拔高教育K12课标通用高考数学一轮复习第七章不等式73基本均值不等式及应用学案理Word文档下载推荐.docx

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忽视等号成立的条件．

（1）函数y＝x＋在区间（0，＋∞）上的最小值是________，在区间（－∞，0）上的最大值是________．

2　－2

解析：

当x>

0时，y＝x＋≥2＝2，

当且仅当x＝，即x＝1时取等号，

故y的最小值为2.

当x<

0时，－x>

0，

y＝x＋＝－

≤－2＝－2，

当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号，

故y的最大值为－2.

（2）函数y＝sinx＋，x∈的最小值为________．

5

y＝sinx＋≥2＝4，当sinx＝时，sinx＝±

2，显然取不到等号．

事实上，设t＝sinx，x∈，则t∈（0,1]，易知y＝t＋在（0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.

2．应用基本不等式的技巧：

凑；

拆．

（1）已知0<

x<

1，则x（3－3x）取得最大值时，x的值为________．

由x（3－3x）＝×

3x（3－3x）≤×

＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时，等号成立．

（2）若x>

1，则x＋的最小值为________．

x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，

当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立.

利用基本不等式确定最值的两种常见类型：

代换变形；

变量是负数．

（1）已知a>

0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．

∵a＋b＝2，∴＝1，

∴＋＝＝＋≥＋2＝.

故y＝＋的最小值为.

（2）已知0<

1，则y＝lgx＋的最大值是________．

－4

∵0<

1，∴lgx<

0，－lgx>

∴－y＝－lgx＋

≥2＝4，

当且仅当－lgx＝，即x＝时，等号成立，故ymax＝－4.

[考情聚焦]　利用基本（均值）不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．

主要有以下几个命题角度：

角度一

通过配凑法利用基本（均值）不等式求最值

[典题1]　

（1）已知0<

1，则x（3－3x）取得最大值时x的值为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　因为0<

1，

所以x（3－3x）＝3x（1－x）≤32＝.

当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．

（2）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值．

[解]　因为x＜，所以5－4x＞0，

则f（x）＝4x－2＋

＝－＋3

≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．

故f（x）＝4x－2＋的最大值为1.

（3）已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值．

[解]　因为x＞0，

所以x＝

≤.

又x2＋＝＋＝，

所以x≤＝，

即（x）max＝.

（4）求函数y＝的最大值．

[解]　令t＝≥0，则x＝t2＋1，

所以y＝＝.

当t＝0，即x＝1时，y＝0；

当t＞0，即x＞1时，y＝，

因为t＋≥2＝4，当且仅当t＝2时等号成立，所以y＝≤，

即y的最大值为（当t＝2，即x＝5时y取得最大值）．

[点石成金]　1.利用基本（均值）不等式解题一定要注意应用的前提：

“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本（均值）不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

2．在利用基本（均值）不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本（均值）不等式．

角度二

通过常数代换法利用基本（均值）不等式求最值

[典题2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

[答案]　4

[解析]　∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

∴＋＝＋＝2＋＋

≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

[题点发散1]　本例的条件不变，则的最小值为________．

9

＝·

＝

＝5＋2≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝时等号成立．

[题点发散2]　本例的条件和结论互换，即：

已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________．

1

由＋＝4，得＋＝1.

∴a＋b＝（a＋b）＝＋＋

≥＋2＝1.

[题点发散3]　若将本例中的“a＋b＝1”换为“a＋2b＝3”，如何求解？

解：

∵a＋2b＝3，∴a＋b＝1，

∴＋＝

＝＋＋＋

≥1＋2＝1＋.

当且仅当a＝b＝3－3时等号成立．

故＋的最小值为1＋.

[题点发散4]　若将本例变为：

设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________．

3

∵a－2b＋3c＝0，∴b＝，

∴＝≥＝3，

当且仅当a＝3c时等号成立．

[题点发散5]　若将本例变为：

已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．

设公比为q（q＞0），

由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0（q＞0）⇒q＝2.

＝2a1⇒a12m－1·

a12n－1＝8a

⇒2m－1·

2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，

则＋＝（m＋n）

＝≥×

（5＋2）＝，

当且仅当n＝2m＝时等号成立．

[点石成金]　将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．

角度三

通过消元法利用基本（均值）不等式求最值

[典题3]　[2017·

江西南昌模拟]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

[答案]　6

[解析]　由已知，得x＝.

解法一：

∵x＞0，y＞0，∴0＜y＜3，

∴x＋3y＝＋3y＝＋3（y＋1）－6

≥2－6＝6，

当且仅当＝3（y＋1），即y＝1，x＝3时，等号成立，故（x＋3y）min＝6.

解法二：

∵x＞0，y＞0，

9－（x＋3y）＝xy＝x·

（3y）

≤·

2，

当且仅当x＝3y时等号成立．

设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，

∴（t－6）（t＋18）≥0，

又∵t＞0，∴t≥6.

故当x＝3，y＝1时，（x＋3y）min＝6.

[点石成金]　消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本（均值）不等式求解．

考点2　基本（均值）不等式与函数的综合问题

[典题4]　

（1）已知f（x）＝32x－（k＋1）3x＋2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）

B．（－∞，2－1）

C．（－1,2－1）

D．（－2－1,2－1）

[解析]　由32x－（k＋1）3x＋2>

0恒成立，得k＋1<

3x＋.

∵3x＋≥2，∴k＋1<

2，即k<

2－1.

（2）已知函数f（x）＝（a∈R），若对于任意x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　由f（x）≥3恒成立，得

≥3，

又x∈N*，∴x2＋ax＋11≥3（x＋1），

∴a－3≥－.

