三角反三角函数图像的解析Word文件下载.docx

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[-1,1:

x=2kn+

时ymax=1

JI

x=2kn一2

时ymin=-1

[-1,1]

x=2kn时

ymax=1x=2kn+时

ymin=-1

无最大值无最小值

y>

1或yw-1

{y|y>

1或yw-1}

周期性

周期为2n

周期为n

T=2n

2n

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

在

Jl

[2kn——2

2,2

kn+一:

上

都是增函数；

[2kn+—

2kn+n]

3上都是减函数（k€Z）

在]2kn-n,2kn上都是增函数；

:

2kn,

2kn+]n上都是减函数

（k€Z）

在（kn一,

Tt

kn+亍）内都是增

函数（k€Z）

在（kn,kn+n）内都是减函数

一般不讨论

角函数的诱导公式（六公式）

公式一：

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（a+k*2n）=sinak为整数）

COS（a+k*2n）=cosak为整数）

tan（a+k*2n）=tan（a为整数）

公式二

设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系

sin[（2k+1）n+a-S=na

COS[（2k+1）n+a抬OSa

tan[（2k+1）n+a]=tana

COt[（2k+1）n+a]=COta

公式三

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：

sin（2k-a）=sina

cos（2k-a）=COsa

tan（2k-a）=tana

COt（2k-a）=COta

公式四

利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系

sin[（2k+1）na]=sina

COS[（2k+1）na]=COSa

tan[（2k+1）na]=tana

COt[（2k+1）na]=COta

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系：

sin（2kna）=sina

C0S（2kn-a）=COSa

tan（2kna）=tana

C0t（2kna）=C0ta

公式六：

n/2±

4aa的三角函数值之间的关系：

Sin（n/2+a）=C0Sa

cos（n/2+a-sina

tan（n/2+a-Cota

C0t（n/2+a-）=na

sin（n2）=C0Sa

C0S（n/2a）=Sina

tan（n/2a）=C0ta

C0t（n/2a）=tana

诱导公式记背诀窍：

奇变偶不变，符号看象限。

[2]

或者也可以这样记：

分变整不变，符号看象限。

和差角公式

三角和公式

sin（a+3+）y=sina・coscos丫+cosa・sincos丫+cos-sin・aosSin-[SinYn丫

C0S（a+3+）丫=cosa・cos3°

eassya^sin3'

Siny•cos3°

-sSna•sin[•cos丫

tan（a+3+）r=（tana+tan3+tantana・tan3・）ta（Y-tana・ta-taB3°

tartana・ta）丫

（a+3+Y^n/2+2，n、3、丫工冗/2+2k）n

积化和差的四个公式

sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

倍角公式

sin（3a）3sina-4sin^3a

=sin（a+2a）

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina

=3sina-4sin^3a

cos3at（2cosA2a-1）cosa-2（1-cosA2a）cosa

=cos（2a+a）

=cos2acosa-sin2asina

=（2cosA2a-1）cosa-2（1-cosA2a）cosa

=4cosA3a-3cosa

sin3at4sinasin（60°

+a）sin（60°

-a）

=3sina-4sinA3a

=4sina（3/4-sinA2a）

=4sina[（V3/2-sina][（V3/2+sina]

=4sina（sin60+sina）（sin60-Sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°

-a）/2]*2sin[（60°

-a）/2]cos[（60°

+a）/2]

=4sinasin（60°

+a）sin（60°

-a）

cos3at4cosacos（60°

-a）cos（60°

+a）

=4cosa（cosA2a-3/4）

=4cosa[cosA2a-（V3/2人2]

=4cosa（cosa-cos30°

）（cosa+cos30°

）

=4cosa*2cos[（a+30°

/2]cos[（a-30）°

/2]*{-2sin[（a+30）/2]sin[（a-30）°

/2]}

=-4cosasin（a+30/sin（a-30/

=-4cosasin[90-（60°

-a）]sin[-90+°

（60°

+a）]

=-4cosacos（60/-a）[-cos（60/+a）]

