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(3)正弦波有精确的数学定义.
(4)正弦涉及其微分值处处存在,没有上下鸿沟.
使用正弦波作为频域中的函数形式有它特此外地方.若使用正弦波,则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解息争决.如果变换到频域并使用正弦波描述,有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案.
所示:
图2.2理想RLC电路相互作用的时域行动
频域的图如下?
\
时域与频域的相互转换
时域阐发与频域阐发是对模拟信号的两个不雅察面.时域阐发是以时间轴为坐标暗示动态信号的关系;
频域阐发是把信号变成以频率轴为坐标暗示出来.一般来说,时域的暗示较为形象与直不雅,频域阐发则更加简洁,剖析问题更加深刻和便利.
时域与频域的对应关系是:
时域里一条正弦波曲线的简谐信号,在频域中对应一条谱线,即正弦信号的频率是单一的,其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号.
依照傅里叶变换理论:
任什么时候域信号,都可以暗示为不合频率的正弦波信号的叠加.
1、正弦波时域信号是单一频率信号;
2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号;
3、任何波型都可以通过不合频率正弦波叠加得到;
解释1:
初学者一个经常的困惑是:
无法理解信号为何会有多个频率,加上许多书中的描述不敷严谨,比方:
语音信号的频率是在4k以下,是3~4千赫正弦波.
正确的解释是:
一个信号有两种暗示办法,时域和频域.在时域,信号只有周期,正是因为有了
傅立叶变换,人们才干理解到信号频域的概念.(先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个份量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!
)
注:
大家应牢记:
它不是真实的,而是一个数学机关.频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果.通过数学办法,可以更便利的不雅察到信号内含的信息、可以分化分解信号.
无线通信中传输资源包含了时间、频域、空间等.
时间比较好理解,就是:
时间周期1发送符号1,时间周期2发送符号2..,时域的波形可以用三角函数多项式暗示,函数参数有:
时间、幅度、相位.在载波传输中,载波信号由振荡器产生,它的时钟频率是固定的,倒数就是时间周期.
频域比较难理解,按傅立叶阐发理论,任什么时候域信号都对应了频域的若干频率份量(称为谐波)的叠加,频域的频率与时域的时钟频率不合.可以认为:
时域不存在频率,只存在时间周期.信号处理与通信中所指的频率一般都是指频域的频率份量.而每个频率份量都可从数学意义上对应时域的一个波形(称为谐波,基波是一种特殊的谐波,它的频率与时域波形的时钟频率相同)
.
因为载波一般都是正弦波,所以定义信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率(以Hz为单位),即1Hz.
时间周期T=1/f.
载波的功效拜见
调制解调部分外容.这里可以先不睬解作甚载波,关头是时域与频域的对应关系.
以这个时域波形为例
设时域波形(图中的分解波)的时间周期=T(如2秒),其时钟频率则为f0=1/2Hz.那么基波的频率、周期与分解波一样.每个谐波之间频率距离=基波频率.
而谐波1的频率f1=1/2+1/2=1Hz,周期T1=1.
谐波2的频率f2=1+1/2=3/2Hz,周期T2=2/3....
在频域中,每个频率份量都有自己的幅度与相位.按谐波的频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形.
将各谐波的时域波形叠加起来,即得到时域中分解波.
解释2:
时域信号的数据传输速率,经常使用bps,如100Kbps,指1s内传输了100Kbits的二进制数据.即:
时域的传输效率.
引入频域后,带来一个新的数据:
频谱效率,作为频域的传输效率.如80bps/Hz指1Hz频率上能传输80bps数据.
按信息论,带宽越大,数据速率越高.
解释3:
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?
如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分化信号的办法是无穷的,但分化信号的目的是为了加倍复杂地处理原来的信号.用正余弦来暗示原信号会加倍复杂,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:
正弦曲线保真度.一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能产生变更,但是频率和波的形状仍是一样的.且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不必方波或三角波来暗示.
此处仍要牢记:
频域是数学机关,只要有助于我们阐发信号,对应的数学办法就是有用的.