令F（x）＝－，x∈N*，

则F（x）max＝F（3）＝－，

即a－3≥－，∴a≥－.

[点石成金]　1.a>

f（x）恒成立⇔a>

f（x）max，a<

f（x）恒成立⇔a<

f（x）min.

2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本（均值）不等式的问题可考虑利用函数的单调性.

已知函数f（x）＝x＋（p为常数，且p>

0），若f（x）在（1，＋∞）上的最小值为4，则实数p＝（　　）

A．2B.

C．4D.

B

由题意，得x－1>

f（x）＝x－1＋＋1≥2＋1，

当且仅当x＝＋1时等号成立．

因为f（x）在（1，＋∞）上的最小值为4，

所以2＋1＝4,解得p＝.

考点3　基本（均值）不等式的实际应用

（1）[教材习题改编]现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面

的较短边长是（　　）

A．1mB．1.5m

C．0.75mD．0.5m

A

（2）[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为________m.

4＋2

设两直角边分别为am，bm，框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，

∴l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为（4＋2）m.

（3）[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．

1760

池底一边长为x米，则另一底边为米，则总造价y＝4×

120＋4×

80≥1760，当且仅当x＝2时取得最小值．

[典题5]　某项研究表明：

在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：

辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒）、平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式为F＝.

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；

（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比

（1）中的最大车流量增加________辆/时．

[答案]　

（1）1900　

（2）100　

[解析]　

（1）当l＝6.05时，

F＝，

∴F＝＝

≤＝1900，

当且仅当v＝，即v＝11时等号成立．

∴最大车流量F为1900辆/时．

（2）当l＝5时，

F＝＝，

∴F≤＝2000，

当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．

∴最大车流量比

（1）中的最大车流量增加2000－1900＝100（辆/时）．

[点石成金]　解实际应用题的三个注意点

（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.

某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　）

A．60件B．80件

C．100件D．120件

若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时等号成立.

[方法技巧]　1.基本（均值）不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本（均值）不等式的切入点．

2．对使用基本（均值）不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋（m>

0）的单调性．

[易错防范]　1.使用基本（均值）不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．连续使用基本（均值）不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

真题演练集训

1．[2016·

江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．

8

由sinA＝sin（B＋C）＝2sinBsinC，得

sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，

两边同时除以cosBcosC，得

tanB＋tanC＝2tanBtanC，

令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，

因为△ABC是锐角三角形，

所以2tanBtanC>

则tanBtanC>

1，m>

2.

又在三角形中有

tanAtanBtanC＝－tan（B＋C）tanBtanC

＝－·

m＝＝m－2＋＋4

≥2＋4＝8，

当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，

故tanAtanBtanC的最小值为8.

2．[2014·

福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：

元）．

160

设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×

4＋10＝80＋20≥80＋20×

2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，

所以该容器的最低总造价为160元．

3．[2013·

天津卷]设a＋b＝2，b>

0，则当a＝________时，＋取得最小值．

－2

∵a＋b＝2，

∴＋＝＋

＝＋＝＋＋

≥＋2＝＋1.

当且仅当＝且a<

即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．

课外拓展阅读

基本（均值）不等式在压轴题中的应用

关于基本（均值）不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．

1．与数列搭配

基本不等式在数列解答题中多出现在第

（2）问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．

[典例1]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：

2Tn－9bn－1＋18>

（n>

1）．

[思路分析]　

（1）根据等差数列和等比数列的性质易求；

（2）中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．

（1）[解]　因为a1，a2，a7成等比数列，

所以a＝a1a7，即（a1＋d）2＝a1（a1＋6d）．

又a1＝1，d≠0，所以d＝4.

所以Sn＝na1＋d＝n＋2n（n－1）＝2n2－n.

（2）[证明]　因为bn＝＝＝2n，

所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．

所以Tn＝＝n2＋n.

所以2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18（n－1）＋18

＝2n2－16n＋36＝2（n2－8n＋16）＋4

＝2（n－4）2＋4≥4，当且仅当n＝4时等号成立．①

＝＝≤

＝4，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．②

又①②中等号不可能同时取到，

所以2Tn－9bn－1＋18>

温馨提示

本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．

2．与函数、导数共现

在函数的解答题中出现的基本（均值）不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．

[典例2]　已知h（x）＝ln（x＋1）－.

（1）当a>

0时，若对任意的x≥0，恒有h（x）≥0，求实数a的取值范围；

（2）设x∈N且x>

2，试证明：

lnx≥＋＋＋…＋.

（1）[解]　h（x）＝ln（x＋1）－，

则h（x）的定义域为（－1，＋∞），

h′（x）＝－＝.

①当0<

a≤1时，对任意的x≥0，h′（x）≥0恒成立，

则h（x）在[0，＋∞）上单调递增，

h（x）≥h（0）＝0，所以满足题意．

②当a>

1时，h（x）在x∈（0，a－1]上单调递减，h（x）在x∈[a－1，＋∞）上单调递增．

若对任意的x≥0，恒有h（x）≥0，

则h（x）的最小值h（a－1）＝lna＋1－a≥0恒成立．

令m（a）＝lna＋1－a（a>

1），

则m′（a）＝，m′（a）<

m（a）在a∈（1，＋∞）上单调递减，

所以当a∈（1，＋∞）时，有m（a）<

m

（1）＝0，

与h（a－1）＝lna＋1－a≥0恒成立矛盾．

所以实数a的取值范围为（0,1]．

（2）[证明]　由

（1）知，ln（1＋x）≥，

所以lnx＝ln

＝ln2＋ln＋ln＋…＋ln

＝ln（1＋1）＋ln＋ln＋…＋ln

≥＋＋…＋

＝＋＋＋…＋.

所以lnx≥＋＋＋…＋.