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要把内容的公理化的演绎体系变成中小学数学教学的中心，那些不从属于演绎方式的内容，如数学的应用，都要放到次要的地位】；

1967年他当选为ICMI的主席，在此期间他做了两件对数学教育事业的发展有着深远影响的大事。

第一，在他的积极推动下第一届国际数学教育会议﹝ICMI【辣椒注：

国际数学教育委员会】﹞从国际数学家大会中分出来单独召开，其活动方式，也从一般的各国情况交流、调查汇报，转向考题式的讨论研究，从而促进了数学教育科学的探求与发展；

由于弗氏的努力，ICMI终于成为一个促进数学教育研究的国际机构，而四年一度的ICMI也成为各国数学教育工作者交流切磋的最好机会。

ICMI-7于1992年8月在加拿大的魁北克﹝Quebec﹞举行。

第二，创办了《数学教育研究》﹝EducationalStudiesinMathematics﹞杂志，其内容涉及许多国家的数学教育研究成果，今天它已成为国际上最有影响的数学教育刊物。

弗赖登塔尔在数学与数学教育方面都有精深广博的研究，也有丰富的实践经验。

他的数学教育理论，完全是从数学的独特本质，数学发展创造的历史，以及数学理论与现实的关系出发，有着独到的见解，创造性的精僻分析，与目前流行的“教育学”加“数学例子”的做法不同。

从这三本着作中，我们将可窥其一般。

弗赖登塔尔曾在1987年12月访问上海华东师范大学一个月，然后顺访北京。

他访华的讲稿已经出版，题为《访问中国》。

为了纪念弗赖登塔尔的功绩，荷兰的乌德勒大学建立了弗赖登塔尔数学教育研究所。

二、《作为教育任务的数学》

《作为教育任务的数学》一书，共有19章，其目录是：

﹝1﹞数学的传统。

﹝2﹞今日数学。

﹝3﹞传统与教育。

﹝4﹞数学教育的用处和目的

﹝5﹞苏格拉底﹝Socrates﹞的方法。

﹝6﹞再创造。

﹝7﹞用数学化的方法组织一个领域。

﹝8﹞数学的严谨性。

﹝9﹞教学。

﹝10﹞数学教师。

﹝11﹞数学的概念─客观地接近的方法。

﹝12﹞数的概念的发展─从直观方法到算法化的理论化。

﹝13﹞数的概念的发展─代数方法。

﹝14﹞数的概念的发展─从代数原理到代数的整体结构。

﹝15﹞集合与函数。

﹝16﹞几何的情况。

﹝17﹞分析学。

﹝18﹞概率与统计。

﹝19﹞逻辑。

再加上一个附录：

皮亚杰学派对数学概念发展的研究。

总篇幅达677页。

如作者在序言中所说，“本书并非术学的方法论著作，即并非系统阐述某些教材应当如何教，也不是对题材的系统分析。

我很少涉及依赖统计方法估的教学实验，也不引用发展心理学或是学习心理学的实验结果。

?

我的观点大部分直接来源于教科书，教学设计，实际课程以及对个别儿童的观察，而主要的间接来源是与教师的谈话与讨论。

”

作者不愿引用各种数学教学的调查研究资料，因为“?

他们不能回答基本的教育问题，应当教什么？

教的目的是什么？

以及教给什么人?

”。

作者认为“真正的教育活动应该是在忠诚的信念引导下，沿着正确的道路通向教育。

教育科学首先应当是这个忠诚信念的合理证明。

你可以称之为哲学?

