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6、其他力做功与机械能的关系
其他力做正功,机械能增加;
其他力做负功,机械能减少。
其他力所做的功等于机械能的增加量。
W其他=ΔE机
7、摩擦生热:
系统产生的热量等于滑动摩擦力乘以相对位移。
(能量损失了)Q热=f滑L相
8、机械能守恒定律:
只有重力或只有弹力做功,机械能守恒。
EP1+EK1=EP2+EK2
1.[2012·
山西省四校联考]如图所示,半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内,两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连,水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡.在水平轨道上,轻质弹簧被a、b两小球挤压,处于静止状态.同时释放两个小球,a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A,b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1,b球质量为m2,重力加速度为g.求:
(1)a球离开弹簧时的速度大小va;
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb;
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
2.一个平板小车置于光滑水平面上,其右端恰好和一个
光滑圆弧轨道AB的底端等高对接,如图4-4-22所示.已知小车质量M=3.0kg,长L=2.06m,圆弧轨道半径R=0.8m.现将一质量m=1.0kg的小滑块,由轨道顶端A点无初速释放,滑块滑到B端后冲上小车.滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3.(取g=10m/s2)试求:
(1)滑块到达B端时,轨道对它支持力的大小;
(2)小车运动1.5s时,车右端距轨道B端的距离;
(3)滑块与车面间由于摩擦而产生的内能.
3.如图4-4-23所示,为一传送装置,其中AB段粗糙,AB段长为L=0.2m,动摩擦因数μ=0.6,BC、DEN段均可视为光滑,且BC的始、末端均水平,具有h=0.1m的高度差,DEN是半径为r=0.4m的半圆形轨道,其直径DN沿竖直方向,C位于DN竖直线上,CD间的距离恰能让小球自由通过.在左端竖直墙上固定有一轻质弹簧,现有一可视为质点的小球,小球质量m=0.2kg,压缩轻质弹簧至A点后由静止释放(小球和弹簧不粘连),小球刚好能沿DEN轨道滑下.求:
(1)小球到达N点时速度的大小;
(2)压缩的弹簧所具有的弹性势能.
4、如图所示,传送带与水平面之间的夹角为θ=30°
,其上A、B两点间的距离为l=5m,传送带在电动机的带动下以v=1m/s的速度匀速运动,现将一质量为m=10kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带的A点,已知小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=
,在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中,求:
(1)传送带对小物体做的功.
(2)电动机做的功.(g取10m/s2)
一、选择题
1.如图1所示,一木块放在光滑水平面上,一子弹水平射入木块中,射入深度为d,平均阻力为f.设木块离原点s远时开始匀速前进,下列判断正确的是[ ]
A.功fs量度子弹损失的动能
B.f(s+d)量度子弹损失的动能
C.fd量度子弹损失的动能
D.fd量度子弹、木块系统总机械能的损失
2.如图11所示,质量为m的可看成质点的物块置于粗糙水平面上的M点,水平面的右端与固定的斜面平滑连接,物块与水平面及斜面之间的动摩擦因数处处相同。
物块与弹簧未连接,开始时物块挤压弹簧使弹簧处于压缩状态。
现从M点由静止释放物块,物块运动到N点时恰好静止。
弹簧原长小于MM′。
若在物块从M点运动到N点的过程中,物块与接触面之间由于摩擦所产生的热量为Q,物块、弹簧与地球组成的系统的机械能为E,物块通过的路程为x。
不计转折处的能量损失,下列图像所描述的关系中可能正确的是( )
图11
图12
3.关于做功和物体动能变化的关系,不正确的是[ ]
A.只要动力对物体做功,物体的动能就增加
B.只要物体克服阻力做功,它的动能就减少
C.外力对物体做功的代数和等于物体的末动能与初动能之差
D.动力和阻力都对物体做功,物体的动能一定变化
4.一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m,这时物体的速度2m/s,则下列说法正确的是[ ]
A.手对物体做功12J B.合外力对物体做功12J
C.合外力对物体做功2J D.物体克服重力做功10J
10.(2013·
淄博模拟)如图8所示是一皮带传输装载机械示意图,井下挖掘工将矿物无初速放置于沿图示方向运行的传送带A端,被传输到末端B处,再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C处,然后水平抛到货台上。
