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又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
11.等腰梯形的性质:
因为ABCD是等腰梯形
12.等腰梯形的判定:
四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD四边形是等腰梯形
14.三角形中位线定理:
三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.
15.梯形中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
一基本概念:
四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.
二定理:
中心对称的有关定理
※1.关于中心对称的两个图形是全等形.
※2.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
※3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.
三公式:
1.S菱形=
ab=ch.(a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长,h为c边上的高)
2.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边,h为a上的高)
3.S梯形=
(a+b)h=Lh.(a、b为梯形的底,h为梯形的高,L为梯形的中位线)
四常识:
※1.若n是多边形的边数,则对角线条数公式是:
2.规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似”.
3.如图:
平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4.常见图形中,仅是轴对称图形的有:
角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……;
仅是中心对称图形的有:
平行四边形……;
是双对称图形的有:
线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意:
线段有两条对称轴.
※5.梯形中常见的辅助线:
正方形、矩形、菱形和平行四边形四者知识点串联汇总
对角线相等
对角线互相垂直
有一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关概念
图形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一个内角是直角的平行四边形叫做矩形
一组邻边相等的矩形叫做正方形
平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
对边平行,四条边相等
两对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
对边平行、四条边都相等
两条对角线互相平分、垂直、相等,每一条对角线平分一组对角
平行四边形、菱形、矩形、正方形的判别方法
判别方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一个内角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
一组邻边相等的矩形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
二、梯形常见的辅助线
1.延长两腰交于一点
作用:
使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰
使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高
使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线
(1)得到平行四边形ACED,使CE=AD,BE等于上、下底的和
(2)S梯形ABCD=S△DBE
5.当有一腰中点时,连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
可得△ADE≌△FCE,所以使S梯形ABCD=S△ABF。
平行四边形检测题
一、选择题(每题3分,共30分)
1,一块均匀的不等边三角形的铁板,它的重心在( )
A.三角形的三条角平分线的交点 B.三角形的三条高线的交点
C.三角形的三条中线的交点 D.三角形的三条边的垂直平分线的交点
2,如图1,如果□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,那么图中的全等三角形共有()
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3,平行四边形的一边长是10cm,那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是( )
A.4cm和6cm B.6cm和8cm C.8cm和10cm D.10cm和12cm
图3
图2
图1
4,在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()
A.AC=BD,AB=CD,AB∥CDB.AD//BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC
5,如图2,过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线,分别相交于E、F、G、H四点,则四边形EFGH为()
A.平行四边形B、矩形C、菱形D.正方形
6,如图3,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S1、S2,那么S1、S2的大小关系是( )
A.S1>
S2 B.S1=S2C.S1<
S2 D.S1、S2的大小关系不确定
7,矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为( )
A.3cm2 B.4cm2 C.12cm2 D.4cm2或12cm2
8,如图4,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°
,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为()
A.12
m B.20m C.22m D.24m
9,如图5,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是( )
A.
B.
C.
D.
10,如图6,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走2走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了31
m,则长方形花坛ABCD的周长是( )
A.36m B.48m C.96m D.60m
二、填空题(每题3分,共30分)
11,如图7,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于___.
图7
图9
图8
12,如图8,过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2(填“>”或“<”或“=”).
13,如图9,四边形ABCD是正方形,P在CD上,△ADP旋转后能够与△ABP′重合,若AB=3,DP=1,则PP′=___.
14,已知菱形有一个锐角为60°
,一条对角线长为6cm,则其面积为___cm2.
15,如图10,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,点E为BC的中点,设△DEA的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,则S1与S2的关系为___.
16,如图11,四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直,A1B1C1D1四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为___.
图11
A1
B1
C1
D1
D
A
B
C
E
F
图12
图10
17,如图12,□ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为___.
18,将一张长方形的纸对折,如图13所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到条折痕,如果对折n次,可以得到条折痕.
三、解答题(共40分)
图14
19,如图1,4,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°
翻折梯形ABCD,使点B重合于D,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8.求BE的长.
20,在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;
(1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有___组;
(2)请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线;
(3)由上述实验操作过程,你发现所画的饿两条直线有什么规律?
21,如图16,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.
(1)线段AF与GB相等吗?
图17
图16
O
·
图18
(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由.
22,如图17,已知□ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点E.
(1)试说明线段CD与FA相等的理由;
(2)若使∠F=∠BCF,□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件?
请你补上这个条件,并说明你的理由(不要再增添辅助线).
23,(08上海市)如图,已知平行四边形
中,对角线
交于点
,
是
延长线上的点,且
是等边三角形.
(1)求证:
四边形
是菱形;
(2)若
,求证:
是正方形.
24,已知:
如图19,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).
(1)连结____________;
(2)猜想:
______=______;
(3)证明:
25,如图20,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图21,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?
如果成立,请给出说明理由;
如果不成立,请说明理由.
参考答案:
一、1,C;
2,D;
3,D;
4,C;
5,C;
6,A;
7,D;
8,B;
9,D;
10,C.
二、11,30°
12,=;
13,2
14,6
或18
15,
16,20;
17,7;
18,15、
-1.
三、21,由题意得△BEF≌△DFE,∴DE=BE,∵在△BDE中,DE=BE,∠DBE=45°
∴∠BD
E=∠DBE=45°
∴∠DEB=90°
∴DE⊥BC.∴EC=
(BC-AD)=
(8-2)=3.∴BE=5;
22,
(1)无数;
(2)只要两条直线都过对角线的交点即可;
(3)这两条直线过平行四边形的对称中心(或对角线的交点);
23,:
(1)
是平行四边形,
.
又
是等边三角形,
,即
(2)
是菱形,
24,
(1)说明△CED≌△CEA即可,
(2)BC=2AB,理由略;
25,
(1)四边形ABCD是矩形.连结OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DO=OB,∵四边形DEBF是菱形,∴DE=BE,∴EO⊥BD,∴∠DOE=90°
,即∠DAE=90°
,又四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.
(2)解:
∵四边形DEBF是菱形,∴∠FDB=∠EDB,又由题意知∠EDB=∠EDA,由
(1)知四边形ABCD是矩形,∴∠ADF=90°
即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°
,则∠ADB=60°
,∴在Rt△ADB中,有AD∶AB=1:
26,
(1)连结AF;
(2)猜想AF=AE;
(3)连结AC,交BD于O,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD于O,DO=BO,因为DE=BF,所以EO=BO所以AC垂直平分EF,所以AF=AE;
27,
(1)因为四边形ABCD是正方形,所以∠BOE=∠AOF=90°
,OB=OA,又因为AM
BE,所以
MEA+
MAE=90°
=
AFO+
MAE,所以
MEA=
AFO,所以Rt△BOE可以看成是绕点O旋转90°
后与Rt△AOF重合,所以OE=OF;
(2)OE=OF成立.证明:
因为四边形ABCD是正方形,所以∠BOE=∠AOF=90°
,OB=OA又因为AM
BE,所以∠F+∠MBF=90°
=∠B+∠OBE,又因为∠MBF=∠OBE,所以∠F=∠E,所以Rt△BOE可以看成是由Rt△AOF绕点O旋转90°
以后得到的,所以OE=OF;
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