讲义15整式的乘除与因式分解Word文件下载.docx
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(2)(x+2)(x+3)+x2-4.
分析
(1)是二项式,提取公因式m后,可以用平方差公式继续分解.
(2)中把x2-4先分解,然后再与(x+2)(x+3)一起提取公因式.
(1)m3-m=m(m2-1)=m(m+1)(m-1).
(2)(x+2)(x+3)+x2-4=(x+2)(x+3)+(x+2)(x-2)=(x+2)[(x+3)+(x-2)]
=(x+2)(2x+1).
专题4转化思想
转化思想是数学中的重要思想.利用这一思想,可以将复杂化为简单,将未知化为已知.整式的乘除法法则中多次用到转化思想.
例5分解因式a2-2ab+b2-c2.
分析本题表面上无法直接用提取公因式法或公式法分解.如果添加括号,将代数式进行恒等变形,就可以转化为能用公式法分解的多项式.
a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b+c)(a-b-c).
专题5整体思想
整体思想是数学中常用的数学思想方法,利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值,达到简化计算的目的,事半功倍.
例6
(1)已知x+y=7,xy=12,求(x-y)2;
(2)已知a+b=8,a-b=2,求ab的值.
分析此题可充分利用公式的变形,并采取整体代入的方法求值.
(1)∵x+y=7,∴x2+2xy+y2=49.
∴x2+y2=49-2xy=49-2×
12=25,
(x-y)2=x2-2xy+y2=(x2+y2)-2xy=25-2×
12=1.
(2)∵a+b=8,∴a2+2ab+b2=64.①
∵a-b=2,∴a2-2ab+b2=4.②
1②,得4ab=60,∴ab=15.
考点训练
1.计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为()
A.-2B.2C.-4D.4
分析:
由(x+2)2=x2+4x+4与计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,根据多项式相等的知识,即可求得答案.
解:
∵(x+2)2=x2+4x+4,∴“□”中的数为4.
故选D.
2.计算2a2•a3的结果是( )
A、2a5B、2a6C、4a5D、4a6
本题需根据单项式乘以单项式的法则进行计算,即可求出答案.
2a2•a3=2a5
故选A.
3.计算2x2•(-3x3)的结果是( )
A、-6x5B、6x5C、-2x6D、2x6
根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算后选取答案.
2x2•(-3x3)=2×
(-3)•(x2•x3)=-6x5.故选A.
4.下列等式一定成立的是( )
A.a2+a3=a5B.(a+b)2=a2+b2
C.(2ab2)3=6a3b6D.(x﹣a)(x﹣b)=x2﹣(a+b)x+ab
根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方法则,多项式乘以多项式的法则解答.
A、不是同类项,不能合并,故本选项错误;
B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项错误;
C、(2ab2)3=8a3b6,故本选项错误;
D、(x﹣a)(x﹣b)=x2﹣(a+b)x+ab,故本选项正确.故选D.
5.下列运算正确的是()
A.
B.
C.
D.
A正确.根据是
;
B不正确,合并同类项,只把它们的系数相加,字母和字母的指数不变,应为
C不正确.根据同底数幂相除,底数不变指数相减应为
D不正确.根据同底数幂相乘,底数不变指数相加应为
解答:
A
6.下列运算正确的是()
A.
C.
D.
选项A考查的是去括号法则,
,故A错误;
选项B考查的是二次根式的减法运算,
,故B错误;
选项C考查的是绝对值的化简,由于
,所以
,故C正确;
选项D考查的是完全平方公式,
,故D错误.解答:
C
(1)去括号时,若括号前面是负号,把括号去掉后,括号内的各项都要改变符号;
(2)二次根式的加减实际上是合并同类二次根式,不是同类二次根式的两个二次根式不能合并;
(3)绝对值(
)与
的化简是中考的常考内容,在解答时要注意
的符号,有
(4)乘法公式在进行代数式的有关运算中经常用到,要记住常用的乘法公式:
①(平方差公式)
②(完全平方公式)
7.计算多项式2x3﹣6x2+3x+5除以(x﹣2)2后,得余式为何( )
A、1B、3C、x﹣1D、3x﹣3
此题只需令2x3﹣6x2+3x+5除以(x﹣2)2后,根据能否整除判断所得结果的商式和余式.
由于(2x3﹣6x2+3x+5)÷
(x﹣2)2=(2x+2)…(3x﹣3);
因此得余式为3x﹣3.
