解三角形中相关的取值范围问题Word下载.docx
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(1)求tanAtanB的值。
(2)求严吓2的最大值
a+b-c
通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。
这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力,是高考命题的热点。
理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。
希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1.在LABC中,a=2,c=1,贝帚C的取值范围为
2.若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边
长的比值为m,则m的取值范围是
3.在RtLABC中,C=-,且A,B,C所对的边a,b,c满足a・b=:
xc,则实
数x的取值范围为
4.在锐角LABC中,A=2B,AC=1,则BC的取值范围是
5.在锐角ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,记M=cosAcosC,
则M的取值范围是
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc=a2-(b-c)2且
sinBsinC,贝卩sinA=,Sabc的最大值为
8.在LABC中,m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),且m”n=sinB+sinC
(1)求证:
LABC为直角三角形
(2)若LABC外接圆的半径为1,求LABC的周长的取值范围
9.在LABC中代B,C所对的边分别为a,b,c,已知、2sinA-、3cosA
(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值
(2)若a—3,求LABC面积的最大值。
例1:
在锐角丨ABC中,A=2B,则c的取值范围是
b
解析:
[JIJI
由0:
:
A=2B且0:
:
C=二一A—B:
—
22
得匸,所以亠泄二進二Sin2BC0SBCOS2B8in^4cos2B-1,
64bsinBsinBsinB
点评:
①本题易错在求B的范围上,容易忽视“LABC是锐角三角形”
这个条件。
②本题涉及三角形边角之间的关系,考察边角互化,化多
元为一元,体现了解题的通性通法。
若LABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为代B,C,
则sinB-cosB的取值范围是解析:
由题设知b2二ac,又余弦定理知
22,222
ra+c—ba+c—ac,2ac—ac1cosB=
2ac2ac2ac2
所以0:
B,又sinBcosB=h2sin(B—)且B—所以
3<
4412
.2sin(B(1八2]即sinBcosB的取值范围是(1八2。
本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来,有利于提高学生解题的综合能力。
例3:
在LABC中,角代B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列。
解析:
(1)由题意知acosC•ccosA=2bcosB,
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
所以sin(AC)=2sinBcosB,于是cosB=丄,B=-
23
(2)由正弦定理工bc10,所以
sinAsinBsinCJ3
101010abcsinA5sinC=5〜sin(
73y/33
又由0:
A匸得-:
—,所以
2663
ji
abc=510sin(A)(10,15]。
6
对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公
式以及恒等变换式等实施变形,达到化简、求值域的目的。
在LABC中,a2b^c2-ab,若LABC的外接圆半径为^2,则
32
LABC的面积的最大值为
222解析:
又a2b^c2^ab及余弦定理得cosC=ab七=丄,所以
32ab3
2&
sinC
3
2
又由于c=2RsinC=4,所以c2=a2b2-2abcosC即16ab=a2b2一2ab
所以ab_12,又由于S=^absinC2ab_4、2,故当且仅当a=b=2』3
时,LABC的面积取最大值4、2
先利用余弦定理求cosA的大小,再利用面积公式结合基本不
等式,求面积的最大值,要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。
(2008,江苏)满足AB=2,AC二2BC的LABC的面积的最大值是
设BC=x,则AC_.2x,
根据面积公式得SabcABBCsinB=x1-cos2B①
代入①式得Sabc十1-(4"
)2128-(/-12『
16
\4x
由三角形三边关系有.2xx.2且x•2.、一2x,所以2^2-2x■2/22,
故当X=2、3时,Sabc取得最大值2迈。
本题结合函数的知识,以学生熟悉的三角形为载体,考察了面
积公式、余弦定理等知识,是一道考察解三角形的好题。
(1)求tanAtanB的值。
⑵求培的最大值。
由m"
cos(A"
cos号),铲)’且m得5[1「cos(AB)]cos2A旦=9,所以4cos(A「B)二5cos(AB),
828
1
即cosAcosB二9sinAsinB,所以tanAtanB-
(2)由余弦定理得严雪。
2二absinC」tanC,而
9
222
tanAtanB
ab-c2abcosC2
993tan(AB)(tanAtanB)2tanAtanB=-
1-tanAtanB884
即怡皿®
有最小值3,又tanC—tan(AB),
所以tanC有最大值-彳(当且仅当tanA=tanB时取等号)
43
所以a2粧的最大值为-I
通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合
正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、
次函数、向量等知识综合考查。
1在LABC中,a=2,c=1,贝,C的取值范围为
3.在RtLABC中,C=-,且A,B,C所对的边a,b,c满足axc,则实
4.在锐角ABC中,A=2B,AC=1,则BC的取值范围是
5.在锐角LABC中,三个内角A,B,C成等差数列,记M=cosAcosC,
6.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是
7.已知LABC外接圆的半径为6,若面积Sabc二a2-(b-C)2且
sinBsinC=4,贝SsinA二,Sabc的最大值为
H4耐片
8.在LABC中,m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),且mn=sinBsinC
9.在LABC中代B,C所对的边分别为a,b,c,已知.2sinA—,3cosA
(2)若a,求LABC面积的最大值。
参考答案
1.
sinCJsinAJ,C(0,—]
226
sin2A
锐角,且4—2sinA旦一=4cos2A,即17sin2A—8sinA=0,故有4
贝Sbc=2R(sinBsinC)=12^16
Sabc*csinA岂晋(吁)2专64=256(当且仅当b=c=8时取等
号)
即Sabc的最大值为
256
17
=sinBsinC
8.
(1)由m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),
得sinAcosBsinAcosC二sinBsinC,由正弦定理得acosB-acosC二b•c,
222222
由余弦定理得aac-aabcbc2ac2ab
整理得(bc)(a2-b2-c2)=0
又由于bc0,故a2=b2c2,即LABC是直角三角形
(或者:
由sinAcosBsinAcosC二sinBsinC得,
sinAcosBsinAcosC二sin(AC)sin(AB)
化简得cosA(sinBsinC)=0,由于sinBsinC0,故cosA二0,即LABC是直角三角形)
(2)设LABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
由于LABC外接圆的半径为1,A=—,所以a=2RsinA=2,
所以bc二2R(sinBcosB)二2(sinBcosB)二2/2sin(B—)又0:
B,故一:
B—,因而2、2sin(B—)(2,2.2]
24444
故4:
abc_22』2
即LABC的周长的取值范围为(4,2^.2]
9.
(1)由'
2sinA=.3cosA两边平方得2sin2A=3cosA
即(2cosA-1)(cosA2)=0,解得cosA-
2.22
22,2bc-am
由a-cb-mbc得
2bc2
即cosA=m=」,所以m=1
由
(1)知cosA冷,则sinA存,
c-a
2bc
所以
be=b2c2-a2_2bc-a2,即be_a2,
故Sabc#bcsinA
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