调查研究只有在健康的教育哲学的土壤中才能成熟”。

因而“本书最重要的是阐述一种数学教育哲学”。

作者在第一章中回顾了数学发展的历史，强调数学发展的动力来自于实践，“应当说，如果数学是无用的，它就不会存在”﹝P.16﹞。

当然不能否认理论的作用。

“数学总是跑在应用的前头，这是数学的发展道路─寻求各种思维的模式，而让应用者从中作出选择”﹝P.8﹞。

理论与实践两者必须更好地结合起来，那才能“以更透彻，更符合逻辑的方式来分析自然”﹝P.8﹞。

从而促使“今天在极端理论与极端实际的数学现象之间，存在一个几乎连续的过渡”﹝P.9﹞。

第二章作者论述了现代数学的特性表现在以下几个方面：

1.“数学表示的再创造与形式化活动”﹝P.30﹞。

“有意识地以语言作为一个精确表达的工具称为形式化，?

现代数学表现出一种强烈的结构化趋势，形式化就是一种方法”﹝P.29﹞。

事实上形式体系已经成了现代数学的标志之一。

2.建立数学概念的方法，从典型的通过“外延描述的抽象化”，转向实现“公理系统抽象化”，特别是对“隐含定义的认识是重要的一步，它已经成为现代科学方法论的普遍范例。

这是在脱离亚里士多德﹝Aristotle﹞科学理论的道路上迈出的决定性的一步”﹝P.34﹞。

3.“在传统领域之间界限的日趋消失，是现代数学的特性之一”﹝P.42﹞，而几何直观却在其间起着联络的作用。

因为几何直观可以告诉我们什么是重要的、有趣的和容易进入的。

当我们陷入问题、观念、方法的困境中时，几何可以拯救我们。

借用康德﹝Kant﹞的一个说法：

“没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的”﹝P.42﹞。

4.“现代数学与传统数学的区别就是强调概念成分还是强调算法成分”﹝P.44﹞。

当然，算法数学与概念数学﹝或思辨的数学﹞的关系是辩证的。

“不能将它等同于心新和旧”﹝P.44﹞，“概念的喷发，冲破了僵化的算法外壳，?

而每个概念的更新又包含着自身的算法萌芽─这就是数学发展的道路”﹝P.44﹞。

第三章是作者讨论了传统与教育的关系。

作者指出，“人类历史必然是一个前进的历史”﹝P.53﹞。

只有突破了对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性。

“科学是一种活动，科学不可能从课堂上与书本中学到，科学是做出来的”﹝P.55﹞。

因而学校的“教学必须由被动地听发展成为主动地获得”﹝P.57﹞，“我们的教学应当为青年创造机会，通过他们自己的活动来获得文化遗产”﹝P.58﹞。

而且教育中更重要的一个问题，不是教什么题材，而是“教给儿童更珍贵的东西。

即如何掌握题材”﹝P.59﹞，因而“大多数学校需要重新组织数学，目的是使﹝学生﹞只能主动地学，而不能被动地学”﹝P.62﹞。

第四章围绕数学教育的目的进行了仔细的分析与研究。

作者认为数学教育的目的必须随着时代而变化，数学教育的用处也必然受到社会条件的约束与限制，当然也要与学生的接受能力相对应。

他特别探讨了以下几个方面：

1.体系“以数学体系作为最终目的，那是为培养未来数学家的”﹝P.69﹞。

“许多人必须学数学，其中少数人才会应用一些相对复杂的数学，但即使从不用数学的人也应当学数学，因为他们需要数学作为人类生存的一个方面”﹝P.69﹞。

这才是普通数学教育的目的。

因此“真正重要的是所教的题材是否符合数学教学的整个体系，能否结合成一个整体”﹝P.67﹞。

因为“历史并不了解系统，而教育却能够且应当使之系统化”﹝P.72﹞。

这里既要符合数学的体系，但又不能过于强调逻辑严密性，以免违反教学理念。

2.应用“不能忘记数学在社会中扮演的角色，从过去、现在一直到将来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的”﹝P.74﹞。

