第08章重积分习题详解Word下载.docx

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=2所围

成；

（3）JJIn（x+yMb与j!

[In（x+y'

db，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为

（1,0）,（1,1）,（2,0）；

（4）JJIn（x+y）dD与JJ[ln（x+y）]2dc7,其中D=｛（x,y）I3<

5,0<

1｝.

解

（1）在积分区域D±

0<

x+y<

l,故有（X+y）Y（x+y）\根据二重积分的性

质4,可得ff（x+y）3db<

JJ（x+y）2dcy.

（2）由于积分区域D位于半平面｛（x,y）x+y>

l｝内，故在D上有（x+y）2<

（x+y），.从而JJ（x+y）2db<

JJ（x+y）W.

（3）由于积分区域D位于条形区域｛（X,y）戸x+y<

2内，故知D上的点满足0<

lnx+y）1

从而有[In（x+y）]2<

ln（x+y）.因此JJ[In（x+y）]2db<

n（x+y）dcr.

I=ffsin2xsin'

ydct其中D二{（x,y）|0<

x〈兀，0<

兀};

D

I=JJ（x+y+l）dcr其中D二{（x,y）0<

1,0<

y<

2}:

JJ（X2+4y2+9）db其中D二{（x,y）x:

+y=<

4}・

解

（1）在积分区域D上，0<

l,0<

y<

l,从而0<

xy（x+y）<

2,又D的面积等

于1,因此0〈JJxy（x+y）db

〈2.

在积分区域D上，0〈sinx<

siny<

1,从而O〈sin:

xsin:

l,又D的面积等于rr,因此0<

JJsirTxsirTydb〈n.

在积分区域D上，0〈x+y+l〈4,D的面积等于2,因此2<

JJ（x+y+l）db<

8.

在积分区域D±

0<

x:

<

4,从而9<

+4y:

+9<

4（x:

+y:

）+9<

25,,又D

的面积等于4n,因此36n<

JJ（x2+4y2+9）db<

100n

习题8-2

i计算下列二重积分：

（1丨1（x2+y2）db,其中D={（x,y）||x|M,|y|M};

JJ（3x+2y）dcr,其屮D是由两坐标轴及直线x+y二2所围成的闭区域；

ff（x3+3x2y+y3）db,其中D={（x,y）|0<

y兰

1}；

Dffxcos（x+y）dey其中D是顶点分别为（0,0）,（兀0）和（兀冗）的三角形闭区域.

⑴JJ（Xs+y2）db=f"

dxL（xs+y2）dy=jjx5yltExSxL（2x2八dx二弓.

DL3「33

D可用不等式表示为0〈y〈3—X,0<

2,于是

22a2:

:

x

JJ（3x+2y）db=[dxL（3x+2y）dy=[[3xy+y]0dxD

220=[（4+2x一2x:

）dx=J.

3

JJ（XJ+3x:

y+y3）db二[dyj；

（x9+3xsy+ys）dx

1IX33113.

4

=£

!

-+xy+yXidy=o（-+y+y）dy=1.li。

D可用不等式表示为0<

x,0<

n,于是

nxnx

JJxcos（x+y）db=10xdxocos（x+y）dy=ox[sin（x+yjdxd°

°

n3

_x（sin2x-sinx）dx=n

2.画出积分区域，并计算下列二重积分：

JJX阿，其中D是由两条抛物线y=jx,y二疋所围成的闭区域；

JJxydcr,其中D是由圆周x2+y:

=4及y轴所围成的右半闭区域;

[@十此,其中D={（x,y）||x|+|y|M}；

y=x及y二2x所围成的闭区域.

ff（x2+y2一xjdcy,其屮D是由直线y二2,

（1）D可用不等式表示为

X2<

jx,0<

l,于是

JJxVydb:

=oxdx■血dy

D可用不等式表示为0〈X<

J4—y%

—2<

2

叔（4—y

其中积分区域D是:

y）dy或

222y22ff（x+y一x）db=[dyy（x+y-x）dxd-=

b[32y

3•化二重积分

I=JJf（x,y）dcr

为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）

由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；

由x轴及半圆周W=rs（Y>

0）所围成的闭区域;

由直线y二x,x=2及双曲线y二」（x〉0）所围成的闭区域；

环形闭区域{（X,y）1Cx：

+r<

4}.