已知半径为R=0.4m的圆形轨道与传送带在B点相切,O点为半圆的圆心,BO、CO分别为圆形轨道的半径,矿物m可视为质点,传送带与水平面间的夹角θ=37°
,矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.8,传送带匀速运行的速度为v0=8m/s,传送带AB点间的长度为sAB=45m。
若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为sCD=2m,竖直距离为hCD=1.25m,矿物质量m=50kg,sin37°
=0.6,cos37°
=0.8,g=10m/s2,不计空气阻力。
求:
图8
(1)矿物到达B点时的速度大小;
(2)矿物到达C点时对轨道的压力大小;
(3)矿物由B点到达C点的过程中,克服阻力所做的功。
(2013·
济南模拟)利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处。
如图2-2-4所示,已知传送轨道平面与水平方向成37°
角,倾角也是37°
的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接,弹簧下端固定在斜面底端,工件与皮带间的动摩擦因数μ=0.25。
皮带传动装置顺时针匀速转动的速度v=4m/s,两轮轴心相距L=5m,B、C分别是传送带与两轮的切点,轮缘与传送带之间不打滑。
现将质量m=1kg的工件放在弹簧上,用力将弹簧压缩至A点后由静止释放,工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v0=8m/s,AB间的距离x=1m。
工件可视为质点,g取10m/s2。
(sin37°
=0.8)求:
图2-2-4
(1)弹簧的最大弹性势能;
(2)工件沿传送带上滑的时间;
2.倾斜传送带与水平方向的夹角θ=30°
,传送带以恒定的速度v=10m/s沿如图2-2-5甲所示方向运动。
现将一质量m=50kg的物块轻轻放在A处,传送带AB长为30m,物块与传送带间的动摩擦因数为μ=
,且认为物块与传送带之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10m/s2。
则在物块从A至B的过程中:
图2-2-5
(1)开始阶段所受的摩擦力为多大?
(2)共经历多长时间?
(3)在图乙中准确作出物块所受摩擦力随位移变化的函数图像;
(4)摩擦力做的总功是多少?
9.(2013·
日照模拟)如图10所示,从A点以v0=4m/s的水平速度抛出一质量m=1kg的小物块(可视为质点),当物块运动至B点时,恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC,经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上,圆弧轨道C端切线水平。
已知长木板的质量M=4kg,A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m,圆弧轨道BC对应圆的半径R=0.75m,物块与长木板之间的动摩擦因数μ1=0.5,长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2,g取10m/s2。
图10
(1)小物块运动至B点时的速度大小和方向;
(2)小物块滑动至C点时,对圆弧轨道C点的压力大小;
(3)长木板至少为多长,才能保证小物块不滑出长木板。
潍坊模拟)如图11所示,水平轨道MN与竖直光滑半圆轨道相切于N点,轻弹簧左端固定在轨道的M点,自然状态下右端位于P点,将一质量为1kg的小物块靠在弹簧右端并压缩至O点,此时弹簧储有弹性势能Ep=18.5J,现将小物块无初速释放,已知OP=0.25m,PN=2.75m,小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2,圆轨道半径R=0.4m,g取10m/s2。
(1)物块从P点运动到N点的时间;
(2)分析说明物块能否通过半圆轨道最高点B。
若能,求出物块在水平轨道上的落点到N点的距离。
若不能,简要说明物块的运动情况。
[例] 如图5所示,将一质量为m=0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5m的圆截去了左上角127°
的圆弧,CB为其竖直直径(sin53°
=0.8,cos53°
=0.6,重力加速度g取10m/s2)。
图5
(1)小球经过C点的速度大小;
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小;
(3)平台右端O点到A点的竖直高度H。
[例] 如图7甲所示,弯曲部分AB和CD是两个半径相等的四分之一圆弧,中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径),细圆管分别与上、下圆弧轨道相切连接,BC段的长度L可伸缩调节。
下圆弧轨道与水平面相切,D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点,整个轨道固定在同一竖直平面内。
一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道,从D点水平飞出。
