第二章典型问题的教学110剖析Word文档格式.docx
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甲+丙=84×
2……
(2)
•乙+丙=86×
2……(3);
把这3个算式相加就得到2个甲、乙和2个丙的总和,再用这个总和除以2,就可以求出甲、乙、丙这三个数的和,然后用三个数的和减去甲、乙两数的和就得到丙数。
•
解析:
根据题意可知,此题中平均分数的变化是由调整4人而引起的,因此要抓住4人进行分析。
•调整后得一等奖的10-4=6(人)的平均分提高了3分,说明在求原一等奖的平均分时,这6人给所调整的4人一共添了3×
6=18(分);
调整后得二等奖的20+4=24(人)的平均分提高了1分,一共用了1×
24=24(分),说明计算新的平均分时,所调整的4人共拿了24分平均分给得二等奖的每个人,这两部分一共代表18+24=42(分),由此可以求出原来得一等奖的平均分比二等奖的平均分多几分(42÷
4=10.05分)。
•练习:
•1、某煤矿去年上半年平均每月产煤354300吨,下半年平均每月产煤723150吨.今年全年的预计产量比去年产量多2754900吨,求今年平均每月产煤多少吨?
(768300)
•2、有6个数排成一行,它们的平均数是27,前4个数的平均数是23,后3个数的平均数是34,求第四个数是多少?
(32)
2、归一问题
•已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称之为归一问题。
•根据求“单一量”的步骤的多少,归一问题可以分为一次归一问题,两次归一问题。
根据求知单一量之后,解题采用乘法还是除法,归一问题可以分为正归一问题,反归一问题。
•一次归一问题,用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又称“单归一。
”
•两次归一问题,用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又称“双归一。
•正归一问题:
用等分除法求出“单一量”之后,再用乘法计算结果的归一问题。
•反归一问题:
用等分除法求出“单一量”之后,再用除法计算结果的归一问题。
•解题关键:
从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。
•数量关系式:
•单一量×
份数=总数量(正归一)
单一量=份数(反归一)
•例一个织布工人,在七月份织布4774米,照这样计算,织布6930米,需要多少天?
•分析:
必须先求出平均每天织布多少米,就是单一量。
6930÷
(4774÷
31)=45(天)
•1.火车4小时行368千米。
照这样算,从北京到广州2300千米,火车需行多少小时?
(反归一)(2300÷
(368÷
4)=25(小时)
•2.5吨菜籽榨菜油2吨,8吨菜籽可榨菜油多少吨?
(正归一)2÷
5×
8=3.2(吨)
•3.为一段8.4千米长的铁路铺设枕木,已知平均3米的距离用枕木5根,铺设这段铁路要多少根枕木?
8400÷
(3÷
5)=14000(根)
•4.一辆汽车3小时行120千为,照这样速度,再行驶2小时,一共可以行驶多少千米?
120÷
3×
(3+2)=200(千米)
•5.运送化肥275吨,前3天运了165吨,照这样计算,其余的要几天才能运完?
•(275-165)÷
(165÷
3)=2(天)
•6.一辆汽车从北京去天津,2.5小时行了75千米,距离天津还有45千米。
照这样计算到天津一共要用多少小时?
45÷
(75÷
2.5)+2.5=4(小时)
•7.水利工地用同样型号的卡车8辆运石头,每天可运1280吨。
照这样计算,每天运176吨,需要增加同样的卡车多少辆?
176÷
(128÷
8)-8=3(辆)
•8.苹果园要运送5000千克苹果,用250个筐。
如果每筐多装5千克,可以节省多少个筐?
250-5000÷
(5000÷
250=5)=50(个)
•9.9辆同型号的卡车5趟能运来360吨砂土。
现在某工地急需砂土480吨,要4趟运完,求需要增加同样的卡车多少辆?
(480÷
4)÷
(360÷
5÷
9)-9=6(辆)
•10.某村计划在8天内修一条长320米的堤坝,16人3天修了96米,照这样计算,要按计划完成需再增加几个人?
•320÷
8÷
(96÷
16÷
3)-16=4(人)
•11.一地方需要1080袋水泥,用3辆载重量相同的汽车运了4次正好运了一半,余下的再增加一辆同样型号的汽车来运,还要几次运完?
1080÷
2÷
(1080÷
3÷
4)÷
(3+1)=3(次)
3倍比问题
•倍比应用题也是一般应用题中的一种典型应用题,它的结构类似归一问题,但如果能找出题中一个数量是另一个数量的几倍,要求它的几倍是多少,就能很容易地算出来。
•倍比应用题的解答特点,即从两个同类量中先求出大数是小数的几倍,然后再求出几倍是多少。
•倍比问题应用题可以用归一方法解答,但用倍比方法解答更简便。
•倍比问题应用题思路是:
在两组相对应的数量中,先求出两个同类量的倍数关系,再根据其他条件求出问题。
•例1、装订车间7天装订13.5万册书,照这样计算,装订40.5万册需要几天?