（1）直线y二x及抛物线r=4x的交点为（0,0）和（4,4）4"

4x、4y

1二・0dx[f（x,y）dy或I=[dypf（x,y）dx

将D用不等式表示为0〈y〈JF-X2,-r<

r,于是可将I化为

r

I=Ldxof（x,y）dy;

如将D用不等式表示为J2—r<

Jr-r,0<

rJ「*

I二.0dyJyrf（x,y）dx.

、12x

二个交点为（1,1）、（2,—）和（2,2）,于是I二1dxj】f（x,

21x

1222

I=Jidy£

f（x,y）dxLdyff（x,y）dx・

2y

将D划分为4块，得

j4-y22J4?

rdb1

I=J2dy［牙（x,y）dx屮J/yL有

QdyBf（X，

、rf（x,）d

y）dx+JdyJRyX

*47*

aHTX*

'

=Ldx—x,y）dy+Ldy

or

2HjTzx2

+Ldy

（X,y）dy+HdyL&

f（X,y）dy.

4-改换下列二次积分的积分次序:

iy

⑴odyof（x,

22y

（2）T；

v^2f（X>

v）dX

f（x,y）dx;

⑷[dx[sf（x,y）dy;

eInX

[dx」f（x,y）dy;

sinx

（6）od\f\nXf（X，y）dy.

（1）所给二次积分等于二重积分

JJf（x,y）dcr,

其屮

二{（x,y）0<

y,0<

l},D可改写为{（x,y）

11

原式二dxxf（x,y）dy.

（2）所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT,

={（x,y）ys<

2y,0<

2},D可改写为{（x,y）

.4欢

原式二[dxjxf（x,y）dy.

⑶所给二次积分等于二重积分JJf（x,y）dCT,

氓（x,y）|—J—r<

Jl—r,0<

l},D可改写为

{（x,y）0<

J1一X2,一1<

1},于是

1

原式二Ldxof（x,y）dy.

（4）所给二次积分等于二重积分JJf

（x,y）dCT,

<

1,0<

l},于是

其中

A/x,0<

4},于是

可改写为

D={（x,y）2一x<

j2x一X2,1<

2},D{（x,y）12—y<

xEl+Jl-y>

0<

f（x,y）dx.

（5）所给二次积分等于二重积分

fjf（x,y）db,其中

Dx,y）0<

lnx,1<

e},

D可改写为{（x,y）

ey<

e,0<

所给二次积分等于二重积分

JJf（x,y）dcr,将D表示为D"

1Da,其中

Dr={（x,y）arcsiny<

冗一arcsiny,0<

1},

D2={（x,y）-2arcsiny<

n-l<

0},于是

、1n_arcsiny0n

原式二』dy[rcsinyf（X,y）dx+LdyLrcsinyf（X,y）dX・

5•计算由四个平面x=0,y=0,X二1,y二1所围成柱体被平面z二0及2x+3y+z=6截得的立体的体积.

解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy面上的闭区域D={（X,y）|0<

l},顶是曲面Z=6-2x-3y,因此所求立体的体积为

117V=□（6-2x-3y）dxdy=Jdxo（6-2x-3y）dy二-.

6.求由曲面z=x:

+2歹及z=6-2x2-y:

所围成的立体的体积.解所求立体在xOy面上的投影区域为

c9

D={（x,y）x+y<

2}

所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：

V二JJ（6-2x=-ys）db—JJ（x=+2ya）db

=JJ（6-3x=-3y=）db=JJ（6-3俨川內£

二［d叫（6—3PdP=6n

7.画岀积分区域，把积分JJf（x,y）dcr表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D

是:

（1）

（2）{（x,y）x2+y兰2x}；

{（X,y）X2+y2<

a2}（a>

0）；

{（X,y）a<

x+y<

b},其中0<

a<

b;

（4）{（x,y）|0<

l—x,0<

l}.

