同济五版线性代数习题答案第二章矩阵及其运算docWord格式.docx
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+2al2x}x2+2al3x}x3+2a23x2x3
210、
1031、
0101
012-1
(6)
.
0021
00-23
^0003,
^000—3,
1210、
Q031、
1252、
012-4
00-43
、000一3/
000-9;
11
1
3、
乌2.设A=
B=
1"
I
o
5
L
求3AB—2A及NB.
qii)
123、
fl11)
解3AB—2A=3
ii-i
-1-24
11-1
Jt•>
、051,
J-1b
8、
r-2
13
22、
-5
-i
-17
20
9
0;
29
-2>
1)
12
A『B=
-1-2
J
•>
p05
o>
P543.已知两个线性变换
而=2一+为
邑=一2乂+3),2+2为石=4名+力+5为
求从Z],Z2,Z3到XpX2,W的线性变换.
/、
X]、
2
oy
i
5>
*
5,
3^
由己知
-61
=12-4
10-1
kZ3>
x{=-6z1+z2+3z3
所以有
x2=I2zl-4z2+9z3x3=-10z,-z2+I6Z3
3>
(\
PS44.设4=
(1)AB=BA吗?
(\0)、
B=,I可:
12)
12、
B=
10、
J>
2,
(2)(A+8)2=疽+2AB+B2吗?
(3)(A+B)(A—B)=A2-B2吗?
解⑴人二
故(A+B)2/A2+2AB+B2
故(A+B)(A—B)W人2—身
P545.举反列说明下列命题是错误的:
(1)若疽=0,则A=0;
(2)若A2=A,则A=0或A=E;
(3)若AX=AY,且ArO,则X=Y.
01、
解⑴取4=人2=0但a。
looj
(\1、
(2)取4=A2=A,但A^O且0/E
101
Es6.设4二。
,求A2,a3,...,a\
当A=1时,显然成立,假设k时成立,则化+1时
心心」1叩°
)」1°
)
SJUJ〔伙+1以\)
」10)
由数学归纳法原理知:
A*=。
A1,求A〃.
W1J
0、
a2=
A
2A
、0
刃
A;
z
A2
3A2
3/T
a3=a2a
A3
P557.设人=00解首先观察
物以〃T〃(〃-1"
一2、
由此推测A〃=0万nA"
1(/?
2)
用数学归纳法证明:
当n=2时,显然成立.
假设n=k时成立,则n=k+1时,
S'
—'
k〈k-V),_2
A*】=A*・A=
Ak
°
+1)吐1
Ak+]
(k+l)k-2-
(A+1)#T
由数学归纳法原理知:
A〃=
〃(〃一1)i
nAn~}
An
〃一2
P558.设A,B为〃阶矩阵,且A为对称矩阵,证明B「AB也是对称矩阵.
证明已知:
A7'
=A
贝Ij(BtAB)t=Bt(BtA)t=btatb=btab
从而btab也是对称矩阵.
P559.设A,B都是〃阶对称矩阵,证明A8是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明由已知A『=ABT=B
充分性AB=BA^AB=B1A1AB=(AB)1,即AB是对称矩阵.
必要性(AB),=ABnB1A1=ABBA=AB.
10.求下列矩阵的逆矩阵:
《12、
25,q
九=5,心=2x(-1),&
=2x(-1),A22=1
cos。
一sin9、
qin。
cos。
解W=l/0,故A」'
存在
从而
y%!
=sin。
&
=—sin。
A22=cos0
〈cos。
sin。
、
p-sin。
cos/
-4
、5
|A|二2,
=-4
A”=—13
%=—32
-2.