•例2、某机器厂制造一种零件,制造每个零件所用的时间由原来生产多少个?
•例3、一辆汽车,从A地到B地有480千米,行了6小时,用同样的速度继续开往C地,又行了4小时,从B地到C地有多少千米?
4、归总问题
•例修一条水渠,原计划每天修800米,6天修完。
实际4天修完,每天修了多少米?
因为要求出每天修的长度,就必须先求出水渠的长度。
所以也把这类应用题叫做“归总问题”。
不同之处是“归一”先求出单一量,再求总量(先单后总);
归总问题是先求出总量,再求单一量(先总后单)。
800×
6÷
4=1200(米)
•1.小明到商店买了2本练习本,用去1.6元。
如果要买同样的5本练习本,需要多少元?
1.6÷
2×
5=4(元)
•2.某洗衣机车间去年计划生产洗衣机2400台,结果10个月就完成了任务。
照这样的速度,去年的实际产量比原计划增产多少台?
•2400÷
10×
12-2400=480(台)
•2.3台面粉机4小时可以加工面粉2460千克。
现有5台同样的面粉机,6小时可以加工面粉多少千克?
2460÷
4×
5×
6=6150(千克)
•3.3名工人5天加工零件7500只,照这样计算,7名工人加工3500只同样的零件需要几天完成?
3500÷
(7500÷
7)=1(天)
•4.3台磨面机8小时磨面粉57.6吨,如果要20小时磨面粉240吨,需同样的磨面机多少台?
240÷
(57.6÷
8×
20)=5(台)
•5.服装厂原计划16人在5天里做160套少先队服,刚要开始生产又增加了任务。
在工作效率不变的情况下,需要20人9天才能完成,问增加的任务是多少套?
160÷
20×
9-160=200(套)
•6.某工程队修公路,54人12天修公路1944米。
如果人数增加18人,天数缩小到原来的一半,可修公路多少米?
1944÷
12÷
54×
(54+18)×
(12÷
2)=1296(米)
•例1分析:
因为13.5万册要装订7天,如果求出40.5万册是13.5万册的几倍,也就是先求出需要几个7天,再用乘法,就可以求出最后问题。
•例2分析:
过去制造每个零件所用的时间是8分钟,现在制造每个零件只要2.5分钟,可以求出过去生产一个零件的时间是现在的几倍,反过来就是现在所生产的零件是过去的几倍。
•例3分析:
因为汽车的速度没有变,可以把4小时所行路程看做1的倍数,那么6小时是4小时几倍,它所行的路程也是4小时所行路程的几倍,从而可以求出B地到C地的距离。
5和差问题
•已知两数和即它们的差,求这两个数各是多少的应用题,叫做和差应用题,简称和差问题。
•和差问题的解题规律是:
小数加上两数差就是大数,两数和加上两数差便是大数的2倍;
大数减去两数差是小数,两数和减去两数差是小数的2倍。
因此,用两数和加上两数差,再除以2,就可求出其中的大数;
用两数和减去两数差,再除以2,就可以求出其中的小数。
最终我们可以用公式表示为:
•(两数和+两数差)÷
2=大数;
•(两数和-两数差)÷
2=小数。
•例1
有1元和5元人民币共17张,合计49元,两种面值的人民币各有多少张?
•例2某加工厂甲班和乙班共有工人94人,因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少12人,求原来甲班和乙班各有多少人?
•例1析:
该题求两种面值的人民币各有多少张,已知总张数17张,但两种人民币张数相差多少难以确定,怎么办?
再分析题意,又知两种面值的人民币的总钱数及各自的票面值,但两种人民币相差的钱数也难以确定,这又怎么办?
•例2析:
从乙班调46人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成2个乙班,即94-12,由此得到现在的乙班是(94-12)÷
2=41(人),乙班在调出46人之前应该为41+46=87(人),甲班为94-87=7(人)
6和倍问题
•已知两个数的和与两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,我们通常把它叫做和倍问题。
•这是一类典型的应用题。
像解答和差应用题一样,要想顺利地解答和倍问题,最好的办法就是根据题目中所给的条件和问题,画出线段图,使数量关系一目了然,从而找出解题规律,正确迅速的列式解答。
•和倍问题中的关系如下:
•两数和÷
(倍数+1)=小数;
•小数×
倍数=两数和-小数=大数。
某印刷厂第一季度印书690000册,二月份印的册数是一月份的2倍,三月份印的册数是一月份的3倍,一、二、三月份分别印书多少册?
