高中导数题型总结Word下载.docx

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变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）;

例1：

设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;

（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

解:

由函数得

（1）在区间上为“凸函数”，

则在区间[0,3]上恒成立

解法一：

从二次函数的区间最值入手：

等价于

解法二：

分离变量法：

∵当时,恒成立,

当时,恒成立

等价于的最大值（）恒成立，

而（）是增函数，则

（2）∵当时在区间上都为“凸函数”

则等价于当时恒成立

变更主元法

再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

请同学们参看xx第三次周考：

例2：

设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值;

（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：

（Ⅰ）

令得的单调递增区间为（a,3a）

令得的单调递减区间为（-，a）和（3a，+）

∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

（Ⅱ）由||≤a，得：

对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：

单调增函数的最值问题。

上是增函数.（9分）

∴

于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴

点评：

重视二次函数区间最值求法：

对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：

构造函数求最值

题型特征：

恒成立恒成立;

从而转化为第一、二种题型

例3;

已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）当时，求的值域;

（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

（Ⅰ）∴，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

又

∴的值域是

（Ⅲ）令

思路1：

要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：

二次函数区间最值

二、题型一：

已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：

转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：

利用子区间（即子集思想）;

首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：

前者是后者的子集

例4：

已知，函数.

（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;

（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围.

.

（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，

令，解得：

列表如下：

（-∞,-2）

-2

（-2,2）

2

（2,+∞）

+

0

-

递增

极大值

递减

极小值

可知：

的极大值为，的极小值为.

（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，

∴，在给定区间R上恒成立判别式法

则解得：

综上，的取值范围是.

例5、已知函数

（I）求的单调区间;

（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

子集思想

（I）

1、

当且仅当时取“=”号，单调递增。

2、

单调增区间：

（II）当则是上述增区间的子集：

1、时，单调递增符合题意

2、，

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：

根的个数问题

题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）;

主要看极大值和极小值与0的关系;

解不等式（组）即可;

例6、已知函数，，且在区间上为增函数.

求实数的取值范围;

若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

（1）由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立（分离变量法）

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

（2）设，

令得或由

（1）知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，，随的变化情况如下表：

—

↗

↘

由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数

（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值;

（2）若，在

（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?

若存在，求出实数的取值范围;

否则说明理由。

高1考1资1源2网

（1）∵的图像过原点，则，

又∵是的极值点，则

（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，

等价于有含的三个根，即：

得：

即：

恒有含的三个不等实根

（计算难点来了：

）有含的根，

则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根

等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2：

切线的条数问题====以切点为数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：

（1）的解析式;

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

（1）由题意得：

∴在上;

在上;

在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：

，∴

（2）设切点Q，

过

令，

求得：

，方程有三个根。

需：

故：

;

因此所求实数的范围为：

题3：

已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：

根分布或判别式法

例8、

函数的定义域为（Ⅰ）当m=4时，f（x）=x3-x2+10x，

=x2-7x+10，令，解得或.

令，解得

可知函数f（x）的单调递增区间为和（5，+∞），单调递减区间为.

（Ⅱ）=x2-（m+3）x+m+6,

要使函数y=f（x）在（1，+∞）有两个极值点,=x2-（m+3）x+m+6=0的根在（1，+∞）

根分布问题：

则，解得m>

3

例9、已知函数，

（1）求的单调区间;

（2）令=x4+f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围.

（1）

当时，令解得，令解得，

所以的递增区间为，递减区间为.

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

（2）有且仅有3个极值点

=0有3个根，则或，

方程有两个非零实根，所以

或

而当或时可证函数有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11.

（Ⅰ）求函数的解析式;

（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

令=0,得

因为，所以可得下表：

极大

因此必为最大值,∴因此，，

即，∴，∴

（Ⅱ）∵，∴等价于，

令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

为此只需，即，

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数

（Ⅰ）若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

（Ⅱ）当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:

3的两部分,求直线L的方程.

（Ⅰ）.由,函数在时有极值,

∵∴

又∵在处的切线与直线平行,

∴故

∴…………………….7分

（Ⅱ）解法一:

由及在取得极大值且在取得极小值,

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,

∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:

3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,

由得点F的横坐标为:

由得点G的横坐标为:

∴即

解得:

或（舍去）故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为:

或.…………….………….12分

（Ⅱ）解法二:

同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为:

设直线BO与AC交于H,

由得直线L与AC交点为:

∵,,

∴所求直线方程为:

或

3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f（x）的解析式;

（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

由题知：

（Ⅰ）由图可知函数f（x）的图像过点（0,3），且=0

得

（Ⅱ）依题意=–3且f

（2）=5

解得a=1,b=–6

所以f（x）=x3–6x2+9x+3

（Ⅲ）依题意f（x）=ax3+bx2–（3a+2b）x+3（a>

=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）<

8a

由①②得–25a+3<

8a<

7a+3

所以当

4、（根的个数问题）已知函数

（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间;

（2）若，讨论曲线与的交点个数.

………………………………………………………………………2分

令得

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

（2）由题得

即

令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时，，，有一个交点;

…………………………9分

当即时，

∴当即时,有一个交点;

当即时，有两个交点;

当时，，有一个交点.………………………13分

综上可知，当或时，有一个交点;

当时，有两个交点.…………………………………14分

5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.

（Ⅰ）若函数在处有极值，求的解析式;

（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.