七年级数学奥林匹克数学思维能力训练检测卷第04讲 一元一次方程Word格式.docx
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(2)若a=0,且b=0,方程变为0·
x=0,则方程有无数多个解;
(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·
x=b,则方程无解.
例1解方程
例2已知下面两个方程3(x+2)=5x,①4x-3(a-x)=6x-7(a-x)②有相同的解,试求a的值.
例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.
例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.
例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2.
例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值.
例7已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.
例8k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?
例9若abc=1,解方程
例10若a,b,c是正数,解方程
例12已知关于x的方程
练习四
1.解下列方程:
(1)
(2)
(3)
2.解下列关于x的方程:
(1)a2(x-2)-3a=x+1;
4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:
(1)正数解;
(2)负数解;
(3)不大于1的解.
第四讲一元一次方程参考答案
方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.
用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.
如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.
只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).
解一元一次方程的一般步骤:
一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:
例1解方程
解法1从里到外逐级去括号.去小括号得
去中括号得
去大括号得
例2已知下面两个方程3(x+2)=5x,①4x-3(a-x)=6x-7(a-x)②有相同的解,试求a的值.
分析本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.
解由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,应有4×
3-3(a-3)=6×
3-7(a-3),7(a-3)-3(a-3)=18-12,
例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.
解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×
3,-2x=-21,
例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.
分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情况.
解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0,整理得m(m+n)x=n(m+n).
当m+n≠0,且m=0时,方程无解;
当m+n=0时,方程的解为一切实数.
说明含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.
例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2.
分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程.
解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2,即(a2-b2)x=(a-b)2.
(1)当a2-b2≠0时,即a≠±
b时,方程有唯一解
(2)当a2-b2=0时,即a=b或a=-b时,若a-b≠0,即a≠b,即a=-b时,方程无解;
若a-b=0,即a=b,方程有无数多个解.
例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值.
解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以m2-1=0,即m=±
1.
(1)当m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为199(1+4)(4-2×
1)+1=1991;
(2)当m=-1时,原方程无解.所以所求代数式的值为1991.
例7已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.
解将原方程变形为2ax-a=3x-2, 即(2a-3)x=a-2.
由已知该方程无解,所以
来确定:
(1)若b=0时,方程的解是零;
反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.
(2)若ab>0时,则方程的解是正数;
反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立.
(3)若ab<0时,则方程的解是负数;
反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.
解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k.要使方程的解为正数,需要(k2-2k)(k2-5k)>0.看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5).
因为k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方程的解是正数,所以k>5或0<k<2即为所求.
例9若abc=1,解方程
解因为abc=1,所以原方程可变形为
化简整理为
化简整理为
说明像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.
例10若a,b,c是正数,解方程
解法1原方程两边乘以abc,得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.
移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0.
因为a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以x-(a+b+c)=0, 即x=a+b+c为原方程的解.
例11设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:
分析要解此方程,必须先去掉[],由于n是自然数,所以n与(n+1)
…,n[x]都是整数,所以x必是整数.
解根据分析,x必为整数,即x=[x],所以原方程化为
合并同类项得
故有
所以x=n(n+1)为原方程的解.
例12已知关于x的方程
且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.
解由原方程可解得
a最小,所以x应取x=160.
所以
所以满足题设的自然数a的最小值为2.
1.解下列方程:
*
2.解下列关于x的方程:
(1)a2(x-2)-3a=x+1;
4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:
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