=4cosacos（60°

-a）cos（60°

tan3attanatan（60°

-a）tan（60°

+a）

上述两式相比可得

tan3a=tanatan（60/-a）tan（60/+a）

三倍角

sin3a=3sin-4sin人3a=4sina・（sin/3+asin（n/3-a）

cos3a=4cosA3-3cosa=4cosa・CO$n/3+acos（n/3-a）

tan3a=tan（a）*（-3+tan（a）人2）/（-1+3*tan（a）人2）=tanatan（n3+a）-tan（n/3a）

其他多倍角

四倍角

sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sin人人2-1））

cos4A=1+（-8*cosAA2+8*cosAA4）

tan4A=（4*tanA-4*tanAA3）/（1-6*tanAA2+tanAA4）

五倍角

sin5A=16sinAA5-20sinAA3+5sinA

cos5A=16cosAA5-20cosAA3+5cosA

tan5A=tanA*（5-10*tanAA2+tanAA4）/（1-10*tanAA2+5*tanAA4）

六倍角

sin6A=2*（cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinAA2））

cos6A=（-1+2*cosA）*（16*cosAA4-16*cosAA2+1）

tan6A=（-6*tanA+20*tanAA3-6*tanAA5）/（-1+15*tanA-15*tanAA4+tanAA6）

七倍角

sin7A=-（sinA*（56*sinAA2-112*sinAA4-7+64*sinAA6））

cos7A=（cosA*（56*cosAA2-112*cosAA4+64*cosAA6-7））

tan7A=tanA*（-7+35*tanAA2-21*tanAA4+tanAA6）

/（-1+21*tanAA2-35*tanAA4+7*tanAA6）

八倍角

sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinAA2-1）*（-8*sinAA2+8*sinAA4+1））

cos8A=1+（160*cosAA4-256*cosAA6+128*cosAA8-32*cosAA2）

tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanAA2-7*tanAA4+tanAA6）/

（1-28*tanAA2+70*tanAA4-28*tanAA6+tanAA8）

九倍角

sin9A=（sinA*（-3+4*sinAA2）*（64*sinAA6-96*sinAA4+36*sinAA2-3））

cos9A=（cosA*（-3+4*cosAA2）*（64*cosAA6-96*cosAA4+36*cosAA2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanAA2+126*tanAA4-36*tanAA6+tanAA8）/

（1-36*tanAA2+126*tanAA4-84*tanAA6+9*tanAA8）

十倍角

sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）

*（-20*sinA^2+5+16*sinAM））

cos10A=（（-1+2*cosAA2）*（256*cosAA8-512*cosAA6+304*cosAA4-48*cosAA2+1））

tan10A=-2*tanA*（5-60*tanAA2+126*tanAA4-60*tanAA6+5*tanAA8）

/（-1+45*tanAA2-210*tanAA4+210*tanAA6-45*tanAA8+tanAAIO）

N倍角

根据棣莫弗定理，（cos0+isin）Pn=cos（n0）+isin（n）B

为方便描述，令sin0=scos0=c

考虑n为正整数的情形：

cos（n0）+isin（n）0=（c+is）An=C（n,0）*cAn+C（n,2）*cA（n-2）*（is）A2+C（n,4）*cA（n-

4）*（is）A4+...…+C（r*dA（n-1）*（is）A1+C（n,3）P（n-3）*（is"

+C（n,5）5n-5）

*（is）A5+...…比较两边的实部与虚部

实部：

cos（n0）=C（n,0）*cAn+C（n,2）*cA（n-2）*（is）A2+C（n,4）*cA（n-4）*（is）A4+...

虚部：

i*sin（n0=C（n,1）P（n-1）*（is）A1+C（n,3）5n-3）*（is）A3+C（n,5）5n-5）

*（is）A5+...…

对所有的自然数n:

1.cos（n0）:

公式中出现的s都是偶次方，而sA2=1-cA2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也

就是cos0）表示。

2.sin（n0:

⑴当n是奇数时：

公式中出现的c都是偶次方，而cA2=1-sA2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sin0）表示。

⑵当n是偶数时：

公式中出现的c都是奇次方，而cA2=1-sA2（平方关系），因此即使

再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cos0）的一次方无法消掉。

例.cA3=c*cA2=c*（1-sA2）,cA5=c*（cA2）A2=c*（1岭人2）人2）

特殊公式

（sina+sin0）*（sina-sin0=sin（a+0）*sin（a-0）

证明：

（sina+sin0）*（sina-sin0=2sin[（0+a）/2]cos[（a-0）/2]*2cos[（0+a）/2]sin[（a-0）/2]

=sin（a+0）*sin（a-0）

坡度公式

我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度I的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

即i=h/I,坡度的一般形式写成I:

m形式，如i=1:

5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a（叫做坡角），那么i=h/l=tana.