故妃存在
Aj=2人22=6&
/14<
-2
_13
T'
i-16'
\
A-1==
W
a2
an)
由对角矩阵的性质知
11.解下列矩阵方程:
13J
V"
-6
‘21
X21
JT
Ai=0
右2=T
心=-2
0)
~2
(叩2。
A-1
—6)(3
2八2
1J
a\1
-5Y4
2>
一6、<
(0
-23、
8)
7-13、
♦1-1、
_1
-13、
(101、
-221、
x=
210
-23-2
82
432,
--5——
\/
J-11>
「330;
33)
c14、
X
,2
0>
31、
-12,
1>
o-L
⑶
-I
fl
1;
P5512.利用逆矩阵解下列线性方程组:
Xj+2x2+=1
2xl+2x2+5易=2
—3x,+5x2+V=3
3x,
解
(1)方程组可表示为
22
——
故
225
351;
x\=1
从而有《易=0
工3=°
X]—X)—X3=2
2x)—Xj—3工3=1
3Xj+2x2-5x3=0
q-1
解
(2)方程组可表示为
2-1-3
X、Av
2-5,
1*3)
-1、
十2)
尤2
2-5;
—5
故有*x2=0
W=3
而=2一+2一+为
P5513.已知线性变换<x2=3凹+力+5为求从变量尤1,工2,尤3到变量乂必见的线性变换•工3=3乂+2力+3为
◎21、
解由已知
315
323,
Z\
(2
-7
9、
工2
x2
-4>
yx=-7%j-4x2+9x3
y2=6工]+3x2-7x3y3=3x,+2x2-4x3
P5514.设A为三阶矩阵,|A|=g,求|(2A)T—5A*.
解由|A|二;
0可知A可逆,所以有
=\A\A~[=^A~[,(2人尸=!
曰,
・・.(2A)-1-5A*=-A-1--A-1=-2A-1.22
故|(2A)T-5A]=|-2|=(-2)3|a-i|=-23«
2=-16.
‘033、
15.设A=110,AB=A+2B,求B.
l-l23J
解由AB=A+2B可得(A-2E)B=A
-233、
“033、
F33、
故B=(A-2EY]A=
1-10
110
-123
厂121;
23;
(110,
01
P5616.设A=020,且AB+£
=A2+B,求B.
J0b
解由AB+E=A?
+B可知,
(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E)
q01、
100、
or
而A-E=
020
010
010,
ioi>
00b
」。
001A-E\=010=-1^0100
‘2or
/.A-E可逆,故B=(A-E)_,(A-E)(A+E)=A4-E=030
Il。
2,
17.设A=diag(l,-29l)fABA=2BA-8Ef求B.
解用A左乘关系式AfBA=2BA-8E可知,
AA'
BA=2ABA-8Af
用A—】右乘上式可得AAB=2AB-8Ef
而A4*=|A|E,.-.\A\B=2AB-8E.(v|a|=-2#0)
因而(2A+2E)8=8E,所以(A+E)B=4E.
而A+E=dicig(l,-2,1)+力建(1,1,1)=diagQ,-l,2)是可逆矩阵,
且(A+5)T=mg(:
-l,!
故B=4(A+EY{=diag(2.-4,2).
P5618.己知矩阵A的伴随矩阵4=diog(l,l,l,8),且ABA'
1=BA-'
+3E,求B.解先由A*来确定|A|.
由题意知妒存在,有#=|人俱-|,得园=|郁因而A*=8,故|A|二2.
再化简所给矩阵方程ABA'
=BA'
1-i-3E=>
(A-E)BA'
l=3E=>
(A-E)B=3A=>
(E-A-,)B=3E.
由|A|=2,知at=吉A*=;
如g(1,1,1,8)=diag(以,:
4),
£
*-Q=diQg(?
,C,-3)•
得(E-A-1)-1=^g(2,2,2,-|).
J,
于是B=3(E-AT1)-1=3diag(2,2,2,--)=diag(6.6,6,-1).
_j_4、
P,619.设P—'
AP=A,其中P二
56U1J
r-i
、o
,求AL
14、
.1
p
=3P=
[Tb
PT=—
-l-b
解P'
]AP=A故A=PAP—'
所以A"
=PA,,P_,
而A"
11
n
4>
1-4Y-10、
_<
27312732、
jiJb2七
683-684,
~3
~3;
故A"
H11、
Jl)
P5620.设AP=P\f其中P=
10-2
A=
J-11
5>
(p(A)=A8(5E-6A+A2).
求
=PA8(5E-6A+A2)P_,
而A8(5E-6A+A2)=diag(1,1,58)•diag(\2,0,0)=。
诙(12,0,0).
所以低(A)=PA'
(5E—6A+A2)a】
(\1
12
10
J-1
4>
P5621.设藤=0(k为正整数),证明(E-Af1=E+A+A2+•••+Aa-1.