因而不该一味追求现代数学中形式变换的花样，而丢掉了数学的实际应用。

为此应该教给学生充满着联系的数学，“夸美纽斯﹝Comenius，j.A.﹞渴望人们学习的每件事情都应当是充满着联系的”﹝P.75﹞。

这里不仅是数学内在的联系，更重要的是数学与外部的联系，“应当在数学与现实的接融点之间寻找联系”﹝P.77﹞。

3.思维训练“人们相信，数学是智力的磨刀石，是一种思维的训练”﹝P.80﹞。

特别认为“数学教学是逻辑思维的一种训练”，但究竟“是否存在思维的训练？

数学是否是其中之一？

甚至是最强有力的一种”﹝P.81﹞。

人们很难回答这些问题，作者曾给大学生与中学生提出下列问题：

“

（1）诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否同一个人？

（2）诗人中最老的画家和画家中最老的诗人，是否同一个人？

（3）如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否也只有一个诗人，他们是否同一个人？

（4）小镇上有房子，房子里有桌子。

对任意n=1,2,3,…..，下列断言成立：

如果某房子中有n条腿的桌子，那里就没有多于n条腿的桌子。

问以下命题是否成立：

对n=1,2,3,…..，如果某房子中有n条腿的桌子那里就没有少于n条腿的桌子。

（5）篮中有各种不同颜色和不同形状的物体，试问篮中是否一定有两件物体，其颜色和形状都不同？

“﹝P.86﹞

试验结果是，在受过教育以后，对以上问题的看法、理解与回答都大有长进。

4.筛选工具“每个教师都坚信：

一般说来，谁的数学学得好，那其它科目他也学得好”﹝P.82﹞。

因而“作为一种智力筛选工具，数学也比其它学科﹝甚至智力测验﹞更可信，也更容易使用”﹝P.82﹞。

因为社会本身有着各种不同的需要，也有各种不同的层次，人们必须通过形形色色的入场考试；

即使社会差异会逐渐消失，但社会总要对它的成员进行各种挑选，以保证合理的社会分工；

因此筛选工具是必须的，考试也是必须的。

但如果说，“数学教学的目的就是为了考试”，“学生学习只是为了一个分数，而教师的职责也只是在给分宽严之间作一个最佳选择”，那就与数学教育的目的相距太远了。

5.解决问题“数学通常会得到高度的评价，因为它是解决许多问题的工具”﹝P.94﹞。

从日常生活中常见的数值计算，直到高精尖领域中的应用，都可以选择与施展数学的魅力。

数学可以训练语言的表达，数学可以简化问题，也能推广问题使之一般化，因而数学可以从多个侧面，给人们提供解决问题的手段、背景以及思维方法。

“但是如果人们只会套公式，而从不亲身体验一下，数学可以成为解决问题的一种活动，那有怎么能做到这一点呢？

”﹝P.95﹞

从第五章到第八章，作者提出了下列数学教学的基本原则：

1.“苏格拉底方法”原则“苏格拉底方法仍然是或者说应当是教学基本原则之一。

如苏格拉底自称的，讲师只是助产士，他把听众自己的思想表达出来，?

这是辩证法，或者称作思想实验方法。

教师在头脑中想象在教一群主动的学生，设想是如何应付学生可能有的反映，?

狭义的说，苏格拉底所做的就是在教学过程中再创造或再发现所教的东西，学生感觉一切都是当着学生的面发生的，而不是以教条形式灌输的。

”﹝P.100﹞参照知识发展的历史，力求用发生的方法来教；

特别反对按照某个特定的演译体系，抛弃了分析过程，他将这种教学方法称之为“违反教学理论的颠倒“﹝P.103﹞。

2.“再创造”原则“夸美纽斯的教学原则是：

教一个活动的最好方法是演示。

我想：

学一个活动的最好方法是做。

重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，从感觉效应转为运动效应”﹝P.110﹞。

不应该学习现成的数学，“学生应当通过再创造来学习数学，?

