中考压轴题汇编《代数计算及通过代数计算进行说理》含答案文档格式.docx
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2,
点是否存在?
若存在,求其坐标;
2点P在直线y=-x+2上,若点P关于OO的反称点P'
存在,且点P'
不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;
3严
(2)OC的圆心在x轴上,半径为1,直线y3X2.3与x轴、y轴分别交于点
3
A、B,若线段AB上存在点P,使得点P关于OC的反称点P'
在OC的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
例22017年福州市中考第22题
如图1,抛物线y=!
(x—3)2—1与X轴交于
2
A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)联结CD,过原点O作OE丄CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:
/AEO=ZADC;
(3)以
(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在
对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作OE的切线,
切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.
例32017年南京市中考第26题
已知二次函数y=a(x—m)2—a(x—m)(a、m为常数,且0).
(1)求证:
不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.
1当△ABC的面积等于1时,求a的值
2当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时,求m的值.
第三部分图形运动中的计算说理问题答案
(1)当OO的半径为1时,
动感体验
请打开几何画板文件名“15北京29”,拖动点圆心C在x轴上运动,可以体验到,当点P在圆内时,CP的变化范围是1<
CPW2.
思路点拨
1.反称点P是否存在,就是看CP是否大于或等于0.
2.第
(2)题反称点P在圆内,就是0<
CP<
1,进一步转化为0W2-CP<
1.
满分解答
(1)①对于M(2,1),OM=.5.因为OM'
=2「5<
0,所以点M不存在反称点(如图2).
如图3,对于N(^,0),ON=—.因为ON'
=2~=1,所以点N的坐标为(丄,0).
22222
如图4,对于T(1,-、3),OT=2.因为OT'
=0,所以点T关于OO的反称点T是(0,0).
图3
②如图5,如果点P存在,那么0P'
=2-OP>
0.所以0P<
2.
设直线y=—x+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,那么0A=OB=2.
如果点P在线段AB上,那么OPW2.
所以满足0P<
2且点P不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0Wxv2.
(2)由y3x2、一3,得A(6,0),B(0,2、.3).所以tan/A=3.
3OA3
所以/A=30°
.
因为点P在OC的内部,所以0WCPV1.
解不等式组ow2—CPv1,得1vCPW2.
过点C作CP丄AB于P,那么CP=丄AC.所以2VAC<
4.
考点伸展
第
(2)题如果把条件“反称点P'
在OC的内部”改为“反称点P存在”,那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢?
如果点P存在,那么CP>
0.
解不等式2—CP>
0,得CP<
2.
所以ACw4.因此圆心C的横坐标的取值范围是2wxv6.
请打开几何画板文件名“14福州22”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,当PE
最小时,PQ也最小.
1.计算点E的坐标是关键的一步,充分利用、挖掘等角(或同角)的余角相等.
2.求PE的最小值,设点P的坐标为(x,y),如果把PE2表示为x的四次函数,运算很麻烦.如果把PE2转化为y的二次函数就比较简便了.
121277
(1)由y(x-3)-1x-3x,得D(3,-1),C(0,—).
2222
由yJ(x—3)2-1」[(x—3)2-2]」(x—32)(x—3-2),
222
得A(3一.2,0),B(3.2,0).
(2)设CD与AE交于点F,对称轴与x轴交于点M,作DN丄y轴于N.
如图2,由D(3,-1),C(0,7),得DN=3,CN=9.因此tan—DCN.
22CN3
如图3,由OE丄CD,得/EOM=/DCN.因此tan.EOM=旦也=-.
OM3
所以EM=2,E(3,2).
由A(3—.2,0),M(3,0),得AM二2.
因此tan•AEM=型-,tan.DAM=D^=1-.
EM2AMJ22
所以/AEM=ZDAM.于是可得/AED=90°
.
如图4,在Rt△EHF与Rt△DAF中,因为/EFH=ZDFA,所以/HEF=ZADF,即/AEO=ZADC.
已知
122
y=_(X-3)-1,所以(X-3)=2y2.
还可以如图7那样求点Q的坐标:
例32017年南京市中考第26题
请打开几何画板文件名“13南京26”,拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值,拖
动点A可以改变m的值.分别点击按钮“mJ'
、“m2”、“m3”,再改变实数a,可以体验到,这3种情况下,点C、D到x轴的距离相等.
请打开超级画板文件名“13南京26”,拖动点A可以改变m的值,竖直拖动点C可以
改变a的值.分别点击按钮,可得到厶ABC的面积与厶ABD的面积相等的三种情形。
1.第
(1)题判断抛物线与x轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为(m,0)、(m+1,0),AB=1.
2.当△ABC的面积等于1时,点C到x轴的距离为2.
3.当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时,C、D到x轴的距离相等.
4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.
(1)由y=a(x—m)2—a(x—m)=a(x—m)(x—m—1),得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m+1,0).
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
11
(2)①由y=a(x—m)2—a(x—m)二a(x—m)2a,
24
得抛物线的顶点坐标为C(m1-」a).
/4
因为AB=1,abc=—AB汉—一a=1,所以a=±
8.
②当△ABC的面积与厶ABD的面积相等时,点C与点D到x轴的距离相等.
1
第一种情况:
如图1,C、D重合,此时点D的坐标可以表示为(0,-丄a),
'
4
111111
将D(0,a)代入y=a(x-m)a,得a=a(m)a.
424424
解得m=-1.
1第二种情况:
如图2,图3,C、D在x轴两侧,此时点D的坐标可以表示为(0,—a),
11211121
将D(0,—a)代入y=a(x「m)a,得一a=a(m)a.
解得
第
(1)题也可以这样说理:
由于由y=a(x5-才--a,抛物线的顶点坐标为
C(m-^-a)
当a>
0时,抛物线的开口向上,而顶点在当av0时,抛物线的开口向下,而顶点在因此不论a与m为何值,该函数的图像与
x轴下方,所以抛物线与x轴上方,所以抛物线与x轴总有两个公共点.
x轴由两个交点;
x轴由两个交点.
第
(1)题也可以用根的判别式△说理:
由y=a(x—m)2—a(x—m)=a[x2—(2m+1)x+m2+m],
得l二a[(2m1)2「4(m2m)]二a2>
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.
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