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陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了,几何直观的描述形象直观。
第三讲《数学分析》课程中最重要的两个常数
法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美,而是缺少发现美的眼睛”。
我想说:
“数学中并不缺少美,缺少的是揭示数学美的老师”。
陈教授是一个出色的老师,他不仅发现了数学的美,而且为我们展示了数学的美。
著名的欧拉公式:
e?
i?
1?
0,实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一,获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数(0,1,i,e,?
)之间的绝妙的有趣的联系,被认为是数学奇异美的典例。
在本讲中,陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲,让我们体会了数学中的美,这个不等式还有许多有意思的地方,无论是不等式的形式,还是他的证明,都非常深刻地体现了数学的美。
pi是无理数的证明,吸引了与会学员的眼球,赞叹之余,有学员问这一证法的出处,我也还真想知道,请陈教授不吝指教。
本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式,并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和,对我而言是耳目一新的。
在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出的方法,而p为奇数的情形好像至今尚未解决。
对p=2的情形,欧拉至少用两种方法得到结果,其中一种方法妙用了l’hospital法则(《数学译林》09.3)。
第四讲级数与反常积分收敛的a.d判别法
恰逢这个学期讲《数学分析》(3),在讲授含参变量反常积分时,先复习了反常积分,再复习了函数项级数,并将几个判别法列表比较,尤其是a.d判别法,能与陈教授不谋而合,真是倍感荣幸。
陈教授对abel引理的直观刻画,也是深得学员好评。
我对陈教授从abel引理分析?
anbn收敛条件的分析而得到dilichlet判别法和abel判别法的相关条件深感佩服,尤其是分析得丝丝入扣。
第五讲函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛
一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。
陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的,学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“?
x”的位置不相同,而不明其所以时,这样的教学肯定是失败的。
陈教授例子选择精当,语言使用精辟,问题分析精准。
请注意陈教授的这句话:
“毛病出在点态收敛的情况下,在某些点附近,n无法控制”(类似的话在第九讲中说过)。
第六讲weierstrass函数:
处处连续处处不可导的函数
陈教授分析了为何在weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。
原来在此之前,数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。
weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数:
?
ansin(bnx)0a1b,ab1
陈教授选用1930年vanderwaerden给出的例子进行了剖析。
所讲自是精当,本人很是受益。
第七讲条件极值问题与lagrange乘数法
本讲陈教授从一个几何问题入手,得到一个条件极值问题。
考虑了条件极值的必要条件,引入lagrange乘数法,化条件极值问题为无极条件极值问题。
这部分内容中,本人认为几何解释最有启发性。
对于具体使用lagrange乘数法的例子中,如何解方程组,陈教授给了很好的建议。
第二个例子,即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。
这个例子我很喜欢,只可惜不能用来做期末考题(不要问我为什么!
)。
第八讲重积分的变量代换
本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手,对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想(在教学中注重渗透数学思想方法,如此妙哉!
)再作分析,然后得出代换公式。
为证明代换公式,陈教授引入本原映射,化“矩形”为“梯形”,化变换t为两个本原变换的复合,实现了化复杂为简单,化困难为容易。
第九讲《数学分析》课程中的否定命题
《数学分析》教学中,说说“反话”很重要!
(请不要误解!
)
两个命题a与b如果既不能同时成立,也不能同时不成立,就称a与b互为否定命题。
若a与b互为否定命题,则a与b一定满足:
一个成立,另一个必然不成立;
一个不成立,另一个必定成立。
(废话!
有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、(注意前边两对的区别!
)、可导与不可导、cauchy收敛准则及其否定命题,等等。
这些“反话”不说,大量的题做不了。
我在讲《数学分析》
(1)时会有一讲(几个概念的否定叙述)就是来讲否定命题的。
陈教授在这部分的例子非常好,分析得也清楚!
陈教授的九讲,给了我们太多的启示:
一、在我们的教学中,不仅要教其所以然,而且要教其所以然。
陈教授的这九讲,应该是我们讲授
《数学分析》的经典案例,当然,我们不一定是讲这一些内容!
正确的思想从哪里来,是从天上掉下来的吗?
不是!
二、在我们的教学,不仅要传授知识,而且要传授思想方法,也就是教学中要注
重思想方法的渗透。
三、在我们的教学中,不仅要传授知识,而且要培养学生的数学素养,让他们了解数学的过去、现
在,以便开创数学的将来。
四、在我们的教学中,或许会遇的许多困难:
教学时数少,教学对象差等等,但我们应从我们自身
积极的寻找对策。
陈教授就是这样的。
以上所述,仅凭个人听课记录,又仅凭个人理解。
若是有误,请陈教授见谅并斧正。
最后,向陈纪修教授致以崇高的敬意!