这样获得的知识与能力才能更好地理解，而且能保持较长久的记忆”﹝P.118﹞。

这个“再创造”原则应该贯穿于数学教育整个体系之中，要把数学教育作为一个活动的过程来分析，要使学生在学习过程的不同层次中，始终处于积极、创造的状态。

3.“数学化”原则简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。

每个人有不同的“数学现实”世界，不一定限于客观世界的具体事物，也可以包括个种层次的抽象的数学概念及规律。

因而相应地有不同层次的数学化。

“毫无疑问，学生应当学习数学化；

自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化﹝使之合乎数学精确性要求﹞以保证数学的应用。

接着还应进到下一层次，至少能对数学事物进行局部组织。

应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系。

没有形式化也就没有形式体系。

因此数学教学必须通过数学化来进行”﹝P.134﹞。

4.“严谨性”原则“只有数学可以强加上一个有力的演译结构，从而不仅可以确定结果是否正确，还可以确定是否已经正确地建立起来。

这就是所谓数学的严谨性，也是数学的测量标准。

而教数学也必须遵循这个标准”﹝P.147﹞。

严谨性是相对的，必须根据具体的时代、具体的问题来作出判断。

“严谨性有不同的层次，每个题材都有相应的严谨性层次。

学生必须通过不同层次的学习来理解并获得自己的严谨性”﹝P.150﹞。

现成的数学与做出来的数学，两者的严谨性是有区别的，同时我们还应该从数学与现实的关系来理解，我们不可能将数学禁闭在一个与现实完全隔离的“严谨”的防水舱内。

在第九章与第十章中，作者声称“我并不认为本书的实质是为教师指定教学方法，?

我的哲学仍然是与违反教学理论的学校教师做斗争，特别反对纯粹照本宣读与教条主义观点，完全忽视了数学教学的心理学前提与社会影响”﹝P.156﹞。

从而认为“要实现真正的现代数学教育，必须以根本不同的方式来组织数学，?

应当组成混合的学生小组，教师讲解与学生活动相结合”﹝P.160﹞。

当然必须提供何适的教材，力求“使学生学会在学习过程中设计再创造教学的能力与方法”﹝P.161﹞。

为此作者提出了“数学教师培训的最低要求：

1.使教师能自信地使用现代数学的基本方法。

2.提供为理解现代数学的结构所必要的基本知识。

3.理解有关数学是如何应用的某些见解。

4.初步了解数学家是如何进行研究的。

“﹝P.166﹞

当然还“要考虑数学教师的教育学方面的培训，?

教学也属于通过做而学的活动，?

现代的数学理论也应当再创造”﹝P.167﹞。

该书的后半部分，作者用大量篇幅就数学的各个领域进行了较详细的研讨。

以数的概念为例，可以有多种理解，“从内容与形式两方面，从方法论观点，从发生的观点和数学理论的观点。

数的概念的客观形成可以有四个不同的途径：

即作为计数的数﹝Countingnumber﹞、数量的数﹝Numerositynumber﹞、测量的数﹝Measuringnumber﹞和计算的数﹝Reckoningnumber﹞”﹝P.170﹞。

他主张“数轴应当从算术一开始就引入，至少应较早使用，最初只标出自然数，以后再逐渐填满”﹝P.212﹞。

并且认为“将实数理解成十进小数是最适当的教学过程，?

也是足够严密的”﹝P.221﹞。

至于数的扩展则应该根据实际的数学背景，由于某些运算的需要，同时又要求保持一些通常的规律，采取这样的直观方式来进行，而不宜采用等价类和商域等做法。

“我将数的概念的学习过程，区分为以下几个阶段：

直观的运算，算法的运算，代数的运算，综合的组织以及最后使之从属于整个数学体系。

这种阶段并非时间的划分；

对于不同的概念，学生可以处于不同的阶段，而对于同一概念，学生也可以同时处于两个不同的阶段”﹝P.242﹞。

所谓直观运算就是指初学算术时应使用具体材料作为教具，如算盘，这些材料还应该是同类的、直观的，甚至具有一定的结构，如第纳斯﹝Dienes，Z.﹞的单位立方体系统﹝10个，100个，1000个分别组成一维，二维，三维的图形﹞，进一步也可以用纸上的图形代替实物对象，矩阵模式与数轴都可以作为形象化的工具，借助于数轴可将数解释成为实体、坐标和作为映射的算子。

