浙江专用高中数学23232平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2Word格式.docx
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)
(2)若直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β相交且垂直.(√)
提示
(1)当b⊥β时,才能推出α⊥β.
2.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面( )
A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在
解析 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.
答案 C
3.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°
,则二面角的平面角的大小是( )
A.60°
B.120°
C.60°
或120°
D.不确定
解析 若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°
;
若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°
.
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角
C1-AB-C的大小为________.
解析 ∵AB⊥BC,AB⊥BC1,
∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角,其大小为45°
答案 45°
类型一 二面角及其平面角的概念
【例1】下列命题中:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )
A.①③B.②④C.③④D.①②
解析 由二面角的定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以①不对,实质上它共有四个二面角;
由a,b分别垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;
③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对;
由定义知④正确.故选B.
答案 B
规律方法
(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别.
(3)可利用实物模型,作图帮助判断.
【训练1】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角( )
A.相等B.互补
C.相等或互补D.关系无法确定
解析 如图所示,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,所以两个二面角的大小关系不确定,故二面角H-DG-F的大小不确定.
答案 D
类型二 面面垂直的判定与证明
【例2】如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上异于A、B的任意一点,求证:
平面PAC⊥平面PBC.
证明 连接AC,BC,因为C是圆周上异于A、B的任一点,且AB是⊙O直径.
则BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC,而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,
又BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥面PBC.
规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
【训练2】如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.求证:
平面AEC⊥平面PDB.
证明 ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC,
又PD,BD为平面PDB内两条相交直线,
∴AC⊥平面PDB.又∵AC⊂平面AEC,∴平面AEC⊥平面PDB.
类型三 二面角(互动探究)
【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值.
[思路探究]
探究点一 求二面角的大小关键是什么?
提示 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.
探究点二 二面角的两种常见求法是什么?
提示 1.定义法:
在二面角的棱上找一点,在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.
2.垂面法:
过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面形成交线,这两条射线(交线)所成的角,即为二面角的平面角.
解 取A1C1的中点O,连接B1O,BO.由题意知B1O⊥A1C1,
又BA1=BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,
所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a,则OB1=
a,
在Rt△BB1O中,tan∠BOB1=
=
,
所以二面角B-A1C1-B1的正切值为
规律方法 1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中,利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值,其步骤为作角→证明→计算.
2.为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点,如是否为等腰三角形等.
【训练3】已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12,底面对角线的长为2
,求侧面与底面所成的二面角.
解 设正四棱锥为S-ABCD,如图所示,高为h,底面边长为a,
则2a2=(2
)2,∴a2=12.又
a2h=12,∴h=
=3.
设O为S在底面上的射影,作OE⊥CD于E,连接SE,
可知SE⊥CD,∠SEO为所求二面角的平面角.
tan∠SEO=
,∴∠SEO=60°
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°
[课堂小结]
1.证明两个平面垂直的主要途径:
(1)利用面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
2.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的.
3.下面的结论,有助于判断面面垂直:
(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;
(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β;
(3)α∥β,γ⊥α⇒γ⊥β.
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β.
2.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC
解析 ∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.
3.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°
,则二面角B-PA-C的大小为________.
解析 PA⊥平面ABC,
∴∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角,
又∠BAC=90°
,∴二面角B-PA-C的大小为90°
答案 90°
4.(2016·
江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明
(1)由已知,DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,
∴DE∥A1C1,
且DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1C1,又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A,
∴A1C1⊥平面ABB1A1,∵B1D⊂平面ABB1A1,
∴A1C1⊥B1D,又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,
∴B1D⊥平面A1C1F,又∵B1D⊂平面B1DE,
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
基础过关
1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:
l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ
解析 B错,有可能m与β相交;
C错,有可能m与β相交;
D错,有可能α与β相交.