0<

2n,故

（1）在极坐标中,D={（PO）0<

P<

a,

sm9+cos6

i

Pcos日，Psin£

）PdP.

2护

「xJxf（x>

y）dy；

D?

两部分：

〈上},

JJf（x,y）db=JJf（PcosH,Psin£

）PdfldO=odOJof（Pcos日,Psin日）PdP.

DDv0

（2）在极坐标中,D={（P,T）0<

P兰2cosa—\n,故

22

n2cosfl

（Pcos

JJf（X,y）db二fff（PcosT,PsinT）PdPdO=f,def0f

日,Psin日）PdP・

DD—

（3）在极坐标中，D={（P,£

）a<

P<

b,0<

2nb

fff（x,y）db=fff（PcosT,PsinT）PdPdO=fd9[f（PcosS,PsinH）PdP.LL

・0La

在极坐标中，直线x+y=l的方程为P二2,故

o-0〃一—（叫心齐而，弓，

于是

JJf（x,y）db二fff（PcosT,Psin£

）PdfdO二

D1

8化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

•11

（1[dxff

）（x,y）dy;

f（x,y）dy

■

♦

（1）用直线y二x将积分区域D分成D】、

Dx={（P,日）0<

se出，0<

。

2二{（P,日）|0<

PWcsc日，11兰日5,

42

原式

二俞9『叫（Pcos日，Psin0）FdP+魚9『叫（Pcos0,Psin日）PdP.

日二一O

在极坐标屮，直线X=2,y二x和y二J3x的方程分别是P二2secII,&

二一和

因此D二{（P,日）|0<

P兰2sec日，11兰日<

-},又f（Jx，+y。

二f（P）,于是

43

a2secA

原式巧3d牡八（TPdP.

（3）在极坐标屮，直线y二l-x的方程为P=1,圆y

sin9+cos6

的方程为

P=l,因此D={（BT）

1n

〈P〈l,0<

9<

—）,故

sin9+cos92

原式二『dHJi日）pdp・

f（pcosFl,psinsin涉OS

日

⑷在极坐标中，直线X二1的方程为P二sec日，抛物线y二才的方程为

PsinO二P2cos:

o,即P二tanIIse闵；

两者的交点与原点的连线的方程是0二-。

因此

D={（P,0）tan9sec0<

P〈seC：

9〈上},故

原式涉cJWcosyPsin切PdP・把下列积分化

9为极坐标形式，并计算积分值：

•ax2

2a72ax-r22dx

0dxj（x+y）dy;

oMF'

dy;

寸aJ」

LdyL（x+y）dx-

（1）在极坐标屮，D={（2II）0<

2acosa0<

0<

4,故

在极坐标中，

D二{（P0）I0<

P<

asecq0<

8<

-},故

nQ

原式二「dT_o

P•內P=a[jftL+ln（'

/2+1）]・

质式=Fd叮Fp2edP#na1.

在极坐标屮，抛物线y二x‘的方程为Psin0=P2cos2Q,即P=tan£

se止J;

直线

y二x的方程是9二一,故D={（,t）0空血，00}隹<

ntanAecQ!

原式二Fdejo¥

2dP=72-l.

（4）在极坐标屮，积分区域

D二{（P,0）0<

a,0<

{}

原式二『dQ,P2P=

10.利用极坐标计算下列各题:

ffexH\JdcT,其中D是由圆周X?

D“

+『二4所围成的闭区域;

TJarctanydcr,其屮D是由圆周d2222

x+v二4・x+v=1兀盲线v=0・v二乂硏雨成的在第一象限内的闭区域・

解

（1）在极坐标屮，D二{（P,Q）10<

2,0<

2n,故

原式2n2合4

八二n阿n訂”php二nA—1）

在极坐标中，D二{（P,6）1<

2,0<

；

},故

x232原式二[4d0[PdP=2n:

•b山64

11.选用适当的坐标计算下列各题：

H笃dcT,其中D是由直线x=2,y二x及曲线xy二1所围成的闭区域；

DV

f琲工才，其屮D是由圆周x2+y:

=1及坐标轴所围成的在第一象限内的DJl+x+y

闭区域；

ff（x2+y2）db,其中D是由直线y二x,y二x+a,y=a,y=3a（aAO）所围成

的闭区域;

JJJx2+y2db，其中D是圆环形闭区域{（x,y）|a2<

b:

}.