则2x3﹣6x2+3x+5﹣(3x﹣3)=2(x+1)(x﹣2)2.
8.计算x2(3x+8)除以x3后,得商式和余式分别为何( )
A.商式为3,余式为8x2B.商式为3,余式为8
C.商式为3x+8,余式为8x2D.商式为3x+8,余式为0
此题只需令x2(3x+8)除以x3,根据能否整除判断所得结果的商式和余式.
由于x2(3x+8)除以x3,得结果为3x+8,即能够整除;
因此得为3x+8,余式为0;
9.化简
,可得下列哪一个结果( )
A.-16x-10B.-16x-4
C.56x-40D.14x-10
原式=-x+2-12+15x=14x-10.故选D.
10.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0,则下列式子一定成立的是( )
A、x+y+z=0B、x+y﹣2z=0C、y+z﹣2x=0D、z+x﹣2y=0
首先将原式变形,可得x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0,则可得(x+z﹣2y)2=0,则问题得解.
∵(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0,
∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0,
∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0,
∴(x+z﹣2y)2=0,
∴z+x﹣2y=0.故选D.
点评:
此题考查了完全平方公式的应用.解题的关键是掌握:
x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=(x+z﹣2y)2.
11.计算3a
2a的结果是
A.6aB.6a2C.5aD.5a
根据单项式与单项式相乘,把他们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式,计算即可.
3a•2a=3×
2a•a=6a2.故选B.
12.计算(﹣4x3)÷
2x的结果正确的是( )
A、﹣2x2B、2x2 C、﹣2x3D、﹣8x4
原式=﹣2x2.
考查了整式的除法法则,单项式除以单项式分为三个步骤:
①系数相除;
②同底数幂相除;
③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式.
13.已知A=2x,B是多项式,在计算B+A时,小马虎同学把B+A看成了B÷
A,结果得x2+12x,则B+A=2x3+x2+2x.
根据乘除法的互逆性首先求出B,然后再计算B+A.
∵B÷
A=x2+12x,
∴B=(x2+12x)•2x=2x3+x2.
∴B+A=2x3+x2+2x,
故答案为:
2x3+x2+2x,
14.若多项式2x3﹣10x2+20x除以ax+b,得商式为x2+10,余式为100,则
之值为何?
( )
A、0B、﹣5C、﹣10D、﹣15
根据被除式=除式×
商式+余式计算即可.
由题意可知,可整除2x3﹣10x2+20x÷
(ax+b)=x2+10+100,
整理得:
2x3﹣10x2+20x=ax3+110ax+bx2+110b,
∴a=2,b=﹣10,∴
=
=﹣5,
故选B.
整式的除法:
被除式=除式×
商式+余式.
15.下列运算中正确的是( )
A、(﹣ab)2=2a2b2B、(a+b)2=a2+1C、a6÷
a2=a3D、2a3+a3=3a3
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;
完全平方公式:
两数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2倍;
同底数幂的除法,底数不变指数相减;
合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;
根据法则一个个筛选.
A、(﹣ab)2=(﹣1)2a2b2=a2b2,故此选项错误;
B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;
C、a6÷
a2=a6﹣2=a4,故此选项错误;
D、2a3+a3=(2+1)a3=3a3,故此选项正确.
选D.
16.下列运算正确的是( )
A.3a2+4a2=7a4B.3a2-4a2=-a2
C.3a×
4a2=12a2D.
根据单项式除单项式的法则.合并同类项以及整式的除法法则计算即可.
A.3a2+4a2=7a2,故本选项错误;
B.3a2-4a2=-a2,故本选项正确;
C.3a×
4a2=12a3,故本选项错误;
D.(3a2)2÷
4a2=
a2,故本选项错误;
17.下列运箅正确的是( )
A.2a2﹣a=aB.(a+2)2=a2+4
C.(a2)3=a6D.
根据整式加减法则,完全平方公式,幂的乘方法则,二次根式的性质,逐一检验.
A、2a2与﹣a表示同类项,不能合并,本选项错误;
B、∵(a+2)2=a2+4a+4,本选项错误;
C、(a2)3=a2×
3=a6,本选项正确;
D、
,本选项错误.
故选C.
18.计算a+(﹣a)的结果是( )
A、2aB、0C、﹣a2D、﹣2a
:
a+(﹣a),=a﹣a,=0.故选B.
19.计算(π﹣3)0=.
