101三角形的三边关系讲义学生版Word文档下载推荐.docx

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与三角形相关的边

⑴三角形中的三种重要线段

1三角形的角平分线：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做

三角形的角平分线.

注：

每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部.

2三角形的中线：

在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.

每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部.

3三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.

每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心.

锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；

钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，

直角三角形有两条高分别与两条直角边重合.反之也成立.

画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高.

⑵三角形三条边的关系

1三角形三边关系：

三角形任何两边的和大于第三边.

2三角形三边关系定理的推论：

三角形任何两边之差小于第三边.即a、b、c三条线段可组成三角形

=b-c|a.b•c：

=两条较小的线段之和大于最大的线段.

注意：

在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：

当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形.

【例1】下列线能否组成三角形.

222222

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.a1,a2,a3（a=0）

【例3】

已知三角形两边长为2cm和7cm，求它的周长的取值范围.

【例5】已知三角形中两边长为2和7,

（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为

（2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为

【例6】

（1）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角

形，则x的取值范围是.

（2）已知三角形三边长分别为2,x_1,3，则x的取值范围是•

（3）—个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997,则三角形的第三边是

【巩固】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

A•7B•9C•12D•9或12

【巩固】已知三角形的两边为8、10,求第三边的范围，求周长的范围.

【例7】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例.已知MBC的三边分别为x,y,z•

（1）以x,寸,z为三边的三角形一定存在.

111

（2）以—（X-y）,—（y-z）,—（z-x）为三边的三角形一定存在.

222

【巩固】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例.已知MBC的三边分别为x,y,z•⑴以1、1、1为三边的三角形一定存在.

xyz

⑵以x_y|-1、y_z1、z_x1为三边的三角形一定存在.

【例8】如图，四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=9,AD=a，则a的取值范围_

A

C

【例9】不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k的取值范围是•

【巩固】在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是（）

A•3：

：

k：

1B•-:

:

k:

1C.1：

k：

2D•-:

1

432

【巩固】不等边三角形ABC的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.

【例10】a、b、c为三角形的三边长，化简a_b_c|_c_a|_a_b，若此三角形周长为11,求上面

式子的值.

【巩固】a、b、c为三角形的三边长，

化简ab-c_a-b-c-a-bc-ab-c

【例11】已知在ABC中，AB=8,BC=14，求BC边上的中线AD的取值范围.

【例12】下列长度的线段能否组成三角形：

a23、a24、a27（^--0）；

【例13】下列长度的线段能否组成三角形：

3a、4a、2a1（a丄）；

5

【巩固】下列线段能组成三角形的是（）

A.a1,a2,a3B.

a

a,

a1

2.“

1

2

C.a,a,a1D.

2a

3a

【巩固】下列长度的线段能否组成三角形：

2a

3、

22

a4、a7（a=0）；

【巩固】下列长度的线段能否组成三角形：

3a、4a、5a（a0）;

【巩固】长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形?

【例14】已知三角形的三边长a、b、c都是整数，且a：

b：

c，如果b=7，求满足题意的三角形的个数.

【巩固】已知三角形三边的长a、b、c都是整数，且a<

b：

c，若b=7,则有个满足题意的三角形.

【巩固】已知三角形三边的长a、b、c都是整数，若a<

b<

c，若b=：

7，则有个满足题意的三角形.

『X*2

【例15】周长为整数的三角形三边长分别为3、4、X，且x满足不等式一'

，这样的三角形有个.

|3x£

27

【例16】周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

【巩固】

20,各边长为正整数的所有不同的三角

将三边长为a,b,c的三角形记作a,b,c.写出周长为形.

【例17】一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且ab^16，则这个三角形是

（）

A•直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D•直角三角形或等腰三角形

【例18】设m、n、p均为自然数，足m_n_p,m・n・p=15，试问以m、n、p为边长的三角形有多少个？

【例19】若三角形的周长为60,求最大边的范围.

【巩固】已知ABC的周长是12，求最大的边的范围.

【例20】设iABC的三边a、b、c的长度均为自然数，且a_b_c,ab^13，则以a、b、c为三边的三角形共有个.

【巩固】设m、n、p均为自然数，且m乞p,m•n•p=11，试问以m、n、p为边长的三角形有多少个？

【巩固】若三角形三边长a、b、c是三个连续的自然数，三角形的周长小于19，这样三角形有个.

【例21】用7根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为

【巩固】现有长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为

【例22】在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？

通过尝试，列表如下所示：

火柴数

3

6

示意图

2八2

/2\

形状

等边三角形

等腰三角形

14根火柴能搭成三角形吗？

28根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?

【例23】将长度为2n（n为自然数且n>

4）的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记（a,b,c）为三边的长

分别为a,b,c且满足awb<

c的一个三角形.

（1）就n=4、5、6的情况，分别写出所有满足题意的（a,b,c）;

（2）有人根据⑴中的结论，便猜想：

当铅丝的长度为2n（n为自然数且n>

4）时，对应的（a,b,c）的个数一定是n-3•事实上，这是一个不正确的猜想；

请写出n=12时的所有（a,b,c），并回答（a,b,c）的个数；

（3）试将n=12时所有满足题意的（a,b,c），按照至少两种不同的标准进行分类.

【例24】如图，P是ABC内任意一点，求证:

（1）PBPC:

ABAC;

（2）PA

【巩固】已知，如图，P,Q为三角形ABC内两点，B,P,Q,C构成凸四边形，求证：

AC.BPPQQC.

【巩固】如图，在ABC中取一点P，使CP=CB，求证：

ABAP.

【例25】如图，PABC内一点，试说明PAPBPC-（AB-BCAC）.2

【巩固】如图所示，在「ABC中，AD_BC,D在BC上，.ABC…ACB,P是AD上的任意一点，求证

ACBP:

ABPC.

【例26】点Ci、A、B分别在.'

ABC的边AB、BC和CA上，且满足AG:

GB二BA：

AC=CBi：

BiA=1:

3,

求证：

UABC的周长p与UABiG的周长P'

之间有不等式-P：

P'

•

1.

下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

2.

5,若此三角形周长为奇数，则第三边长的

已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为

最小值为（）.

A.8B.7C.6D.4

3.两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的

长是acm，贝Ha的取值范围是.

4.一个三角形三边长分别为8,10,x，则x的取值范围是.

5.一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为

（）

A.1个B.3个C.5个D.7个

6.有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形，则

x的取值范围是—

7.已知有长为1,2,3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三

角形个数是.

8.将长为15dm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种.