（1）选用直角坐标,

D二{（x,y）I-<

x,1<

2},

XXy

JJ-ydxJdxLdy二；

•d

选用极坐标，D={（P,H）0<

P2,0兰Fl吕，故

2屁•用Pd—f;

吋儒.Pdp

二昭耳•丹P=n（-2）.

（3）选用直角坐标,

%yV99

口（X+y）db二[dyjyjx+y）dx=J。

3a

s22a

（2av——av-i

）dv=14a.

12.

选用极坐标，D二｛（P,0）0<

1,

Jjjx2+y2db=JJP4^9=0de

求由平面y二0,y二kx（k）0）,

-｝,故

a用dP=?

nb3~as）.

二0以及球心在原点、半径为

R的上半球面所围

成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）.

JJJR—X2—y2db=JJJR-P2,pdpd日

R3

PdP=一arctank.

Fz=HJGP

口-3°

[x+y?

dv=GP]（z-a）dzTf

dxdy

g2「xw+（z

+（z-a）2]2

=GPo（z-a）dzodIIo=-2£

P[h+JR2+（h-a）3-JR2+a2_

[r:

+（z~a）2]2

复习题A

、填空题

1•设D是正方形区域｛（X,y）0<

1｝,则JJxydxdy:

二

2•已知D是长方形区域｛（x,y）&

兰b,0匠1｝又已知Jfyf（x）dxdy1则

b

f（x）dx=2：

3•若D是由X+y二1和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分

JJf（x）dxdy可以表示

为定积分JJf（x）dxdy=0®

（x）dx,那么®

（x）二

.第八章重积分习题详解

68-.

f.dxo一f（x,y）dy二fdQorf（rcosII,rsin9）dr,

f\

则区间（8P）二.n

2,

I*2

二、选择题

1・设D是由y二kx（k；

>

0）,y二0和x二1所围成的三角形区域，且

JJxy:

二亦，贝H

k二（）・A；

A.1；

B・普;

D.

2.设必是正方形区域,

点在（一1,1）点，记

rr2口少b=JJedxdy,

D2是Di的内切圆区域，D3是Di的外接圆区域,

3=JJe2y»

「dxdy,

Di的屮心

则Ii,I2,I3的大小顺序为（

A.li〈I2〈I3；

B.I2〈li〈〈3；

l3<

12<

11.

3•将极坐标系下的二次积分:

I=0d810

rf

2sinQ

（rcos8,rsin8）dr

化为直角坐标系下的二次积分，则

（

114;

戸

A.I二.Ldy

1j2y3

C.I二帥匚2’fZdx；

）dxy

4•设D是第二彖限内的一个有界闭区域,

而且

0cy

11=

JJyxdcT

12=

JJy2xdcr,

13

则11,12,13的庆小顺序为

（D

JJy"

xdcT,

A.Il兰12兰

〈3；

】〃J

）d0

yy;

1=34

〈1•记

C.兰>

2；

13兰11

1如丄

一f（X,）d

yy-

li.

AZ.\AZ.

二乃二

5.计算旋转抛物面Z=1+

A.ffJI+x+ydcT；

y

X3<

C.JJJI+x+ydcT；

f出

B.JJJ-X-y2dcr；

y二

D.ffJ—X2—y2db・

x3-/<

三、计算题

1计算重积分ffePxdy,其中D是由x二0,yp和y=2所围成的区域.

2lnyx21

JJe*dxdy=idyoe=d£

d鬼（y-1）dy=-.D

/x二-2,y二x和xy二1所围成的区域.

2•计算重积分ff—dxdy,其中D是由

Dy

lA*.J：

x2dxXy勺y二J：

（—Xs+x）dx