苏教版高一数学集合二Word文档格式.docx
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通过学习提纲,师生共同归纳集合表示方法,常用表示方法有:
(1)列举法:
把集合中元素一一列举出来的方法.
(2)描述法:
用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
[师]由方程x2-1=0的所有解组成的集合可以表示为{-1,1},不等式x-3>2的解集可以表示为{x|x-3>2}.
下面请同学们思考:
幻灯片(A):
请用列举法表示下列集合
(1)小于5的正奇数
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数
(3)方程x2-9=0的解的集合
(4){15以内的质数}
(5){x|∈Z,x∈Z}
[生]
(1)满足题条件小于5的正奇数有1,3.故用列举法表示为{1,3}
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6,9,12.故用列举法表示为{6,9,12}
(3)方程x2-9=0的解为-3,3.故用列举法表示为{-3,3}
(4)15以内的质数2,3,5,7,11,13.故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}
(5)满足∈Z的x有:
3-x=±
1,±
2,±
3,±
6,解之x=2,4,1,5,0,6,-3,9.故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}
[师]通过我们对上述题目求解,可以看到问题求解的关键应是什么?
[生]依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.
[师]用列举法表示集合时,要注意元素不重不漏,不计次序地用"
,"
隔开并放在大括号内.
除了刚才练习题目中涉及到的问题外,还有如下问题,注意比较各问题的形式,试用描述法表示下列集合.
(6)到定点距离等于定长的点
让学生充分考虑,相互研讨后师给出结果
{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=r2}
(7)方程组的解集为{(x,y)|}
(8)由适合x2-x-2>0的所有解组成集合
{x|x2-x-2>0}
下面给出问题,经学生考虑后回答:
幻灯片(B):
用描述法分别表示:
(1)抛物线x2=y上的点.
(2)抛物线x2=y上点的横坐标.
(3)抛物线x2=y上点的纵坐标.
(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合.
[生]
(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点,其坐标是一个有序实数.对,可表示为{(x,y)|x2=y}
(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标,用描述法表示即为{x|x2=y}.
(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为{y|x2=y}.
(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,所以可以表示成{x∈R||x|>6}.
(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示,用描述法即可表示为{(x,y)|xy>0}.
[师]同学们通过对上述问题的解答,解决该类问题的关键是什么?
[生](经讨论后得出结论)
解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性,确定代表元素.
[师]集合中元素的公共属性可以用文字直接表述,也可用数学关系表示,但必须抓住其实质.
[师]再看几例
1.用列举法表示1到100连续自然数的平方;
2.{x},{x,y},{(x,y)}的含义是否相同.
[生]{x}表示单元素集合;
{x,y}表示两个元素集合;
{(x,y)}表示含一点集合.
而对于1题经教师指导给出结论,该集合列举法表示为{1,4,9,25,...,1002}.
3.{x|y=x2+1},{y|y=x2+1},{(x,y)|y=x2+1},的含义是否相同.
(3)集合相等
两个集合相等、应满足如下关系:
A={2,3,4,5},B={5,4,3,2},即有集合A的元素都是集合B的元素,集合B的元素都是集合A的元素.
幻灯片:
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A=B.
用式子表示:
如果AB,同时BA,那么A=B.
如:
{a,b,c,d}与{b,c,d,a}相等;
{2,3,4}与{3,4,2}相等;
{2,3}与{3,2}相等.
[师]请同学互相举例并判断是否相等.
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
A={x|x=2m+1,m∈Z},B={x|x=2n-1,n∈Z}.
2.集合的分类
师指出:
(1)有限集--含有有限个元素的集合.
(2)无限集--含有无限个元素的集合.
那么投影(A)中的集合和(B)中的集合是有限集还是无限集,经重新投影后,学生作答.
[生]幻灯片(A)中的五个集合都是有限集;
幻灯片(B)中的五个集合都是无限集.3.空集
[师]表示空集,既不含任何元素的集合.
例如:
{x|x2+2=0},{x|x2+1<0}
请学生相互举例、验证,师补充说明:
4.[师]集合的表示除了列举法和描述法外,还有恩韦图(文氏图)叙述如下:
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.如图:
表示任意一个集合A
边界用直线还是曲线,用实线还是虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
Ⅲ.课堂练习
1.解:
(1)满足题意的集合可用描述法表示
{x∈N|x>10};
它是一个无限集.
(2)满足题意的集合可用列举法表示如下:
{2,3,6};
它是一个有限集.