在A、D两点各放一个压力传感器,测试小球对轨道A、D两点的压力,计算出压力差ΔF。
改变BC间距离L,重复上述实验,最后绘得ΔF-L的图线如图乙所示。
(不计一切摩擦阻力,g取10m/s2)图7
(1)某一次调节后D点离地高度为0.8m。
小球从D点飞出,落地点与D点的水平距离为2.4m,求小球过D点时速度大小。
(2)求小球的质量和圆弧轨道的半径大小。
2.如图2所示,质量为m=0.1kg的小球置于平台末端A点,平台的右下方有一个表面光滑的斜面体,在斜面体的右边固定一竖直挡板,轻质弹簧拴接在挡板上,弹簧的自然长度为x0=0.3m,斜面体底端C点距挡板的水平距离为d2=1m,斜面体的倾角为θ=45°
,斜面体的高度h=0.5m。
现给小球一大小为v0=2m/s的初速度,使之在空中运动一段时间后,恰好从斜面体的顶端B点无碰撞地进入斜面,并沿斜面运动,经过C点后再沿粗糙水平面运动,过一段时间开始压缩轻质弹簧。
小球速度减为零时,弹簧被压缩了Δx=0.1m。
已知小球与水平面间的动摩擦因数μ=0.5,设小球经过C点时无能量损失,重力加速度g=10m/s2,求:
图2
(1)平台与斜面体间的水平距离d1;
(2)小球在斜面上的运动时间t1;
(3)弹簧压缩过程中的最大弹性势能Ep。
4.如图4所示,在大型超市的仓库中,要利用皮带运输机将货物由平台D运送到高为h=2.5m的C平台上,为了便于运输,仓储员在平台D与传送带间放了一个
圆周的光滑轨道ab,轨道半径为R=0.8m,轨道最低端与皮带接触良好。
已知皮带和水平面间的夹角为θ=37°
,皮带和货物间的动摩擦因数为μ=0.75,运输机的皮带以v0=1m/s的速度顺时针匀速运动(皮带和轮子之间不打滑)。
仓储员将质量m=200kg货物放于轨道的a端(g=10m/s2),求:
(1)货物到达圆轨道最低点b时对轨道的压力;
(2)货物沿皮带向上滑行多远才能相对皮带静止;
(3)皮带将货物由A运送到B需对货物做多少功。
图4
[典例] (2013·
泰州模拟)如图1-1-10所示,ace和bdf是间距为L的两根足够长平行导轨,导轨平面与水平面的夹角为θ。
整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,ab之间连有阻值为R的电阻。
若将一质量为m的金属棒置于ef端,今用大小为F,方向沿斜面向上的恒力把金属棒从ef位置由静止推至距ef端s处的cd位置(此时金属棒已经做匀速运动),现撤去恒力F,金属棒最后又回到ef端(此时金属棒也已经做匀速运动)。
若不计导轨和金属棒的电阻,且金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ。
(1)金属棒上滑过程中的最大速度;
图1-1-10
(2)金属棒下滑过程的末速度。
[典例] (2012·
海南高考)图3-2-6甲所示的xOy平面处于匀强磁场中,磁场方向与xOy平面(纸面)垂直,磁感应强度B随时间t变化的周期为T,变化图线如图乙所示。
当B为+B0时,磁感应强度方向指向纸外。
在坐标原点O有一带正电的粒子P,其电荷量与质量之比恰好等于
。
不计重力。
设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向自O点开始运动,将它经过时间T到达的点记为A。
图3-2-6
(1)若t0=0,则直线OA与x轴的夹角是多少?
(2)若t0=
,则直线OA与x轴的夹角是多少?
2.(2013·
合肥模拟)如图3-2-10所示为圆形区域的匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,边界跟y轴相切于坐标原点O。
O点处有一放射源,沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。
已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。
图3-2-10
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径;
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角;
(3)沿磁场边界放置绝缘弹性挡板,使带电粒子与挡板碰撞后以原速率弹回,且其电荷量保持不变。
若从O点沿x轴正方向射入磁场的粒子速度减小为0.5v,求该粒子第一次回到O点经历的时间。
三、计算题
福建高考)如图9,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。
让质量为m,电荷量为q(q>
0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。
不计重力和粒子间的影响。
(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射,恰好能经过x轴上的A(a,0)点,求v1的大小。
图9
(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>
v1),为使该粒子能经过A(a,0)点,其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个?
