因式分解的常用方法目前最牛最全的教案29776文档格式.docx
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2abb
c"
原式=(x2y2)(axay)
原式=(a2
2abb2)
2c
=(xy)(xy)a(xy)
=(a
b)c
=(xy)(xya)
bc)(ab
c)
分解因式3、x2x9y23y
4、
x2
2yz
综合练习:
(1)x3x2yxy2y3
(2)ax2bx2bxax
(3)x6xy9y216a28a1
(4)a6ab12b9b4a
(5)a42a3a29
222
(6)4ax4aybx
b2y
(8)a22ab22b2ab1
(9)y(y2)
(m1)(m1)
(10)(ac)(ac)b(b2a)
四、十字相乘法
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)—次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知Ova<
5,且a为整数,若2x23xa能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求b24ac>
0而且是一个完全平方数。
于是98a为完全平方数,a1
例5、分解因式:
x25x6
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合,即2+3=5
1厶222
x5x6=x(23)x2313
=(x2)(x3)1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例&
分解因式:
x27x6解:
原式=x2[
(1)(6)]x
(1)(6)
=(x1)(x6)
练习5、分解因式
(1)x214x24
(-1)+(-6)=-7
2
⑵a215a36
⑶x4x5
练习6、分解因式
(1)x2x2
⑵y2y15
⑶x10x24
(二)二次项系数不为1的二次三项式条件:
(1)aa1a2
(2)cc1c2
(3)ba1c2a2c1
分解结果:
ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)
例7、分解因式:
3x211x10
1-2
(-6)+(-5)=-11
3x211x10=(x2)(3x5)
练习7、分解因式:
(1)5x27x6
(2)3x27x2
(3)10x217x3(4)6y211y10
(3)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
a28ab128b2
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解
1x8b
1—-16b
8b+(-16b)=-8b
a28ab128b2=a2[8b(16b)]a8b(16b)
=(a8b)(a16b)
练习8分解因式
(1)x23xy2y2
(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2
(四)二次项系数不为
例9、2x27xy
1的齐次多项式
6y2
-2y
-3v
10、xy3xy
1
例
把xy看作一个整体..'
-1
-2
(-3y)+(-4y)=-7y
15x27xy
4y2
原式=(x2y)(2x3y)
练习9、分解因式:
(1)
(-1)+(-2)=-3
原式=(xy1)(xy2)
(2)a2x26ax8
综合练习10、
(1)8x67x31
(2)12x211xy15y2
⑶(xy)23(xy)10
(4)(ab)24a4b3
(5)
5xy6x
5x
4xy
2x
4y
(9)
4x2
6x
3y
10
(6)m24mn
4n3m6n2
(8)5(ab)23(a
(10)12(xy)11(x
b)10(a
b)2
y2)
2(x
y)2
五、换元法。
例13、分解因式
(1)2005x2(200521)x2005
(2)(x1)(x2)(x3)(x6)x
(1)设2005=a,则原式=ax2(a21)xa
=(ax1)(xa)=(2005x1)(x2005)
(2)型如abede的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘
•••原式=(A
2x)Ax2
=A2
2Ax
2x
=(A
x)2=(x2
6)2
练习13、分解因式
(1)(x2
xy
y2)2
4xy(x2y2)
(2)(x23x2)(4x28x3)90
设x25x6A,贝Ux27x6A2x
原式=(x27x6)(x25x6)x2
六、添项、拆项、配方法。
光Sr
练习15、分解因式
(2)(x1)4(x21)2(x1)4
(3)x47x214)x4x22ax1a2
第二部分:
习题大全
经典
一、填空题
1.把——个多项式化成几个整式的的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=.
3、分解因式:
x2-4y2=.
4、分解因式:
x4x4=。
5、将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
6、若xy5,xy6,则x2yxy2二,2x22y2=。
二、选择题
32223
7、多项式15mn5mn20mn的公因式是()
2222
A、5mnb、5mnc、5mnd、5mn
8下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A
a3a3
a29
B、a
b2
abab
m2
2m
3
3mm2—
C
a4a5
aa4
5D、
m
10.