-------------------------
傅立叶变换原理
傅立叶变换分类
按照原信号的不合类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:
周期性连续信号
傅立叶级数(FourierSeries)
非周期性连续信号
傅立叶变换(FourierTransform)
非周期性离散信号
离散时域傅立叶变换(DiscreteTimeFourierTransform)
周期性离散信号
离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform)
-DFT
下图是四种原信号图例:
这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计较机处理来说是不成能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢?
没有.因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组分解长度有限的信号.
面对这种困难,办法是把长度有限的信号暗示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来暗示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的办法.
还有,也可以把信号用复制的办法进行延伸,这样信号就酿成了周期性离解信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换办法进行变换.这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计较机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计较机来处理信号的.
但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不合频率的正弦曲线来暗示,这对于计较机来说是不成能实现的.所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才干被适用,对于计较机来说只有离散的和有限长度的数据才干被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才干用到,在计较机面前我们只能用DFT办法,前面我们要理解的也正是DFT办法.这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学办法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的.
每种傅立叶变换都分红实数和单数两种办法,对于实数办法是最好理解的,但是单数办法就相对庞杂许多了,需要懂得有关单数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(realDFT),再去理解单数傅立叶就更容易了,所以我们先把单数的傅立叶放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在前面我们会先讲讲关于单数的根本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的根本上再来理解单数傅立叶变换.
还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不合的,函数变换是合适一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,复杂地说变换就是把一堆的数据酿成另一堆的数据的办法.
傅立叶原理标明:
任何连续丈量的时序或信号,都可以暗示为不合频率的正弦波信号的无限叠加.而按照该原理创立的傅立叶变换算法利用直接丈量到的原始信号,以累加方法来计较该信号中不合正弦波信号的频率、振幅和相位.
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法.该反变换从实质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改动的正弦波信号转换成一个信号.因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于阐发的频域信号(信号的频谱),可以利用一些东西对这些频域信号进行处理、加工.最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号.
傅立叶级数的五个公式(周期性函数)
傅立叶(19世纪的法国人)认为:
任何周期函数f(t)总是可以酿成下面的傅立叶级数
(傅立叶公式1)
它等价于下面的公式
(傅立叶公式2)
两个公式的关系是:
公式中a0,an、bn都是常数.AkCosWkt+BkSinWkt即时域信号的第k个频率份量对应的正弦波(即谐波)暗示.an,bn也称为傅立叶系数.
时域的信号用f(t)暗示,下面介绍这个信号如何转换到频域的暗示办法.
因为三角函数间有正交关系,如下
1,两个不合三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0.即正交.
2,两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi或pi.
解释:
上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数t.pi可对应时间周期T.
首先:
我们考虑如何对于时域信号f(t)
分化出其中的各个子信号(子谐波):
AkCosWkt+BkSinWkt.
然后可以得到各个谐波在频域的暗示办法:
频率W,幅度Cn、相位.这三项就是傅立叶变换的结果:
频域信号暗示
按上述的三角函数关系,要得到ak,就把f(t)乘以coswkt,并在整个周期内取积分.得
图中的an就是ak.
得到(下图中的an就是ak.)
按照AkCosWkt+BkSinWkt这个波形的暗示办法可以推导出:
1,
就是这个正弦波的最大幅值(最大振幅)(也即幅值频谱图的y轴).
2,
就是这个正弦波的相位.
经过复杂的三角函数运算,可以得到傅立叶级数f(t)的另一个表达方法:
(傅立叶公式3)
它可以更便利的计较出振幅
和相位
(辨别对应幅度谱与相位谱)
傅立叶级数f(t)的另一种暗示方法是
复指数形式,它也是最简捷的表达方法.
(傅立叶公式4)
Cn是单数,定义为
从上面的f(t)推导出复指数形式的进程略,根本思想是利用了欧拉公式e^jx=cos(x)+jsin(x)
及
频域份量转成的时域信号都是覆信号(含实部与虚部),虽然实际信号都是实的.
实际上信号的传输都用实信号,而接收信号的处理中则使用覆信号.
三角函数运算法例是:
,
从上面的复指数傅立叶级数公式中,可以直接得到各子频率份量对应正弦波(谐波)的振幅和相位.
