该是x2+2xy+y2,故本选项错误;
D、符合完全平方公式,正确;
本题主要考查了公式法分解因式的公式结构特点的记忆,熟记公式是解题的关键.
因式分解-运用公式法;
因式分解-提公因式法.1117103
专题:
计算题.
根据因式分解的定义,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解,并根据提取公因式法,利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解.
A、3x2﹣6x=3x(x﹣2),故本选项错误;
B、﹣a2+b2=(b+a)(b﹣a),故本选项正确;
C、4x2﹣y2=(2x+y)(2x﹣y),故本选项错误;
D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式,故本选项错误.
故选B.
本题主要考查了因式分解的定义,熟记常用的提公因式法,运用公式法分解因式的方法是解题的关键.
因式分解-运用公式法.1117103
能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是:
两个平方项,符号相反;
能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是:
两个平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍.
A、x2﹣xy只能提公因式分解因式,故选项错误;
B、x2+xy只能提公因式分解因式,故选项错误;
C、x2﹣y2能用平方差公式进行因式分解,故选项正确;
D、x2+y2不能继续分解因式,故选项错误.
本题考查用公式法进行因式分解.能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记.
提公因式法与公式法的综合运用.1117103
先提取公因式a,再利用完全平方公式分解即可.
ax2﹣4ax+4a,
=a(x2﹣4x+4),
=a(x﹣2)2.
本题先提取公因式,再利用完全平方公式分解,分解因式时一定要分解彻底.
因式分解-十字相乘法等;
因式分解的意义;
因式分解-分组分解法.1117103
根据公式法分解因式特点判断,然后利用排除法求解.
A、x2﹣y2=(x+y)(x﹣y),是平方差公式,正确;
B、x2+y2,两平方项同号,不能运用平方差公式,错误;
C、x2﹣xy+xz﹣yz=(x﹣y)(x+z),是分组分解法,正确;
D、x2﹣3x﹣10=(x+2)(x﹣5),是十字相乘法,正确.
本题考查了公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式,熟练掌握分解因式各种方法的特点对分解因式十分重要.
因式分解的应用.1117103
因式分解.
把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解,整理为非负数相加得0的形式,求出三角形三边的关系,进而判断三角形的形状.
∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0,
(a3﹣a2b)+(ab2﹣b3)﹣(ac2﹣bc2)=0,
a2(a﹣b)+b2(a﹣b)﹣c2(a﹣b)=0,
(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0.
所以a=b或a2+b2=c2.
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
本题考查了分组分解法分解因式,利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.
新定义.
把2,24,27,n分解为两个正整数的积的形式,找到相差最少的两个数,让较小的数除以较大的数,看结果是否与所给结果相同.
∵2=1×
2,
∴F
(2)=
是正确的;
∵24=1×
24=2×
12=3×
8=4×
6,这几种分解中4和6的差的绝对值最小,
∴F(24)=
,故
(2)是错误的;
∵27=1×
27=3×
9,其中3和9的绝对值较小,又3<9,
∴F(27)=
,故(3)是错误的;
∵n是一个完全平方数,
∴n能分解成两个相等的数,则F(n)=1,故(4)是正确的.
∴正确的有
(1),(4).
本题考查题目信息获取能力,解决本题的关键是理解此题的定义:
所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,F(n)=
(p≤q).
根据乘方的性质,提取公因式(﹣8)2005,整理即可得到是7的倍数,所以能被7整除.
(﹣8)2006+(﹣8)2005,
=(﹣8)(﹣8)2005+(﹣8)2005,
=(﹣8+1)(﹣8)2005,
=﹣7×
(﹣8)2005
=7×
82005.
所以能被7整除.
本题考查提公因式法分解因式,关键在于提取公因式,然后再对所剩的因数进行计算.
整体思想.
由x2+x﹣1=0得x2+x=1,然后把它的值整体代入所求代数式,求值即可.
由x2+x﹣1=0得x2+x=1,
∴x3+2x2﹣7=x3+x2+x2﹣7,
=x(x2+x)+x2﹣7,
=x+x2﹣7,
=1﹣7,
=﹣6.
本题考查提公因式法分解因式,代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中,首先应从题设中获取代数式x2+x的值,然后利用“整体代入法”求代数式的值.
14.若x2+4x+4=(x+2)(x+n),则n= 2 .
根据因式分解与整式的乘法是互逆运算,把等式右边展开后根据对应项系数相等列式求解即可.
∵(x+2)(x+n)=x2+(n+2)x+2n,
∴n+2=4,2n=4,
解得n=2.
本题主要利用因式分解与整式的乘法是互逆运算.
15.多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是 x﹣2 .
公因式.1117103
分别将多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4进行因式分解,再寻找他们的公因式.
∵ax2﹣4a=a(x2﹣4)=a(x+2)(x﹣2),
x2﹣4x+4=(x﹣2)2,
∴多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2.
本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后再确定公共因式.
ax2y+axy2= axy(x+y) .
确定公因式为axy,然后提取公因式即可.
ax2y+axy2=axy(x+y).
本题考查了提公因式法分解因式,准确找出公因式是解题的关键.
x2y)= ﹣3x3y2 ;
2x(a﹣2)+3y(2﹣a)= (a﹣2)(2x﹣3y) .
因式分解-提公因式法;
单项式乘多项式.1117103
(1)根据单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式,计算即可.
(2)直接提取公因式(a﹣2)即可.
x2y)=﹣
×
9•x2•x•y•y=﹣3x3y2,
2x(a﹣2)+3y(2﹣a)=(a﹣2)(2x﹣3y),
故答案分别为:
﹣3x3y2,(a﹣2)(2x﹣3y).
(1)本题考查了单项式与单项式相乘,熟练掌握运算法则是解题的关键.
(2)本题考查了提公因式法分解因式,解答此题的关键把(a﹣y)看作一个整体,利用整体思想进行因式分解.
﹣5)2=0,将mx2﹣ny2分解因式为 (2x+5y)(2x﹣5y) .
非负数的性质:
绝对值;
偶次方.1117103
先根据绝对值非负数,平方数非负数的性质列式求出m、n的值分别是4和25,然后代入多项式,再利用平方差公式进行因式分解即可.
|m﹣4|+(
﹣5)2=0
∴m﹣4=0,
﹣5=0,
解得:
m=4,n=25,
∴mx2﹣ny2,
=4x2﹣25y2,
=(2x+5y)(2x﹣5y).
本题主要考查利用平方差公式分解因式,根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
(2x+1)2﹣x2= (3x+1)(x+1) .
直接运用平方差公式分解因式,两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积.
(2x+1)2﹣x2,
=(2x+1+x)(2x+1﹣x),
=(3x+1)(x+1).
本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键,本题难点在于把(2x+1)看作一个整体.
a3﹣ab2= a(a+b)(a﹣b) .
观察原式a3﹣ab2,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式,利用平方差公式继续分解可得.
a3﹣ab2=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b).
本题是一道典型的中考题型的因式分解:
先提取公因式,然后再应用一次公式.
本题考点:
因式分解(提取公因式法、应用公式法).
a3﹣10a2+25a= a(a﹣5)2 .
先提取公因式a,再利用完全平方公式继续分解.
a3﹣10a2+25a,
=a(a2﹣10a+25),(提取公因式)
=a(a﹣5)2.(完全平方公式)
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解,分解因式一定要彻底.
9x2﹣y2﹣4y﹣4= (3x+y+2)(3x﹣y﹣2) .
此题可用分组分解法进行分解,可以将后三项分为一组,即可写成平方差的形式,利用平方差公式分解因式.
9x2﹣y2﹣4y﹣4
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