此外，各种图象解释与标杆也都可以用作直观的解决，但也必须注意直观到适当的程度，为转向推理的代数体系作好过渡的准备。

关于算术与代数的问题作者主张不应该将两者截然分开，“小学高年级的教师应该将代数方法结合进算术的教学中”﹝P.287﹞。

同时还应注意，“一个关键的问题与困难的问题”﹝P.288﹞，那就是防止“代数退化成为26个字母的无意义的游戏”﹝P.288﹞。

新数学运动中引入集和论的处理方法就犯了这个错误。

作者还指出必须加强代数公式的教学，事实上这是一种独特的语言，例如他认为以﹝□+○﹞﹝□-○﹞=□^2-○^2来代替﹝a+b﹞﹝a-b﹞=a^2-b^2也许能使学生更容易理解作者提出“在学习过程中，首先是对于数进行运算，注意这些运算所满足的法则，将这些法则形成公式，根据局部的联系建立局部的结构，直到最终，将它们组成一个整体的演译体系”﹝P.313﹞。

至于具体的组织过程，来是强调应该通过学生自己的亲身体验，获得“做出来的”数学，而不是给以“现成的”数学，特别是考虑到数学与现实的密切联系，决不可忽视关于对数与角在中学数学中的重要地位。

再以几何为例，作者认为“几何不仅是演译科学的范例，?

也是苏格拉底教学法与再创造学习法的最好材料。

因而对传统几何的没落应当作进一步的调查研究。

”“什么是几何？

从高层次看，它以公理方式组织的一部分数学，而从最低的最基本的层次看，它是对空间的理解、探索与征服”﹝P.402﹞。

在现实空间中有许多问题：

“为什么卷起来的纸不容易弯？

月球表面的明暗界线是什么曲线？

万花筒的工作原理是什么？

为什么镜子只改变左右而不改变上下，如果不是站在镜子前而是躺在镜子前会产生什么情况？

”﹝P.404﹞。

提出这些问题是要说明“重要的是紧密联系实际地学习数学，除此之外没有其它途径能保证数学的持久影响；

因而如果从日常生活开始，以掌握物理空间为出发点，几何就可以成为一种卓越的工具来教数学这一充满着关系的科学”﹝P.405﹞。

几何与其它数学的区别在于：

首先“几何经常被看作是一种思维训练，它与逻辑有密切关系形成演译体系是几何的特权”﹝P.406﹞；

其次是几何有实际应用，“几何是学习将现实数学化的最好机会之一，?

借助于眼睛、手等各种感官所实现的空间形状，是更为令人信服的”﹝P.407﹞。

作者认为几何的入门教学应该始用“具体材料，?

如折纸、剪纸、黏合、画图、油漆、测量、铺路以及镶嵌等，都可以组织成几何的活动“﹝P.408﹞。

以重复实验几何学中概念、性质的发现过程，并且“具体材料的教学十分自然地必然从空间开始，?

传统几何教学中，学生的空间想象力被平面几何中太多太片面的练习所扼杀了”﹝P.408﹞。

作者还介绍了两个具体的试验课程的内容安排。

当然从直观萌芽所获得的笼统印象，还必须进到演译推理的高层次但这不能通过形式灌输来强加给学生，同样也应该让学生自己来发现，“好的几何数学应该使学生在学习一个题材的结构的同时也学习什么是结构化；

在学习具体对象的概念的同时，也学习什么是概念化；

在学习给对象下定义的同时，也学习什么是定义”﹝P.418﹞。

为了使几何摆脱困境，作者题出了几条途径：

一是“向线性代数靠拢，?