下列多项式能分解因式的是(
)
(A)x2-y(B)x
2+1
(C)x2+y+y2
(D)x
2-4x+4
11.
扌巴(x—y)
2/
—(y-
x)分解因式为
(
A.
(x—y)(x-
y—1)
b.(y—x)(x
—y—1)
C.
(y—x)(y—
x—1)
D.(y—x)(y
—x+1)
12.
下列各个分解因式中正确的是(
10abc+6ac+2ac=2ac(5b+3c)
B.(a—b)—(b—a)=(a—b)(a—b+1)
C.x(b+c—a)—y(a—b—c)—a+b—c=(b+c—a)(x+y—1)
D.(a—2b)(3a+b)—5(2b—a)2=(a—2b)(11b—2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为()
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式:
14、nxny15、4m29n2
18、x416x
19
9(mn)16(mn);
、7
五、解答题
20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长b=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径d45cm,外径D75cm>长I3m。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土?
(取3.14,结果保留2位有效数字)
i巳
Dd
22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。
⑴X21x1x1
⑵X41X21X1X1
⑶X81X41X21X1X1
⑷X161X81X41X21X1X1
⑸
经曲一.
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占
有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。
因式分解的对象是多项式;
1.
2.
3.
因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4.
公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式;
5.
结果如有相同因式,应写成幕的形式;
6.
7.
因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”
“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看
能否直接利用乘法公式;
如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、
法;
待定系数法、试除法、
拆项(添项)等方
F面我们一起来回顾本章所学的内容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式X5X4X3X2X1
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把
X5
X4
X3和
X2
X1分别看成一组,此
时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;
也可把
X4,
X3
时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
x
(xx
1)
(x:
31)(x2
(x
1)(x2
解二:
原式=(x5
x4)
(x3
x2)
x4
(x1)
x2(x1)
1)(x4
1)[(x4
21)
]
2.通过变形达到分解的目的
例1.分解因式x33x24
解一:
将3x2拆成2x2x2,则有
原式x32x2(x24)
x2(x2)(x2)(x2)
(x2)(x2x2)
(x1)(x2)2
将常数4拆成13,则有
原式x31(3x23)
(x1)(x2x1)(x1)(3x3)
(x1)(x24x4)
3.在证明题中的应用
例:
求证:
多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
证明:
(x24)(x210x21)100
2)(x
3)(x
7)
100
7)(x
3)
(x2
14)(x
25x
6)
设y
5x,
则
原式
(y
14)(y
2y
8y
16(y4)2
无论y取何值都有(y4)2
(x24)(x210x21)100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
(a2bc)3(ab)3(bc)3
本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代
换的方法。
设a+b=Ab+c=B,a+2b+c=A+B
原式(AB)3A3B3
322333
A33AB3AB2B3AB3
3A2B3AB2
3AB(AB)
3(ab)(bc)(a2bc)
说明:
在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
在ABC中,三边a,b,c满足a216b2c26abI0bc0求证:
ac2b
1.若X为任意整数,求证:
(7x)(3x)(4x2)的值不大于100。
一、填空:
(30分)
1若x22(m3)x16是完全平方式,则m的值等于。
2、x2xm(xn)2则m=n=3、2x3y2与12x6y的公因式是一
4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4),贝Um=,n=。
有
,其结口果是
o
6、若x2
2(m3)x
16是完全平方式,则m=
o7、x2(
:
)x2(x2)(x
8已知1
xx
200420052006
xx0,则x
9、若16(a
b)2M
25是完全平方式M=
。
5、在多项式3y2?