证明一方面,E=(E-AY\E-A)
另一方面,由Ak=O有
E=(£
-A)+(A-A2)+A2A*-'
+(A”」'
-Ak)
=(E+A+A2+..・+/)(£
:
-A)
故(E-A)-\E-A)=(E+A+A2+・・・+A*t)(E—A)
两端同时右乘(E—同)t
就有(E-A)T=E+A+妒+…+/
另证・.・4*=0
・・.(e-a)(e+a+a2+・..+a*t)
=厅+/1+人2+..・+/-A-4Ak~]-Ak
=E-Ak=E.
于是(E—A/】=E+A+A2+..・+A*t
22,设方阵A满足A2-A-2E=Ot证明0及A+2E都可逆,并求人一】及(A+2E)-1.
证明由A2-A-2E=O得A2—A=2E
两端同时取行列式:
|a2-a|=2
即|A||A-E|=2,故|七0
所以A可逆,而A+2E=A2
A+2E|=|A2|=|A|2^0故A+2E也可逆.
由A1-A-2E=O^A(<
A-E)=2E
=>
A-A(A_E)=2A~lE=>
A'
=S(A-E)
又由A2-A-2E=O^>
(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
(A+2E)(A-3E)=-4E
.•.(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=—4(A+2E)~l
/.(A+2£
)-1=-(3E-A)
P5623.设A为可逆矩阵,证明其伴随矩阵也可逆,且(A*)T=(AT)*
证明・.・A可逆,.・.|A|r0且逆矩阵为A\・.・A*A=|A|/.・・A*=|A|A由于|A*o,妃可逆且(a-,)(a-,)*=|a-,|z可得(妒)*=寿人另一方面,由^'
(A-iy=AATl^A=I
由矩阵可逆定义知,A*可逆,且(A*)t=(A—'
)*
P5624.设〃阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
⑴若|A|=0,则”|=0;
(2)=
证明由A'
A=\A\E,两边取行列式得:
=
(1)若|A|=0,可分为以下两种情况:
1°
)若A=0,则A*=(),因而A*=0,结论成立.
2°
)若A壬0,此时必有A*=0,
因若AJ0,,则A*可逆,于是在A:
A=\A\E=O两边左乘(4尸,得A=0,与A壬0矛盾,即此结论成立.
(2)若|a|^o,s|a*||a|=|a|\则有|a[=|a|"
T.
若|A|=0由⑴知|Aj=0此时命题也成立,
故有A*=|A「
oY
V.
琮25.计算
1、-1
一3)
q21o、
1252、
0003,
「000一3/
20)
C3为矩阵,C4为〃xs矩阵
(O
R
\.VX5
A"
OJ
ag=e=>
C3=a-'
由此得到<
ac4=o^c4=o(/T存在)
BC】=OnC】=O(3一|存在)
BG=E,nC2=B一'
B'
x
另法
于是
(2)
U'
O)
(1)因A和B均可逆,
作分块矩阵
A\
0)
可逆,且
B)
的逆矩阵,
[0
由分块矩阵乘法规则,
=E“+s
矿1)
就是求〃+s阶方阵X,
使得
X=En+S.
(*)
为此,根据原矩阵的分块情况,对X作一样的分块,x=其中X]],X】2,X)],X”是未知矩阵(为明确起见,它们依次是nxn.nxs.sxn.sxs矩阵),把上式代入(*)式得到
(A
J、
叫
碎、
〔°
E“
X"
〔CXu+敬由
CJ+BXJ
比较上式两端两个矩阵,有
AX“=E〃nXu"
T
=0nXl2=0
1乙1£
CXf+BX^=F=>
BXg=E°
nX”=B1.
CX”+8X21=0=>
BX2]=-CX}]=-CA'
]=>
X2I=-B~'
CA-1,于是得
P5628.求下列矩阵的逆矩阵:
(1)
4200、
“1000、
2100
1200
;
(2)
0083
2130
[0052)
1214,
解
(1)将矩阵分块A=
52、
r83、
、21>
,人=
q2;
其中A=
而A-1
所以A=
(2)将矩阵分块A
u.
00
2-3
-58
A?
,其中Ai=
1-5
o、
A二
8J
,4]=
,A2=
,30、
J2)
J4,
A-i
2;
心'
=iLi
、\
‘40、
(21、
20、
、T3)
U2;
..
、Tb
12
1p224^3
所以A'
24
-12
8
24;
J_
j_
解|F|=10-2=-6^0,所以F可逆,则有A=PAPL
1-11
222
且p-{=-30-3
所以^(
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