•例2甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?
各减去多少米?
我们可以以一月份印书册数为标准(1倍),则690000册是一月份的(1+2+3)倍。
两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的3倍,实比乙绳多(3-1)倍,以乙绳的长度为标准数。
•列式(63-29)÷
(3-1)=17(米)…乙绳剩下的长度,17×
3=51(米)…甲绳剩下的长度,29-17=12(米)…剪去的长度。
7差倍问题
•例1、一个体育队,男队员人数的2/3与女队员人数的相等,男队员比女队员多45人,男、女队员各多少人?
•例2、甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?
根据题意画出线段图,可以看出:
把女队员人数的看作1份(标准数),那么女队员人数就是2份,男队员人数就是3份,进而可知,男队员人数比女队员多(3-2)份。
用图表示为:
•男队人数:
•女队人数:
列式(63-29)÷
•差倍问题:
已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。
•解题规律:
两个数的差÷
(倍数-1)=标准数标准数×
倍数=另一个数。
•练习:
•1、学校阅览室有两个书橱,甲橱的书是乙橱的3倍,甲橱的书借出170本,乙橱借出10本,这时两橱报剩下的书正好相等,求两橱原来各有书多少本?
•2、甲、乙两个足球队练球时,甲队的球数等于乙队的3倍。
如果甲队给乙队6个球,则乙队的球数是甲队的3倍。
甲、乙两个球队原来各有球多少个?
•3、父子年龄相差27岁,已知父亲年龄为他现年2倍的时候,儿子年龄恰为他自己现年的5倍。
父子现年各多少岁?
8年龄问题
•将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为“年龄问题”。
年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似,主要特点是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差是不会改变的,因此,年龄问题是一种“差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。
•例父亲48岁,儿子21岁。
问几年前父亲的年龄是儿子的4倍?
父子的年龄差为48-21=27(岁)。
由于几年前父亲年龄是儿子的4倍,可知父子年龄的倍数差是(4-1)倍。
这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。
•列式为:
21-(48-21)÷
(4-1)=12(年)
练习
•1、小刚说:
“去年爸爸比妈大4岁,我比妈妈小26岁”,你算一算,今年小刚爸爸比小刚大多少岁?
•2、小红今年11岁,她爸爸今年43岁,几年以后,爸爸的年龄是小红的3倍?
•3、张妈、阿明和小红三人共91岁,已知阿明22岁,问张妈多少岁?
•4、李强2岁时,他的父亲是32岁,李强的年龄是父亲的3/5的那一年,父亲去世,问他父亲活了多少岁?
30÷
(1-3/5)=75
9还原问题
•已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。
•解题规律:
从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
•解答还原问题的关键是:
根据加与减、乘与除间的互逆关系,从最后一步逆推上去而得到原数,所以,这种方法也叫逆推法
•例1某小学三年级四个班共有学生168人,如果四班调3人到三班,三班调6人到二班,二班调6人到一班,一班调2人到四班,则四个班的人数相等,四个班原有学生多少人?
•例2某商场周日出售液晶电视机。
上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多15台,还剩40台。
商场这天原有液晶电视机多少台?
当四个班人数相等时,应为168÷
4,以四班为例,它调给三班3人,又从一班调入2人,所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。
•四班原有人数列式为168÷
4-2+3=43(人)
•一班原有人数列式为168÷
4-6+2=38(人);
•二班原有人数列式为168÷
4-6+6=42(人)
•三班原有人数列式为168÷
4-3+6=45(人)。
从“下午售出剩下的一半多15台”和“还剩下40台”向前倒推。
40台和下午多卖的15台合起来,即40+15=55(台)(如图),正好是上午售后剩下的一半,那么55×
2=110(台)就是上午售后剩下的台数,而110台和10台合起来,即110+10=120(台),又正好是总数的一半,那么120×
2=240(台),就是原来液晶电视机的台数。
•1、甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本,甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁,使他们的书增加1倍,然后,乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍,然后,丙又拿出一部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍,最后,丁也拿出一部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍时,甲、乙、丙、丁手中都有32本书。
甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书?
•2、粮食仓库里的粮食第一次运走它的一半少10吨,第二次运走剩下的一半多6吨,第三次运走30吨后仓库里还剩下40吨粮食。
求仓库里原来有粮食多少吨?