(3)满足题意的集合可用列举法表示如下:
{-2,2};
(4)满足题意的集合可用列举法表示如下:
{2,3,5,7};
2.解:
(1)该集合可用描述法表示如下:
{x|x是4与6的公倍数};
(2)该集合可用描述法表示如下:
{x|x=2n,n∈N*};
(3)该集合可用描述法表示如下:
{x|x2-2=0};
(4)不等式4x-6<5的解集可用描述法表示如下:
{x|x<};
问题的解决主要靠判断集合中元素的多少,进而确定表示方法.
3.判断正误:
(1)x=-1,0,1时,y=x2+1的值的集合是{2,1,2}
(2)方程组的解集是{1,-1}
(3)方程x2+2x-3=0的解集是
{x|1,-3},{x|x=1,x=-3},{1或-3},{(1,-3)},{1}或{-3}
4.方程组的解集用列举法表示为_____________;
用描述法表示为_______.
解:
因的解集为方程组的解.
解该方程组x=,y=-
则用列举法表示为{(,-)};
用描述法表示为{(x,y)|}
5.{(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为__________.
因x+y=6,x,y∈N的解有:
故列举法表示该集合,就是{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
Ⅳ.课时小结
1.通过学习,弄清表示集合的方法有几种,并能灵活运用,一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示,只要是无限集就用描述法表示,在某种情况下,两种方法都可以.
2.注意在解决问题时所起作用,这一小节仅仅是认识,具体性质在下一节将研究.
Ⅴ.课后作业
(一)1.用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合.
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}.
(3)方程x2+6x+9=0的解集.(4){20以内的质数}.
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}.(6){大于0小于3的整数}.
(7){x∈R|x2+5x-14=0}.
(8){(x,y)}|x∈N,且1≤x<4,y-2x=0}.
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}.
分析:
用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用"
隔开放在大括号内.
(1)因x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为{x-2,x+2}.
(2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即y≤4,又y∈N,∴y=0,1,2,3,4.
故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4}.
(3)由x2+6x+9=0得x1=x2=-3∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3}.
(4){20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}.
(5)因x∈Z,y∈Z,则x=-1,0,1时,y=0,1,-1.
那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)}.
(6){大于0小于3的整数}={1,2}.
(7)因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2}.
(8)当x∈N且1≤x<4时,x=1,2,3,此时y=2x,即y=2,4,6.
那么{(x,y)|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)}.
(9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.
2.用描述法表示下列集合:
(1)方程2x+y=5的解集.
(2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解.(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合.(7){1,3,5,7,...}.
(8)x轴上所有点的集合.(9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性,确定代表元素,公共属性可以用文字直接表述,也可用数学关系表示,但要抓住其实质.
(1){(x,y)|2x+y=5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x|0≤x<10,x∈Z}.
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解用描述法表示为{(x,y)|ax+by=0(ab≠0)}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x|x>3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{(x,y)|xy<0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{(x,y)|}.
(7){1,3,5,7,...}用描述法表示为{x|x=2k-1,k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{(x,y)|x∈R,y=0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x|x=2k,k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x|x=3k,k∈Z}.
3.已知A={-2,-1,0,1},B={x|x=|y|,y∈A},求B.
∵y∈A∴y=-2,-1,0,1
此时|y|=0,1,2,则有B={0,1,2}.
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.
因的解为(3,-7)
则用描述法表示该集合:
{(x,y)|};
用列举法表示该集合:
{(3,-7)}.
5.设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},又有a∈A,b∈B,判断元素a+b与集合A、B和C的关系.
因A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合A由偶数构成,集合B由奇数构成.
即a是偶数,b是奇数设a=2m,b=2n+1(m∈Z,n∈Z)
则a+b=2(m+n)+1是奇数,那么a+bA,a+b∈B
又C={x|x=4k+1,k∈Z}是由部分奇数构成且x=4k+1=2・2k+1
故m+n是偶数时,a+b∈C;
m+n不是偶数时,a+bC.
综上a+bA,a+b∈B,a+bC.
(二)预习内容:
1.预习课本P8~P9子集,子集的概念及空集的性质.
2.预习提纲:
(1)两个集合A、B具有什么条件,就能说明一个集合是另一个集合的子集?
(2)一个集合A是另一个集合B的真子集,则其应满足条件是什么?
(3)空集有哪些性质?
集合
(二)
1.用列举法表示下列集合:
(1)x2-4的一次因式组成的集合.
(2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}.
(3)方程x2+6x+9=0的解集.
(4){20以内的质数}.
(5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}.
(6){大于0小于3的整数}.
(1)方程2x+y=5的解集.
(2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(6)方程组的解的集合.
(7){1,3,5,7,...}.
(8)x轴上所有点的集合.
(9)非负偶数.
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