答案 A
2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示),图中互相垂直的平面有( )
A.1对B.2对C.3对D.5对
解析 ∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,
∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,
又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为( )
B.30°
C.45°
D.15°
解析 由条件得:
PA⊥BC,AC⊥BC又PA∩AC=C,
∴BC⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC,
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.
在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°
,所以C对.
4.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
,BC=2,则二面角D-BC-A的大小为________.
解析 如图由题意知AB=AC=BD=CD=
,BC=AD=2.
取BC的中点E,连接DE,AE,则AE⊥BC,DE⊥BC,所以∠DEA为所求二面角的平面角.
易得AE=DE=
,又AD=2,所以AE2+DE2=AD2.即∠DEA=90°
5.E是正方形ABCD的边AB中点,将△ADE与△BCE沿DE,CE向上折起,使得A,B重合于点P,那么二面角D-PE-C的大小为________.
解析 易得∠CPD即为二面角D-PE-C的平面角.在△PCD中,PC=PD=DC,∴∠CPD=60°
答案 60°
6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,PA⊥平面ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2
,BC=6.求证:
平面PBD⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PA.又tan∠ABD=
,tan∠BAC=
∴∠ABD=30°
,∠BAC=60°
∴∠AEB=90°
,即BD⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
7.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°
,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明 如图所示,连接BD,
由ABCD是菱形且∠BCD=60°
知,
△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由
(1)知BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=
,∠PBA=60°
故二面角A-BE-P的大小是60°
能力提升
8.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥面PDFB.DF⊥面PAE
C.面PDF⊥面ABCD.面PAE⊥面ABC
解析 如图所示,∵BC∥DF,
BC⊄平面PDF,DF⊂平面PDF,∴BC∥平面PDF.∴A正确.
由BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,∴BC⊥平面PAE.
又BC∥DF,∴DF⊥平面PAE.∴B正确.
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE).∴D正确.
9.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析 ∵PA⊥平面ABC,
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB,
即tan∠ADP=
=1,
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°
,选D.
10.如图,二面角α-l-β的大小是60°
,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°
,则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
解析 如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,
由图得sinθ=
·
=sin30°
sin60°
答案
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1和B1C1的中点.
(1)求证:
平面MNF⊥平面ENF;
(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.
(1)证明 连接MN,∵N,F均为所在棱的中点,
∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN⊂平面A1B1C1D1,
∴NF⊥MN.又∵M,E均为所在棱的中点,
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形.∴∠MNC1=∠B1NE=45°
∴∠MNE=90°
,∴MN⊥NE.又NE∩NF=N,∴MN⊥平面NEF.
而MN⊂平面MNF,∴平面MNF⊥平面NEF.
(2)解 在平面NEF中,过点N作NG⊥EF于点G,连接MG.由
(1)得MN⊥平面NEF,
又EF⊂平面NEF,∴MN⊥EF.
又MN∩NG=N,∴EF⊥平面MNG,又MG⊂平面MNG,∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角.
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中,NG=
∴在Rt△MNG中,tan∠MGN=
∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为
探究创新
12.如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°
,AD=
,EF=2.
AE∥平面DCF;
(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°
?
(1)证明 过点E作EG⊥CF交CF于点G,连接DG.
由题意,得四边形BCGE为矩形.
∵四边形ABCD为矩形,所以AD綊EG,∴四边形ADGE为平行四边形,
∴AE∥DG.
∵AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,
∴AE∥平面DCF.
(2)解 过点B作BH⊥FE的延长线于点H,连接AH.
∵平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,
AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥平面BEFC,∴AH⊥EF,
∴∠AHB为二面角A-EF-C的平面角.在Rt△EFG中,
∵EG=AD=
,EF=2,
∴∠CFE=60°
,FG=1,
又∵CE⊥EF,CF=4.
∴BE=CG=3,∴BH=BE·
sin∠BEH=
∵AB=BH·
tan∠AHB=
故当AB=
时,二面角A-EF-C的大小为60°
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