5y315y5中,可以用平方差公式分解因式的
)
10、x26x_(x3)2,x2_9(x3)2
11、若9x2ky2是完全平方式,则k=。
14、若xy4,x2y26则xy
12、若x24x4的值为0,则3x212x5的值是。
13、若x2ax15(x1)(x15)则a=。
15、方程x24x0,的解是<
二、选择题:
(10分)
1、多项式a(ax)(xb)ab(ax)(bx)的公因式是()
A、一aB、a(ax)(xb)C、a(ax)D、a(xa)
2、若mx2kx9(2x3)2,贝Um,k的值分别是()
A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4,k=12、
式分解因式的有(
四、代数式求值(15分)
1、已知2xy-,xy2,求2x4y3x3y4的值
(1)0.753.662.66
4
(2)
20012000
11
(3)2562856222442
3、已知ab2,求(a2b2)28(a2b2)的值
六、试说明:
(8分)
1、对于任意自然数n,(n7)2(n5)2都能被动24整除
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数,所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积
七、利用分解因式计算(8分)
1、一种光盘的外D=11.9厘米,内径的d=3.7厘米,求光盘的面积。
(结果保留两位有效数字)
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米,其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。
八、老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述:
甲:
这是一个三次四项式乙:
三次项系数为1,常数项为1丙:
这个多项式前三项有公因式
丁:
这个多项式分解因式时要用到公式法
(4分)
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式,并将它分解因式
经典四:
因式分解
一、选择题
1代数式a3b2—1a2b3,-a3b4+a4b3,a4b2-a2b4的公因式是()
22
A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3
2、用提提公因式法分解因式5a(x—y)—10b•(x—y),提出的公因式应当为(
A、5a—10bB、5a+10bC、5(x—y)D、y—x
3、把一8mi+12^+4m分解因式,结果是()
A、一4m(2m—3n)B、一4m(2m+3m-1)
C、一4m(2m—3m—1)D、一2m(4m—6m+2)
—2x(x+2)
4、把多项式—2x4—4x2分解因式,其结果是()
424222
A、2(一x—2x)B、一2(x+2x)C、一x(2x+4)D、
5、
(—2)1998+(—2)1999等于(
一2伯98B2伯98
1999
一2
D21999
6、
、(4+x2)(4—x2)、(2+x)3(2—x)
把16—x4分解因式,其结果是
(2—x)4B
(4+x2)(2+x)(2—x)
7、
把a4—2a2b2+b4分解因式,a2(a2—2b2)+b4B、(a2—b2)
结果是
()
C、(a—b)
(a+b)(a—b)
把多项式2x2—2x+1分解因式,
12
B、2(x—-)2
其结果是
A、(2x—1)2
C、(x—2)2
(x—1)2
9、若9a+6(k—3)a+1是完全平方式,则k的值是()
A、土4B、土2C、3D、4或2
10、一(2x—y)(2x+y)是下列哪个多项式分解因式的结果()
A、4x2—y2B、4x2+y2C、一4x2—y2D、一4x2+y2
11、多项式x2+3x—54分解因式为(
A(x+6)(x—9)
C(x+6)(x+9)
、(x—6)(x+9)
、(x—6)(x—9)
1、
2、
3、
&
9、
、填空题
2x2—4xy—2x=
▲322322Z
4ab—10ab=2ab(_
(1—a)mn+a—1=(
m(m—n)2—(n—m)2=(
(x-2y-1)
)(mn-1)
)(__
x—()+16y=()
x—(=(x+5y)(x—5y)
a—4(a—b)2=()•()
a(x+y—z)+b(x+y—z)—c(x+y—z)=(x+y—z)•(16(x—y)2—9(x+y)2=()•()
(a+b)—(a+b)=(a+b)•()•(
2)()
P=.
10、
11、x2+3x+2=(
12、已知x2+px+12=(x—2)(x—6),则
三、解答题
1、把下列各式因式分解。
(1)x2—2x3
(2)3y
3—6y2+3y
(3)a2(x—2a)2—a(x—2a)2
⑷(X
—2)2—x+2
(5)25m—10mn+n
(6)12a
b(x—y)—4ab(y—x)
(7)(x—1)2(3x—2)+(2—3x)(8)a
+5a+6
(9)x2-11x+24
(io)y
2-12y-28
(11
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