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节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,
则该晚会的节目单的编排总数为种.
91011
A1A1A1=990
6、马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C3种方法,
所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:
一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.
7、3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33,○*○*○*○,在四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A41种,所以每个人左右两边都空位的排法有
A1A3=24种.
43
解法2:
先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人
带一把椅子去插空,于是有A3=24种.
8、停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
先排好8辆车有A88种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9
个空档中任选一个,将空车位置插入有C1种方法,所以共有C1A8种方法.
998
注:
题中*表示元素,○表示空.
三.定序问题缩倍法:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
1.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的
排法种数是()
A、24种B、60种C、90种D、120种
B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即1A5=60种,选B.
25
2、将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法?
【解析】:
法一:
A3法二:
1A6
636
3
四.标号排位问题分步法:
把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
1、.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
A、6种B、9种C、11种D、23种
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三
个方格,又有三种方法;
第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×
3×
1=9种填法,选
B.
2、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标
号与所填数字均不相同的填法有()
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入
其它三个方格,又有三种方法;
1=9种填法,选B.
3、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()
A10种B20种C30种D60种
答案:
B
4、同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有()
(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种
设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法
原理和乘法原理,一共有3⨯(1+2)=9种分配方式。
故选(B)
5、五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()
(A)60种(B)44种(C)36种(D)24种
五.有序分配问题逐分法:
有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.
1.有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()
A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从
1087
另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C2C1C1=2520种,选C.
2、12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有(
444
443
)A、CCC种B、3CCC
种C、CCA种D、C128C4种C
1284
A.
128412833
六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):
注意平均分堆的算法
1、有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3)分成每组都是2本的三个组;
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本;
(5)分给5人每人至少1本。
(1)C1C2C3
(2)C1C2C3A3C2C2C2
(4)C2C2C2(5)
C2C1C1C1C1C15
554321A5
6536533
3642
2、将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有
种(用数字作答).
C2⋅C1⋅C1
A
第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有421;
2
第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A3所以满足条件得分配的方案有
421⋅A3=36
23
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
3、5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种
CCC
311
521⨯A3A2
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有2
C1C2C23
=60种,若
542⨯AA2
是1,1,3,则有2
=90种,所以共有150种,选A
4、将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为()
A.70B.140C.280D.840
答案:
(A)
5、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有()
(A)30种(B)90种(C)180种(D)270种
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名
C1⋅C2
教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有524=15种方法,再将3组分到3个班,共
有15⋅A3=90种不同的分配方案,选B.
6、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()种
A.16种B.36种C.42种D.60种
43243
按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构,∴C2C2A2+C3A3=36+24=60故选
D;
7、
(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A、480种B、240种C、120种D、96种答案:
B.
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案
C4C4C43
有多少种?
12834A3
8、有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三
步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C2C1C1=2520种,选C.
9.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都
不参加,则有派遣方案A4种;
8
②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A3方法,所以共有3A3;
88
③若乙参加而甲不参加同理也有3A3种;
④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另两个城市有A2种,共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法总数为
8888
A4+3A3+3A3+7A2=4088种
10、四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C2种,再排:
在四个盒中每次
排3个有A3种,故共有C2A3=144种.
11.
(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
把四名学生分成3组有C2种方法,再把三组学生分配到三所学校有A3种,故共有
C2A3=36种方法.
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480种B、240种C、120种D、96种
七.名额分配问题隔板法:
1、10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,
可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的
9
分配方案为C6=84种.
2、把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?
3、向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17个球分成
16
份,每份至少一球,运用隔板法,共有C2=120种。
4、10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少
一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不
同的分配方案为C6=84种.
变式1:
7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有
种
变式2:
马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,为节约用电,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办法有种
5、将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
1、先从4个盒子中选三个放置小球有C3种方法。
2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在
4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个
板。
各有C2、C2、C2种方法。
345
3、由分步计数原理可得C3C2C2C2=720种
4345
八.限制条件的分配问题分类法:
1.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其
中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
①若甲乙都不参加,则有派遣方案A4种;
②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后
安排其余学生有A3方法,所以共有3A3;
④若甲乙都参
888
加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有A2种,共有7A2方法.
所以共有不同的派遣方法总数为A4+3A3+3A3+7A2=4088种.
九.多元问题分类法:
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.
1、由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有(
)
A、210种B、300种C、464种D、600种
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,
43333323333
A1A1A3,A1A1A3,A1A1A3,A1A3个,合并总计300个,选B.
2、从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法
(不计顺序)共有多少种?
被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成
的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7,14,21,98}共有14个元素,不能被7整除
的数组成的集合记做A={1,2,3,4,,100}共有86个元素;
由此可知,从A中任取2个元素的取法有C2,从A中任取一个,又从A中任取一个共有C1C1,两种情形共符合要求的取法有
C2+C
14
1C1
=1295种.
1486
141486
3、从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
将I={1,2,3,100}分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A={4,8,12,100};
能被4除余1的数集B={1,5,9,97},能被4除余2的数集C={2,6,,98},能被4除余3的数集D={3,7,11,99},易见这四个集合中每一个有25个元素;
从A中任取两个数符合要;
从B,D中各取一个数也符合要求;
从C中任取两个数也符合要求;
此外其它取法都不符合要求;
所以符合要求的取法共有C2+C1C1+C2种.
25252525
4、有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、日语均精通,
从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日
语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以开出几张?
C4C4+C3C1C4+C4C1C3+C2C4+C4C2+C3C1C1C3
5452452454545214
变式:
.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案:
185
十.交叉问题集合法:
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
n(A⋃B)=n(A)+n(B)-n(A⋂B).
从6名运动员中选出4人参加4×
100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列}
,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
6554
n(I)-n(A)-n(B)+n(A⋂B)=A4-A3-A3+A2=252种.
十一.定位问题优先法:
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;
再排其它的元素。
1、1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
老师在中间三个位置上选一个有A1种,4名同学在其余4个位置上有A4种方法;
所以共
34
有A1A4=72种。
2、有4名男生,5名女生,排成一行,下列情形各有多少种不同排法?
(1)甲不在排头;
(2)甲不在排头,乙不在排尾;
(3)甲不在两端;
(4)甲乙站两端;
(5)甲乙不能站排头,排尾;
(6)甲乙相邻,而丙不能站排头排尾。
十二.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
1、6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种
6
前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共A6=720种,
选C.
2、8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A2种,某1个元素排在后半段
的四个位置中选一个有A1种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故共有A1A2A5=5760种
45445
排法.
十三.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()
A、140种B、80种C、70种D、35种
解析1:
逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不
945
同的取法共有C3-C3-C3=70种,选.C
解析2:
至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:
甲型1台乙型2台;
甲型2台乙型1台;
故不同的取法有C2C1+C1C2=70台,选C.
5454
十四.选排问题先取后排:
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.
1.
(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
解析:
在四个盒中每次排3
个有A3种,故共有C2A3=144种.
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同
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