复指数傅立叶级数公式(傅立叶公式4)可以推导出三角函数形式
傅立叶公式5
另外,在傅立叶公式4中看起来出现了“负频率”,但实际上它们是不存在,只是数学的一种暗示办法.
所以在傅立叶公式5中就消除了“负频率”
这里给出了五种傅立叶级数f(t)的暗示方法,它们都是等价的,并可相互推导出来.
傅立叶积分(非周期性函数)
非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱.
因为这个函数总可以在时间距离之外按其自己形状来重复,这里可使用傅立叶级数来计较频谱.而当时间距离不竭增大,在极限情况下就变成傅立叶积分.
考虑一个周期函数f(t),用傅立叶级数暗示.
其频谱图如下,
其相邻各谐波频率之间距离为
所以这个f(t)可以写为
,将△W代入原f(t)公式而得.
当T->
无穷大时,
,而Wn也->
0,所以
频谱会由离散频率点变成连续频谱.则Cn作为谐波Wk的幅值也会变成连续函数F(w)
则我们得到
非周期函数f(t)的傅立叶积分暗示办法f(t).
非周期函数f(t)的时域、频域图举例如下:
把F(w)的计较公式称为傅立叶积分公式.F(w)称为f(t)的傅立叶变换.f(t)公式即傅立叶反变换公式.
F(w)与f(t)的计较公式看起来很像,甚至可以相互调换f(t)与F(w).
由F(w)公式得出时域信号f(t)的频率份量.频率、频谱从实质上说是某种数学抽象.
振幅谱和相位谱的关系
上面的频谱图实际上是振幅谱,看不出相位与频率间的关系.
F(w)是频率的复函数.F(w)也可分化为振幅谱和相位谱.
它随频率变更.
它们有奇怪的对称性.振幅谱是频率的偶对称函数.相位谱是频率的奇对称函数.
可以推导出:
即相位就是
时域中的相位,与频域中的相位完全不合.
频域中相位是指各谐波的相位,它随频率而时间变更.
1,频域中完全看不出时间,只有谐波的各频率、幅值、相位.这些谐波在非稳定信号中可能其实不会在所有时间中存在,这是另一个信号处理领域的问题.
2,时域信号中看不出频率,只有各谐波叠加后的信号.
时域信号的周期=各谐波信号中的最大周期,即基波的周期.频率也相当于基波的频率.相位则是各谐波叠加后形成(相位在时域与频域没有固定的、可按公式计较出的关系).
时域信号的一个周期中的符号包含了以下信号的叠加(且可通过正交分化出来):
一个基波在一个周期内的符号,一次谐波在2个周期内的符号,二次谐波在3个周期内的符号,三次谐波在4个周期内的符号...
在快速傅立叶变换中,因为时域抽样点必须是2的K次方,所以偶次谐波的幅值总为0,即不携带信息或空符号
功率谱
从电路阐发可知,如
代表1欧电阻上的电压,则在此电阻内损耗的平均功率为(An2+Bn2)/2
瓦.
所以振幅频谱的平方就是不合频率上(n=0,1,2...)1欧电阻内所损耗功率的丈量.
各个频率上的功率相加,就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率.
任意电压f(t)加到1欧电阻上的瞬时功率就是|f(t)|2
傅立叶变换推导出:
时移原理与频移原理,对偶性质
傅立叶变换有两个重要的原理:
1,时间移位原理
将时域时间原点从t=0处移到t=t0处,则相当于频域F(w)的相移
,即
2,频谱搬移原理
如果F(w)的角频率移动了W0弧度/秒,则f(t)要乘上
,即:
推导公式是:
在调制技巧中,信号f(t)要调制到载波上产生的频率移动,即通过上述关系确立.
基带信号(带有信息)f(t)对载波信号CosW0t的调幅结果(即已调制信号),可暗示为
f0=W0/2pi,为时域载波信号的频率
已调制信号的傅立叶变换结果为:
即:
调制之后,f(t)的频谱被移动了,
比方:
先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT),再将得到的频谱向高处搬移,最后做傅里叶反变换(IFFT),恢复到时域,听到的声音会比原来的声调高.