并求出对应的sinθ值。
贵州六校联考)如图10所示,在0≤x≤d的空间,存在垂直xOy平面的匀强磁场,方向垂直xOy平面向里。
y轴上P点有一小孔,可以向y轴右侧垂直于磁场方向不断发射速率均为v,与y轴正方向所成夹角θ可在0~180°
范围内变化的带负电的粒子。
已知θ=45°
时,粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场,不计重力及粒子间的相互作用。
图10
(1)磁场的磁感应强度;
(2)若θ=30°
,粒子射出磁场时与磁场边界的夹角(可用三角函数、根式表示);
(3)能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积(可用根式表示)。
山东高考)如图3-3-1所示,在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面向里;
第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小为E。
一带电量为+q、质量为m的粒子,自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限,经x轴上的Q点进入第一象限,随即撤去电场,以后仅保留磁场。
已知OP=d,OQ=2d。
不计粒子重力。
图3-3-1
(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。
(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0,粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限,求B0。
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值,经过一段时间后粒子将再次经过Q点,且速度与第一次过Q点时相同,求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。
2.(2013·
揭阳模拟)直角坐标系xOy界线OM两侧区域分别有如图3-3-3所示电、磁场(第三象限除外),匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外,匀强电场场强E=vB、方向沿x轴负方向。
一不计重力的带正电的粒子,从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场,随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场,并最终飞离电、磁场区域。
已知粒子的电荷量为q,质量为m,求:
图3-3-3
(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径R及P点的位置坐标;
(2)粒子在磁场中运动的时间;
(3)粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标。
淄博模拟)在直角坐标系y轴右侧有相互垂直的匀强磁场和匀强电场,磁场方向垂直纸面向里,电场方向沿y轴负方向,电场强度大小为E。
一质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)从坐标原点O沿x轴正方向做直线运动,运动到A点时撤去电场,当粒子在磁场中运动到距离原点O最远处P点(图中未标出)时,撤去磁场,同时加另一匀强电场,其方向沿y轴负方向,最终粒子垂直于y轴飞出。
已知A点坐标为(a,0),P点坐标为
图3-3-4
(1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径;
(2)磁场的磁感应强度B和粒子运动到P点时速度v的大小;
(3)整个过程中电场力对粒子做的功;
(4)粒子从原点O开始运动到垂直于y轴飞出过程所用的总时间。
苏北四市第三次调研)如图3-3-6所示,带电平行金属板相距为2R,在两板间半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切。
一质子(不计重力)沿两板间中心线O1O2从左侧O1点以某一速度射入,沿直线通过圆形磁场区域,然后恰好从极板边缘飞出,在极板间运动时间为t0。
若仅撤去磁场,质子仍从O1点以相同速度射入,经
时间打到极板上。
图3-3-6
(1)两极板间电压U;
(2)质子从极板间飞出时的速度大小。
汕头模拟)如图10所示,在x轴下方的区域内存在方向沿y轴正向的匀强电场,电场强度为E。
在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场,磁场的方向垂直于xOy平面并指向纸面外,磁感应强度为B。
y轴下方的A点与O点的距离为d,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放,经电场加速后从O点射入磁场。
不计粒子的重力作用。
(1)求粒子在磁场中运动的轨道半径r。
(2)要使粒子进入磁场之后不再经过x轴,电场强度需大于或等于某个值E0,求E0。
(3)若电场强度E等于第
(2)问E0的