半角公式万能公式6辅助角公式

注：

该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式等

asina+bcosa=V（aA2+bA2）sin（，其中）tan$=b/a

asinA+bcosB=根号下a方+b方x（根号下a方+b方分之aXsinA+根号下a方+b方分之bXcosB）令根号下a方+b方分之a=cosC则根号下a方+b方分之b=sinCasinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC）=根号下a方+b方xsin（A+C）

.反三角函数:

arctanxarccotx

名称

反正弦函数

反余弦函

反正切函数

反余切

反正割函数

反余割函数

数

函数

定义

y=sinx（x€

r兀兀

I一一L〕

22

的反函数，叫做反正弦函数，记作

x=arsiny

y=cosx（x

€〔o,n）的反函数，叫做反余弦函数，记作

x=arccos

y=tanx（x€（

jiji

—,—）的

反函数，叫做反正切函数，记作

x=arctany

y=cotx（x€（0,n的反函数，叫做反余切函数，记作

x=arccoty

y=secx,x€[0,n/2）

U（n/2,n]的反函数为反正割函数

理解

arcsinx表示属于

jiji［一一，一】

且正弦值等于x的角

arccosx

表示属于

［0,n］,

且余弦值等于x的角

arctanx表示属

于（-_—），且

正切值等于x

的角

arccotx表示属于

（0,n）且余切值等于x的角

性质

定义域

[-1,门

[-1,1]

（-oo,+m）

（-o,

+o）

（-o,-1]U[1,+o）

{x|xw-1或x>

1}

值域

JlK

[,——]

[0,n]

nn

（—,一）

（0,n）

[0,n/2）U（n/2,n]

{y|-n/2wy<

0或

0<

ywn

/2}

单调性

在〔-1,1〕上是增函数

在［-1,1］

上是减函

在（-o,+o）上是增数

在（-o,+o上是减函数

单调递增区

间:

-1］、［1,+o）

单调递减区

奇偶性

arcsin（_x）=_arcsinx

arccos（-x）

=n-arccos

x

arctan（-x）=-arctanx

arccot（-x）=narccotx

周期性

都不是同期函数

恒等式

sin（arcsinx）=x（x€[-1,

1]）arcsin（sinx）=x（x€jiji

[-—,—]）

cos（arccosx）=x（x€

[-1,1]）arccos（cosx）=x（x€

[o,n）

tan（arctanx）=x（x€R）arctan（tanx

JI31

）=x（x€（-—,—））

cot（arccotx）=x（x€R）arccot（cotx）=x（x€（0,n

互余恒等式

arcsinx+arccosx=—（x€

[-1,1:

arctanx+arccotx=—（X€R）

反三角函数之间的关系

补角:

7T.

arccosx=——arcsinrr乙

7T

arccotx=——arctanx乙

arccscx=——arcsccx

乙

负数参数:

arcsin（—t）=—arcsinx

arccos（—x）=7r—arccosrrarctan（—x）=—arctantarccot（—t）=7r—arccotrr

ec（—t）=

arccsc（—rr）=—arccscrr

arcs

7T—arcsecx

倒数参数:

arccos—=

.1

a.rcsm—=

a.rctaui—=

1arctan一=

arccot—=

arccot—=

arcsecx

arccscj;

TT

——arctaiiT=arccot果a：

>

0

--—arctanx=—7r+arccotar,如果<

壬—arccotrr—arctanx,如果x>

—arccotx=亓+arctanrr,女口果rr<

arcsec—=

arccsc—=

arccosT

arcsinx