最新版春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业二标准满分答案Word下载.docx
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5.积分的引进分为三个递进的步骤:
非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分.
6.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
7.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.
8.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
9.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
10.若f有界且m(X)<
∞,则f可测。
11.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.
12.f∈BV,则f有“标准分解式”:
f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
13.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
14.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.
15.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
16.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.
17.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.
18.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
19.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
20.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
21.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.
22.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
23.若f∈BV,则f有界。
24.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点.
25.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).
26.对R^n中任意点集E,E\E'
必为可测集.
27.可积的充分条件:
若存在g∈L1,使得|f|<
=g.
28.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
29.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。
30.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->
+∞}f(x)=0.
31.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
32.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.
33.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。
34.若A交B等于空集,则A可测时必B可测.
35.设f:
R->
R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
36.f在E上可积的充要条件是级数M[E(|f|>
=n)]之和收敛.
37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<
=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<
=g,a.e.
二、单选题(共5道试题,共10分。
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|
D
2.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.单调函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数
C
3.fn->
f,a.e.,则
A.fn依测度收敛于f
B.fn几乎一致收敛于f
C.fn一致收敛于f
D.|fn|->
|f|,a.e.
4.在()条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<
mE<
+∞
C.mE=+∞
D.0<
=mE<
=+∞
5.下列关系式中不成立的是()
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多选题(共8道试题,共16分。
1.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性
AD
2.A,B是两个集合,则下列正确的是()
A.f^-1(f(A))=A
B.f^-1(f(A))包含A
C.f(f^-1(A))=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
BCD
3.若f(x)为Lebesgue可积函数,则()
A.f可测
B.|f|可积
C.f^2可积
D.|f|<
∞.a.e.
ABC
4.若f∈BV[a,b],则()
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
ABCD
5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则()
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
AB
6.若f∈AC[a,b],则()
A.f∈C[a,b]
B.f∈BV[a,b]
C.f(x)=f(a)+∫axf'
(t)dt
D.f∈Lip[a,b]
7.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
BC
8.若f,g是有界变差函数,则()
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
ABD
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