时间-频率间的对应关系
对应关系1:
时间变更速率(即时域信号的变更速率)与频谱呈正比关系
时域信号波形中,振幅的变更组成整个信号的包络.
下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子,振幅的变更代表了传送的信息.
,2A是最大振幅
上式经复杂的三角运算后,得到
其频谱如下:
当原信息信号变更更快时(Wm增大),使得振幅调制后的信号也变更更快,边带频率(W0-Wm,W0+Wm)也更远的离开载波.
较快速的变更相当于较高频率的变动.
时间变更速率增加,频率也增高了(这点在上升时间与带宽关系中也可见)
对应关系2,时间周期T
与
频谱呈正比关系
下面用矩形脉冲序列来深入讨论时间-频率之间的关系.
它的频谱可以暗示成
再写成
给出一个归一化的无量纲变数
,则
函数sinx/x在x=0处有最大值,此处sinx->
x,(sinx/x)->
1,而当x->
无穷大时,它->
函数sinx/x的形状如下
因为n是离散的,所以Wn也取离散值(W1=2pi/T的各谐波),所以归一化参数x也是离散点,但Cn的包络无疑与上图一致.
虽然周期函数包含有根本频率的所有整数倍的频率份量,但在较高频率上,振幅的包络减小.并且根本周期T越小(即每秒的脉冲数增多),频率谱线越移越开.
时间函数比较快速的变更则相当于比较高的频率份量:
周期T削减,则频谱变大(因为△f=2pi/T
变大)
由于集中在低频区的谱线有较高的幅度,所以这个周期波所具有能量的大部分都散布在较低的频率份量上.
当函数变更增快(T减小)时,在较高频率规模内所包含的能量所占的比重将增大.
对应关系3:
脉冲宽度与频谱:
呈正比关系
从上图可见,随着脉冲宽度
的削减,信号的频率份量散布的更宽
因为
那么因为sinxx的图形不变,当sinxx=0时的x不会变,则此时
削减,暗示Wn会变大.
同时在
处的第一个零交点在频率轴上移远.
因此,在脉冲宽度或持续时间与脉冲的频率展布之间,有正比关系存在.
用脉冲宽度定义带宽
如
(即很窄的脉冲),则大部分信号能量将落在下式的规模内:
这个点也当作信号的带宽.
上面三点其实与上升时间越小,对应带宽越大的关系是一致的.
频谱、幅度谱、相位谱、功率谱
与周期性函数的频谱
频谱就是时域信号经过傅立叶变换后的覆信号;
因为Cn是单数.
幅度谱就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线;
相位谱就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线;
功率谱就是功率与频率之间的关系曲线.
周期性函数按上面傅立叶级数的推导办法来得到频谱(以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴)
按傅立叶公式1中
定义,可知每个频率点间的距离是2Pi/T,那么第0个频率点即基波,它的频率=2Pi/T.T是时域信号的周期,
所以基波频率=时域信号的时钟频率,基波暗示时域信号的直流份量.
从频谱图也能看出,相邻各谐波频率之间距离为
它就是基波角频率.
(角频率与频率之间就是多了个2pi的关系,那么基波频率就是时域信号的频率
W0在傅立叶级级数中用常数a0暗示.周期=2pi/W0.
一次谐波份量W1:
周期是基波份量周期的1/2,频率是基波频率的2倍.
二次谐波份量W2:
周期是基波份量周期的1/3,频率是基波频率的3倍.
...
频域各谐波频率一定是时域信号时钟频率的倍数.
基波的定义是:
将非正弦周期信号按傅里叶级数展开,频率与原信号频率相同的量.
在庞杂的周期性振荡中,包含基波调和波.和该振荡最长周期相等的正弦波份量称为基波.
相应于这个最长周期的频率称为根本频率.频率等于根本频率的整倍数的正弦波份量称为谐波.
周期为T的信号中有大量正弦波,其频率辨别为1/THz、2/THz、…、n/THz,称频率为1/THz的正弦波为“基波”,频率为等n/THz(n≠1)的正弦波为n次“谐波”.
基波谐波来自于原时域信号的频谱中各频率点的频率、相
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- 信号 时域 转换