•题1分析:
我们还是采取倒推的方法。
从最后一次丁分书以后开始考虑。
由于丁拿出一部分书分给甲、乙、丙后,甲、乙、丙的书各自增加了1倍,都是32本,说明在此之前,甲、乙、丙手中的书都为:
32÷
2=16(本),丁手中的书应为:
32+16×
3=80(本)。
同样可推出在丙拿出书之前,甲、乙、丁手中的书分别为:
8本、8本、40本,此时丙手中的书应为:
16+8+8+40=72(本)。
继续推下去,就可以推出原来四人手中各有各的书。
•题2分析:
可以抓住最后一个条件,逐次逆推进行解答。
•①
第三次如不运走30吨,仓库里应有粮食多少吨?
40+30=70(吨)
•②
第二次只运走剩下的一半不多6吨,仓库里应该有粮食多少吨?
70+6=76(吨)
•③第一次运走后,仓库里还剩粮食多少吨?
76×
2=152(吨)
•④
第一次运走一半不少10吨,仓库里应该有粮食多少吨?
•
152-10=142(吨)
•⑤仓库里原来有粮食多少吨?
142×
2=284(吨)
•列综合算式:
〔(40+30+6)×
2-10〕×
2=284(吨)
•3、一个数缩小10倍后再增加80,然后扩大3倍,再减去85得200。
求这个数是多少?
此题是还原问题。
可以抓住逆推这一思路,利用加与减、乘与除间的互逆关系,从最后一步逆推上去而得到原数。
•解:
•①减去85得200,没有减去85时应为多少?
200+85=285
•②扩大3倍后是285,没有扩大3倍时应为多少?
285÷
3=95
•③增加80后是95,没有增加80时应为多少?
95-80=15
•④原数缩小10倍后是15,没有缩小10倍时应为多少?
15×
10=150
〔(200+85)÷
3-80〕×
•答:
这个数是150。
10植树问题
•这类应用题是以“植树”为内容。
凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。
•解题关键:
解答植树问题首先要判断地形,分清是否封闭图形,从而确定是沿线段植树还是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。
沿线段植树
•棵树=段数+1
•棵树=总路程÷
株距+1
•株距=总路程÷
(棵树-1)
•总路程=株距×
•沿周长植树
株距
棵树
•总路程=株距×
棵树
•例1:
在一条路的一侧每隔40米竖一根电杆,从路的起点到终点一共竖了52根,问这条路全长多少米?
•例2:
人民公园环湖路长6900米,沿湖边每隔15米种一棵树,每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。
求共要种树多少棵?
安放椅子多少条?
•例3:
一个正方形鱼塘的周长是1200米,在4个角上都种上树后,每条边上都有16棵树,求每棵树之间相距多少米?
这是在封闭曲线上植树可直接用公式:
“棵树=总长÷
棵距”求解。
而“每3棵树之间安放一条长椅”,正好是每隔一段棵距放一条椅子,椅子数正好是棵树的一半。
•①共要种树多少棵?
•6900÷
15=460(棵)
•②安放椅子多少条?
•460÷
2=230(条)
共要种树460棵,安放椅子230条。
沿正方形的四周种树,看似在封闭线路上植树。
但由于四个角上都种上了树,,是每边都种了16棵树,实际上是等同于在不封闭直线上种树,每边实际分成了(16-1)段。
这样就可以用“边长÷
(16-1)”求出棵距。
当然,也可以用:
“周长÷
(16×
4-4)”求出棵距。
1200÷
4÷
(16-1)=20(米)
•1、种树时,把66棵树苗平均分在马路两侧,棵距12米。
马路长有多少米?
•2、原计划在马路一侧每隔9米种一棵树,连两头在内共能种81棵。
今改变计划,结果用等距离种树121棵。
求现在两树间的棵距?
•3、有运动队180人,排成12人一列的纵队组成仪仗队,每列前后两人距2米,这个仪仗队长有多少米?
•4、有一个报时钟,每敲响一下,声音可持续3秒。
如果敲响6下,从敲响第一下到最后一下持续声音结束,一共需要43秒。
现在要敲12下,那么,从敲响第一下到最后一下持续声音结束,一共需要多少秒?
•第4题析:
这是植树问题的应用,可以看作是在不封闭直线上的“种树”。
•首先,需要求出两响之间的间隔;
然后,再求需要的时间。
•(43-3)是“敲响第一下到最后一下”的总时间,(6-1)是“敲响第一下到最后一下”的间隔数,总时间÷
间隔数=每个间隔数(即两响之间的间隔)。
然后,按照“在不封闭直线上的种树”的公式,求出一共需要多少秒?
•①两响之间的间隔是多少秒?
•(43-3)÷
(6-1)=8(秒)
•②敲响12下,一共需要多少秒?
•8×
(12-1)+3=91(秒)
敲响12下,一共需要91秒。
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