,求粒子经过x轴时的位置。
[例1] 中心均开有小孔的金属板C、D与边长为d的正方形单匝金属线圈连接,正方形框内有垂直纸面的匀强磁场,大小随时间变化的关系为B=kt(k未知,且k>
0),E、F为磁场边界,且与C、D板平行。
D板正下方分布磁场大小均为B0,方向如图1所示的匀强磁场。
区域Ⅰ的磁场宽度为d,区域Ⅱ的磁场宽度足够大。
在C板小孔附近有质量为m、电量为q的正离子由静止开始加速后,经D板小孔垂直进入磁场区域Ⅰ,不计离子重力。
图1
(1)判断金属板CD之间的电场强度的方向和正方形线框内的磁场方向;
(2)若离子从C板出发,运动一段时间后又恰能回到C板出发点,求离子在磁场中运动的总时间;
[典例1] (2013·
枣庄模拟)(20分)如图3-1所示,AB为半径R=0.8m的
光滑圆弧轨道,下端B恰与小车右端平滑对接。
小车的质量M=3kg、长度L=2.16m,其上表面距地面的高度h=0.2m。
现有质量m=1kg的小滑块,由轨道顶端无初速度释放,滑到B端后冲上小车,当小车与滑块达到共同速度时,小车被地面装置锁定。
已知地面光滑,滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3,取g=10m/s2。
试求:
图3-1
(1)滑块经过B端时,轨道对它支持力的大小;
(2)小车被锁定时,其右端到轨道B端的距离;
(3)小车被锁定后,滑块继续沿小车上表面滑动。
请判断:
滑块能否从小车的左端滑出小车?
若不能,请计算小车被锁定后由于摩擦而产生的内能是多少?
若能,请计算滑块的落地点离小车左端的水平距离。
[典例2] (2013·
淮安模拟)(18分)如图3-2所示,在xOy平面的y轴左侧存在沿y轴正方向的匀强电场,y轴右侧区域Ⅰ内存在磁感应强度大小B1=
、方向垂直纸面向外的匀强磁场,区域Ⅰ、区域Ⅱ的宽度均为L,高度均为3L。
质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标为(-2L,-
L)的A点以速度v0沿+x方向射出,恰好经过坐标为[0,-(
-1)L]的C点射入区域Ⅰ。
粒子重力忽略不计。
图3-2
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标;
(3)要使粒子从区域Ⅱ上边界离开,可在区域Ⅱ内加垂直纸面向内的匀强磁场。
试确定磁感应强度B的大小范围,并说明粒子离开区域Ⅱ时的速度方向。
[典例3] (2013·
北京市西城区期末)(19分)如图3-4甲所示,两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角为α,金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为m。
导轨处于匀强磁场中,磁场的方向垂直于导轨平面斜向上,磁感应强度大小为B。
金属导轨的上端与开关S、定值电阻R1和电阻箱R2相连。
不计一切摩擦,不计导轨、金属棒的电阻,重力加速度为g。
现在闭合开关S,将金属棒由静止释放。
(1)判断金属棒ab中电流的方向;
(2)若电阻箱R2接入电路的阻值为0,当金属棒下降高度为h时,速度为v,求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q;
(3)当B=0.40T,L=0.50m,α=37°
时,金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的变化关系如图乙所示。
取g=10m/s2,sin37°
=0.60,cos37°
=0.80。
求阻值R1和金属棒的质量m。
图3-4
1.(2013·
湛江模拟)如图1所示,处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨相距l=1m,导轨平面与水平面成θ=30°
角,下端连接“2.5V,0.5W”的小电珠,匀强磁场方向与导轨平面垂直。
质量为m=0.02kg、电阻不计的光滑金属棒放在两导轨上,金属棒与两导轨垂直并保持良好接触。
取g=10m/s2。
(1)金属棒沿导轨由静止刚开始下滑时的加速度大小;
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时,小电珠正常发光,求该速度的大小;
(3)磁感应强度的大小。
潍坊模拟)如图2所示,半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角为θ=37°
的粗糙斜面轨道DC相切于C点,圆轨道的直径AC与斜面垂直。
质量为m的小球从A点左上方距A高为h的斜面上方P点以某一速度水平抛出,刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧,之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处。
已知当地的重力加速度为g,取R=
h,sin37°
=0.8,不计空气阻力,求:
(1)小球被抛出时的速度v0;
(2)小球到达半圆轨道最低点B时,对轨道的压力大小;
(3)小球从C到D过程中摩擦力
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