滇源后学:
周兴伟
【篇二:
2015年上海财经大学,数学分析高等代数,真题回忆版】
很多送分数的题目,所以卷面看起来简单,但是送分的题目有限,剩下的大部分是要么会做要么完全不会做的东西,所以显得难度挺大的。
至少高等代数今年突然上升,变得比华东师范的题目还都要难一点。
而数学分析难度实际上是略微下降了。
《高等代数部分》
太多太多都忘掉了,想了好久好久还是只能说个大概了,实在没办法考完都4个月了。
我先都不是按照顺序的,因为记不得顺序。
题量很大。
最后想想考过的题目其实明年绝对不会再考到,考的知识点也不一定还会见到,所以还是把考到的一些知识点列出来吧,很多都很偏僻。
1.求秩为1的矩阵的复jordan标准型
2.如果矩阵a可以对角化,那么a相似于a?
3.两个矩阵在实数域上相似等价于在复数域上相似
4.幂等矩阵的秩等于迹
5.矩阵ab与矩阵ba有相同的非零特征值,并且其重数相同
6.倒数第二题是一个很难的题目,类似于丘维声《高等代数学习指导书(上)》394页例11,当然了比这个例题要难很多,但是差不多就是这种类型,可以注意一下(题目真的记不住了,而且这题目我以前也没见过原题,没法查找)
7.考了一个最大公因式的题目,最大公因式的知识点自己准备一下就好,没什么好说的,要求举一个反例也是很简单的例子。
8.丘维声《高等代数学习指导书(上)》416例11原题
9.线性方程组考了一个20分的大题目,而且很难,非齐次的方程组,系数还含有待定的a,b,c,告诉我们一些秩的条件,然后叫我们求出abc,并且证明秩的一些结论。
建议在方程组(非齐次线性方程组很容易被忽略)上花点时间,真的这题目猝不及防,确实极难,我做完整个卷子才回来做了这题。
10.最后一题是一个其貌不扬的题目,看起来很easy其实是灰常灰常不简单的。
原题见丘维声《高等代数学习指导书(下)》262页例11
15年的高代比14年难了太多,几乎没有完全白送的题目。
顺便提一下,14年唯一一个难题是要考生证明极分解定理,其它都是很平庸的,但也说明,复习高代如果只是用北大第三版可能也是可以的,但是要考得很稳妥的话,是不够的,还是需要再看一点补充的内容的。
《数学分析》部分
1.一些关于数列和连续函数简单的概念和反例考察:
当x?
0?
1,?
其中略有一点点难度的是问f(x)?
?
0,当x?
0在区间?
0,1?
上是否为某个可积函数
1,当x?
的原函数?
答案当然是没有,因为黎曼可积函数的原函数必为连续函数,而f(x)是不连续的。
另一个概念考察的是问:
a1?
a2?
an?
0是否能推出an?
0?
答案当然是肯定n
的,这是一个简单的数分课后题,华东师范书上一个课后题。
那么又问:
1a?
a?
anan?
0是否能推12?
答案是否定的,反例即调和数列{}nn
还有一个概念题,是问一个数列{an}无界,是否可以推出答案当然还是an是无穷大量?
否定的,反例如下:
1,当n为偶数
n,当n为奇数,此时{an}无界,但是an并不是无穷大量。
最后一个举反例的我记不得了,也很简单,和一致收敛有关的,不提也成。
2.(数列极限的计算)只记得一个了,是问n!
这题目是华师书上的一个课后题,没做n
过的人就不会,做过的人就会了,一般复习数分肯定会复习到的。
3.(含参量积分和函数列的一致收敛性)今年就考了四个计算题,基本上就是比课后题稍微难一点的难度吧,技巧比较少,主要考的是对积分和极限可交换的理解,还有一致收敛性的判断,这些其实题目换来换去也没什么好说的,关键多做题目吧。
不过有一题考察了一致收敛的dini判别法,这是在复旦陈纪修的书上有的定理,还有一个题目函数表达式挺复杂的,我一时也看不出端倪,就直接用了lebesgue控制收敛定理,两下就做掉了,这也提醒你这些题目用数分的方法太麻烦的时候,可以用实变函数论直接灭掉。
顺便提一下,14年的一个含参量反常积分可以用复变函数论的留数定理解决,十分方便,如果用数学分析做就很头痛很难受了。
4.(曲线积分和曲面积分)就是计算咯,算第二型曲面曲面积分的时候gauss散度定理用到了一下。
计算反正好好做题目好好复习就可以了,类型很多,有些方法也很麻烦,不过上海财经的题目总归是不会太难的咯。
5.(一个大难题)进入正题了!
倒数第二题,22分,分了四个小问题很肉疼,前面几个小问题很有技巧,但是没什么好提的,最后问了一个函数项级数求和问题,值得注意哦!