(π﹣3)0=1,
故答案为1.
20.下列运算中,正确的是( )
A、
+
B、a2•a=a3C、(a3)3=a6D、
=-3
A、
和
不是同类二次根式,不能合并,故此选项错误;
B、a2•a=a2+1=a3,故此选项正确;
C、(a3)3=a3×
3=a9,故此选项错误;
D、
=3,故此选项错误.故选:
B.
1.下列等式不成立的是( )
A.m2-16=(m-4)(m+4)B.m2+4m=m(m+4)
C.m2-8m+16=(m-4)2D.m2+3m+9=(m+3)2
由平方差公式,提公因式以及完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案.
A.m2-16=(m-4)(m+4),故本选项正确;
B.m2+4m=m(m+4),故本选项正确;
C.m2-8m+16=(m-4)2,故本选项正确;
D.m2+3m+9≠(m+3)2,故本选项错误.
2.将多项式x3﹣xy2分解因式,结果正确的是( )
A、x(x2﹣y2)B、x(x﹣y)2
C、x(x+y)2D、x(x+y)(x﹣y)
先提取公因式x,再根据平方差公式进行二次分解.平方差公式:
a2﹣b2=(a﹣b)(a+b).
x3﹣xy2=x(x2﹣y2)=x(x+y)(x﹣y),
故选:
D.
3.现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2﹣3a+b,如:
3★5=33﹣3×
3+5,若x★2=6,则实数x的值是( )
A.﹣4或﹣1B.4或﹣1
C.4或﹣2D.﹣4或2
根据新定义a★b=a2﹣3a+b,将方程x★2=6转化为一元二次方程求解.
依题意,原方程化为x2﹣3x+2=6,即x2﹣3x﹣4=0,
分解因式,得(x+1)(x﹣4)=0,
解得x1=﹣1,x2=4.
4.多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果正确的是( )
A、2(a2﹣2ab+b2)B、2a(a﹣2b)+2b2
C、2(a﹣b)2D、(2a﹣2b)2
先提取公因式2,再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案.完全平方公式:
a2±
2ab+b2=(a±
b)2.
2a2﹣4ab+2b2=2(a2﹣2ab+b2)=2(a﹣b)2.故选C.
5.分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是( )
A.2x(x﹣2)B.2(x2﹣2x+1)C.2(x﹣1)2D.(2x﹣2)2
先提取公因式2,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:
(a±
b)2=a2±
2ab+b2.
2x2﹣4x+2
=2(x2﹣2x+1)﹣﹣(提取公因式)
=2(x﹣1)2.﹣﹣(完全平方公式)
6.下列四个多项式,哪一个是2x2+5x﹣3的因式( )
A、2x﹣1B、2x﹣3C、x﹣1D、x﹣3
利用十字相乘法将2x2+5x﹣3分解为(2x﹣1)(x+3),即可得出符合要求的答案.
∵2x2+5x﹣3=(2x﹣1)(x+3),
2x﹣1与x+3是多项式的因式,
7.一元二次方程x(x﹣3)=4的解是( )
A、x=1B、x=4C、x1=﹣1,x2=4D、x1=1,x2=﹣4
首先把方程化为右边为0的形式,然后把左边再分解因式,即可得到答案.
∵x(x﹣3)=4,∴x2﹣3x﹣4=0,∴(x﹣4)(x+1)=0,∴x﹣4=0或x+1=0,∴x1=4,x2=﹣1.故选:
8.因式分解x2y﹣4y的正确结果是( )
A、y(x+2)(x﹣2)B、y(x+4)(x﹣4)
C、y(x2﹣4)D、y(x﹣2)2
先提取公因式y,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
x2y﹣4y=y(x2﹣4)=y(x+2)(x﹣2).故选A.
9.下列分解因式正确的是( )
A.-a+a3=-a(1+a2)B.2a-4b+2=2(a-2b)
C.a2-4=(a-2)2D.a2-2a+1=(a-1)2
根据提公因式法,平方差公式,完全平方公式求解即可求得答案.
A.-a+a3=-a(1-a2)=-a(1+a)(1-a),故本选项错误;
B.2a-4b+2=2(a-2b+1),故本选项错误;
C.a2-4=(a-2)(a+2),故本选项错误;
D.a2-2a+1=(a-1)2,故本选项正确.
10.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,则△ABC的形状是( )
A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形
把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解,整理为非负数相加得0的形式,求出三角形三边的关系,进而判断三角形的形状.
∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2,
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0,
(a3﹣a2b)+(ab2﹣b3)﹣(ac2﹣bc2)=0,
a2(a﹣b)+b2(a﹣b)﹣c2(a﹣b)=0,
(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0.
所以a=b或a2+b2=c2.
故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
11.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是()
A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+4
完全平方公式是:
b)2由此可见选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式,只有D选项可以.
根据完全平方公式:
b)2可得,
选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式,
D、x2+4x+4=(x+2)2.
故选D
12.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A、x2+1B、x2+2x﹣1
C、x2+x+1D、x2+4x+4
二、填空题
1.分解因式:
2a2﹣4a=.
观察原式,找到公因式2a,提出即可得出答案.
2a2﹣4a=2a(a﹣2).
2.
(1)计算:
(x+1)2= x2+2x+1 ;
(2)分解因式:
x2﹣9= (x﹣3)(x+3) .
①(x+1)2=x2+2x+1;
②x2﹣9=(x﹣3)(x+3).
3.因式分解:
x3﹣x= x(x+1)(x﹣1).
本题可先提公因式x,分解成x(x2﹣1),而x2﹣1可利用平方差公式分解.
x3﹣x,=x(x2﹣1)=x(x+1)(x﹣1).
4.分解因式:
a3﹣a= a(a+1)(a﹣1) .
先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
a3﹣a,=a(a2﹣1),=a(a+1)(a﹣1).
5.分解因式:
ab2﹣4ab+4a=.
先提取公因式a,再根据完全平方公式进行二次分解.完全平方公式:
a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2.
ab2﹣4ab+4a=a(b2﹣4b+4)﹣﹣(提取公因式)
=a(b﹣2)2.﹣﹣(完全平方公式)
a(b﹣2)2.
6.因式分解:
x2-9y2=(x+3y)(x-3y).
x2-9y2=(x+3y)(x-3y).
7.分解因式:
=___________________
8.分解因式:
.
分析:
先提取公因式-a,再根据完全平方公式进行二次分解.
a2-2ab+b2=(a-b)2.
原式=-a(a2-ab+
b2)=-a(a-
9.因式分解:
a2—6a+9= .
本题是一个二次三项式,且a2和9分别是a和3的平方,6a是它们二者积的两倍,符合完全平方公式的结构特点,因此可用完全平方公式进行因式分解.
a2—6a+9=(a—3)2.
10.分解因式:
8a2-2=2(2a+1)(2a-1).
8a2-2,
=2(4a2-1),
=2(2a+1)(2a-1).
2(2a+1)(2a-1).
综合验收评估测试题
(时间:
120分钟满分:
120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.计算(a3)2的结果是()
A.a5 B.a6 C.a8 D.a9
2.下列运算正确的是()
A.a2·
a3=a4 B.(-a)4=a4
C.a2+a3=a5 D.(a2)3=a5
3.已知x-3y=-3,则5-x+3y的值是()
A.0 B.2 C.5 D.8
4.若m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为()
A.12 B.6 C.3 D.0
5.如图15-4所示,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分拼成一个矩形,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
6.下列各式中,与(a-b)2一定相等的是()
A.a2+2ab+b2B.a2-b2
C.a2+b2 D.a2-2ab+b0
7.已知x+y=-5,xy=6,则x2+y2的值为()
A.1B.13C.17D.25
8.下列从左到右的变形是因式分解的是()
A.ma+mb-c=m(a+b)-c
B.(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
C.a2-4ab+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1)
D.4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y)
9.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()
A.-a2+b2B.-a2-b2C.a2+b2D.a3-b3
10.如果(x-2)(x-3)=x2+px+q,那么p,q的值是()
A.p=-5,q=6B.p=1,q=-6
C.p=1,q=6 D.p=5,q=-6
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.已知10m=2,10n=3,则103m+2n=.
12.当x=3,y=1时,代数式(x+y)(x-y)+y2的值是 .
13.若a-b=1,ab=-2,则(a+1)(b-1)= .
14.分解因式:
2m3-8m= .
15.已知y=
x-1,那么
x2-2xy+3y2-2的值为.
16.计算:
5752×
12-4252×
12= .
17.若(9n)2=38,那么n= .
18.如果x2+2kx+81是一个完全平方式,那么k的值为.
19.多项式9x2+1加上一个单项式后,使
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- 讲义 15 整式 乘除 因式分解