开始就从解析几何引入。

这有很大的优越性。

可以是代数的完美的严密性自动转入几何中”﹝P.420﹞。

二是“通过合理化，?

学生在学习了局部的结构化以后，还应学习整体的结构化，最终才割断本体论的联系”﹝P.451﹞。

但决不是让学生面对一个现成的公理系，而是应该在现实的背景下，通过公理化的方法来掌握公理系。

例如，“三角形各边的垂直平分线交于一点”和“球极平面射影”都是局部结构化的极好例子。

而“定向与角的概念”刚涉及一个领域的结构化。

三是“借助于变换群，特别是从具体的反射、平移、旋转这一运动群出发的方式，最为有效”。

该书于1973年出版，对当时的数学教学实践作深入的剖析，既批判了新数学运动的一些错误的倾向，也评论了某些心理学家的片面观点；

他力求从数学家的视角，按照数学本身发展的规律，来改造当前的数学教学，使之既具有现代数学的特性，又无违背认知发展规律与教学理论；

既符合严密的形式逻辑演译体系，又特别强调数学与现实世界的密切联系。

但是教育的理想虽说是未来的现实，必竟与当前的现实有很大的距离，要使数学教学过程真正来源于现实，通过数学化的途径，并成为学生再创造的活动，那还是一个有待探索、研究和实践的巨大工程。

三、《除草与播种─数学教育科学的前言》

《除草与播种─数学教育科学的前言》一书在开头就声称数学教育尚未形成为科学，“一旦数学教育科学存在，就会有它应有的前言，?

而现在这一前言的作用，就在于加速数学教育科学的诞生”。

全书共分四章，

其目录是：

（1）什么是科学？

（2）关于教育。

（3）关于教育科学。

（4）数学教育科学。

总篇幅为304页。

在“什么是科学”这一章中，作者指出“科学作为一种活动，它不是真理的宝藏，而是提出问题的一种方法”。

科学必须满足三个准则：

“相关性﹝relevance﹞、兼容性﹝consistency﹞和大众性﹝publicity﹞”。

“相关性可以反映定义、概念、理论、知识领域的特性，但就整体意义而言，更主要的是与现实的相关，而不是悬浮在半空中虚无飘渺的东西”。

“兼容性不仅强调它作为一个逻辑封闭系统的侧面，?

它也可以作为是一种活动的性质与模式”。

“科学必须具有公开的性质，真正的科学的特征之一就是大众性，?

对于学习科学和实践科学的每个人来说都是开放的”﹝P.1﹞。

根据这三条准则，就可以将真正的科学与伪科学、非科学、技术以及信仰区分开来，因为它们是建立在不同的哲学基轴上的。

在“关于教育”这一章中，作者强调“教育依赖于人，依赖于社会，?

实质上教育需要一种哲学，那是信仰而不是科学”。

所谓“受教育的同等权利，必须通过复杂的不同的体系来实现，例如掌握学习，?

许多不同的体系往往忘记了学习的社会背景”。

“我提倡混合的学习小组，我分析了数学学习过程，揭示了其中的层次，在某一层次做出来的数学就成为下一层次观察的数学”。

“教育的改革是社会的一个大的学习过程，?

改革的第一个结果是课程，而改革的基本变化应该反映在教师培训上，这一方涉及教材内容与教学理念的结合，另一方面则强调教师与学生的课堂实践与学习过程中的有意识观察”。

“而所有这些都是教育哲学的一部分”﹝P.33﹞。

在“关于教育科学”这一章中，作者提出“教育科学是否存在？

”确实近几年来建立了许多教育技术与教育理论，例如“教育目标，它的形成、分类与测试”，“课程理论”，“民意测验，如何以统计方法收集各种意见”，“评价、形成评价与诊断测试”等等。

但