其实我整个数分复习阶段都没有做到过这种题目,考试的时候大概给逼急了突然灵光一闪想出来了,做完了才意识到这其实是华东师范数学分析下册的一个课后题:
下册60页习题2.
6.最后一题是白送分数的啦,就是叫你把一个分段函数分别傅立叶展开,幂级数展开,然后
求一下和函数。
都只是很机械的计算,当然了,计算是很烦很烦很烦的,基本概念和定理搞明白,计算别出错即可。
7.今年挺奇怪的,微分中值定理和泰勒公式的题目其实是没有直接考察的,微分学的内容是非常基础的,往年的题目看微分中值定理都是整个卷子的小高潮。
这说明其实每年变化都很大,扎实复习好每一块儿内容才是关键嗷
【篇三:
《数学分析》教学大纲】
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《数学分析》教学大纲
218.003.1数学分析(i)学分数5周学时4+2总学时96
(讲课64,习题课32)218.003.2数学分析(ii)学分数5周学时4+2总学时96
(讲课64,习题32)218.003.3数学分析(iii)学分数4周学时3+2总学时80
(讲课48,习题32)
课程性质与基本要求
课程性质:
数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学类本科一、二年级学生的必修课。
本课程总学时为272学时,其中讲课为176学时,习题课为96学时,共分三学期完成,分别为数学分析(i),数学分析(ii),数学分析(iii)。
基本要求:
通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的基本理论知识;
培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;
具备熟练的运算能力与技巧;
提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
教学方式与指导思想
教学方式:
以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。
指导思想:
微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容。
数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法,提高学生的数学修养。
教学内容,教学要求与学时分配
学时(含习题课)数学分析(i)
第一章集合与映射8
1.集合
2.映射与函数
本章教学要求:
理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示法,函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章数列极限16
1.实数系的连续性
2.数列极限
3.无穷大量
4.收敛准则
掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收敛准则,理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数16
1.函数极限
2.连续函数
3.无穷小量与无穷大量的阶
4.闭区间上的连续函数
掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分15
1.微分和导数
2.导数的意义和性质
3.导数四则运算和反函数求导法则
4.复合函数求导法则及其应用
5.高阶导数和高阶微分
理解微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念、性质及相互关系,熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用21
1.微分中值定理
2.l'hospital法则
3.插值多项式和taylor公式
4.函数的taylor公式及其应用
5.应用举例
6.函数方程的近似求解
掌握微分中值定理与函数的taylor公式,并能应用于函数性质的研究,熟练运用l'hospital法则计算极限,熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分9
1.不定积分的概念和运算法则
2.换元积分法和分部积分法
3.有理函数的不定积分及其应用
掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章定积分(1—3)11
1.定积分的概念和可积条件
2.定积分的基本性质
3.微积分基本定理
期末考试
数学分析(ii)
第七章定积分(4—6)15
4.定积分在几何中的应用
5.微积分实际应用举例
6.定积分的数值计算
理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:
牛顿—莱布尼兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物理与实际应用中的问题,初步掌握定积分的数值计算。
第八章反常积分9
1.反常积分的概念和计算
2.反常积分的收敛判别法
掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛
判别法与反常积分的计算。
第九章数项级数21
1.数项级数的收敛性
2.上级限与下极限
3.正项级数
4.任意项级数
5.无穷乘积
掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极限的概念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章函数项级数21
1.函数项级数的一致收敛性
2.一致收敛级数的判别与性质
3.幂级数
4.函数的幂级数展开
5.用多项式逼近连续函数
掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练展开函数为幂级数,了解函数的幂级数展开的重要应用。
第十一章euclid空间上的极限和连续9
1.euclid空间上的基本定理
2.多元连续函数
3.连续函数的性质
了解euclid空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章多元函数的微分学(1—5)21
1.偏导数与全微分
2.多元复合函数的求导法则
3.taylor公式
4.隐函数
5.偏导数在几何中的应用
数学分析(iii)
第十二章多元函数的微分学(6—7)7
6.无条件极值
7.条件极值问题与lagrange乘数法
掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法,掌握偏导数在几何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。
第十三章重积分19
1.有界闭区域上的重积分
2.重积分的性质与计算
3.重积分的变量代换
4.反常重积分
5.微分形式
理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算方法,会熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。
第十四章曲线积分与曲面积分28
1.第一类曲线积分与第一类曲面积分
2.第二类曲线积分与第二类曲面积分
3.green公式,gauss公式和stokes公式
4.微分形式的外微分
5.场论初步
掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法,掌握green公式,gauss公式和stokes公式的意义与应用,理解外微分的引入在给出green公式,gauss公式和stokes公式统一形式上的意义,对场论知识有一个初步的了解。
第十五章含参变量积分12
1.含参变量的常义积分
2.含参变量的反常积分
掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量反常积分一致收敛的概念、一致收敛的判别法、一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用,掌握euler积分的计算与应用。
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