完整版线性代数第四章线性方程组试题及答案docWord文档格式.docx
- 文档编号:22116376
- 上传时间:2023-02-02
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:35.94KB
完整版线性代数第四章线性方程组试题及答案docWord文档格式.docx
《完整版线性代数第四章线性方程组试题及答案docWord文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版线性代数第四章线性方程组试题及答案docWord文档格式.docx(34页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
nx=b,矩的秩r(A)r.
当r
n,方程有惟一解;
当rn,方程有无多解.
4.在次性方程A
m×
n
x=0中,若秩(A)=k且
⋯,
r
是它的一个基解
系,r=_____;
当k=______,此方程只有零解。
r
k,当k
n,方程只有零解。
x1
kx2
x3
5.
次性方程
2x1
x2
只有零解,k足的条件是______.
3x3
k
3
10,3
2k
6k
0,
方程只有零解。
5
6.
1,
2,⋯s是非次性方程
Ax=b的解,若C11+C2
2+⋯+Css也是
Ax=b的一个解,C1+C2
+⋯+Cs=______.
因A
b,且A(C1
1+
C
+
⋯
+C
ss
)=b,
所以(C1
Cs)bb,C1
Cs
1.
4
7.
A,
B三方,
其中A
12
B
0,
且已知存在三方
X,
使得AX
B,
k=___________.
A
AB
2,k
8.
A四方,且秩(A)=2,
A*x=0(A*是A的伴随矩)
的基解系所包含的解向量的个数
______.
因矩A的秩r(A)
3,所以r(A*
)0,A*x=0的基
解系所含解向量的个数
4-0=4.
2x3
9.
齐次线性方程组
的系数矩阵记为
A,若存在非零
3阶矩阵
B,使AB
0,求B
AX
有非零解,所以
AB
BTAT
BTx
0存在非零解,所以
BT
B
10.
设矩阵
1,
2,
3,4
,其中
2,3,
4线性无关,
12
3,又
设
4,求Ax
的通解。
1
22
(1,2,
3)线性相关,r
A3
基础解系含有一个向量:
k1,
2,1,0T
1,1,1,1T
11.
1,2,
3都是Ax
的解,其中
1=(1,2,3,4),2
0,1,2,3
r(
)=3。
求通解。
因为r()=3,是四元方程组,所以基础解系含有1个向量,
A23210,k2,3,4,5T1
12.设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组Ax=0,
(1)如A中每行元素之和均为0,且r(A)=n-1,则方程组的通解为____
(2)如果每个n维向量都是方程组的解,则r(A)=____
(3)如r(A)=n-1,且代数余子式A110,则Ax=0的通解是____,
A*x=0的通解是____(A*)*x=0的通解是______
(1)因为r(A)=n-1,所以基础解系中含有1个向量。
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
k1,1,
T
an1
an2
ann
(2)因为基础解系的向量个数为:
rA
n,r
(3)因为
r(A)=n-1,所以基础解系含有
1个向量。
r(A)=n-1
A0,
AA?
AE
0,所以A?
的每一列都是Ax
0的解。
r(A)=n-1
rA?
1,又因为A11
0,所以A?
的第一列是Ax
0的解,
kA11,A12,A13
Ax=0的通解是
A1n
因为r
A?
1,所以基础解系含有
1个向量,AA?
所以要从A的n列中找出n
1列是线性无关的。
a2n,因为A11
0,所以A的后n
1列是线性无关的,
所以A*x=0
的通解是矩阵A的后n
1列。
因为A?
?
AAn2,当n
2时,A?
(A*)*x=0的通解是kA11,A12
A11
A12a21
,
n3时,(A*)*=0,(A*)*x=0的通解含有n个线性无关的向量,
可选n个单位向量。
二.单项选择题
1.要使1=(1,0,1)T,
2=(-2,0,1)T都是线性方程组
Ax
0的解,则系数矩阵A
为(A)
(B)
(C)
(D)
因为1,2的对应分量不成比例
所以1,
2线性无关.所以方程组Ax0
的基础解系所含解向量个数大于
2.
(A)
r(A)3.(B)
r(A)
(C)r(A)
(D)r(A)
设A
是m×
n矩阵,r(A)=r.则方程组AX=
在r=m时有解
在m=n时有唯一解
在r<
n时有无穷多解
在r=n时有唯一解
3.
2
是非齐次方程组
AX
的两个不同的解
为它的导出组
AX=0
的一
=
个基础解系,则它的通解为
k1
k2
2/2
/2
(C)k
2/2(D)k
4.设1,
3是Ax
0的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成
3的一个等价向量组
3的一个等秩向量组
2,2
3,31
5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若1,2,3,4是非齐次线性方程组Axb
的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系
(A)不存在(B)仅含一个非零解向量
(C)含有二个线性无关解向量(D)含有三个线性无关解向量
n,
r(A)
因为
r(A*)1,
r(A)
1,因为
A*
0,所以
n1,由已
知得Ax
b的解不唯一,所以
r(A)n
所以r(A)
1.于是基础解
系所含解向量个数nr(A)n(n1)1(B)为答案。
6.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是
(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量
Axb有解
(D)当x
0时,
0,其中x(x1,,xn)T
是答案
当x0
时,Ax0,
说明Ax
只有零解.
7.设A为n阶实矩阵,A
是A的转置矩阵,则对于线性方程组
:
Ax0和
xTAx
0,必有
Ax
1的解都是
2的解。
xTAx0
xT
ATAx
AxTAx
0,2的解也都是1的解。
证明:
Ax0
(ATA)x
0,因为rA
rATA,同解方程组。
Ax0
ATAx0(ATA)x0xTATAx0
AxTAx0Ax0
三、解方程组
1.4元方程组Ax=b中,系数矩阵的秩
r(A)=3,
3是方程组的
3个解,若
1=(1,1,1,1)T,2
3=(2,3,4,5)T,则方程组的通解为
_____
因为r(A)=3,所以基础解系只含有
A1bA2
bA3b
A2
21
0,所以
k0,1,2,3T
2.3元方程组Ax=0
以1(1,0,2)T,
2(0,1,
1)T为其基础解系,则该方程的系
数矩阵为_____。
方程组Ax=0的基础解系为
(1,0,2)T,
(0,1,1)T,所以,r(A)=1.
假设
(a11,a12,a13).
k1
由
A1
0,得(a,a,a
13
)0
a
2a
11
由A2
0,得(a11,a12,a13)1
a13
取a13
得a12
1,a11
2.
所以
(
2,1,1),
(其中k1,k2
为任意常数).
k2
3x1
2x2
2x3
x40
3.6x1
4x2
5x3
2x4
3x5
0,求此齐次方程组的基础解系和通解.
9x16x23x42x50
,rA
2,基础解系含有
3个向量
6
9
6
x5
0,x5
x4
0,x2
1.x4
,或者x11,x2
1,x2
0.x4
4.
问
为何值时,线性方程组
4x1
2有解,并求出解一般形式.
6x1
x2
4x3
41
01
223
当
1时,rA
基础解系有一个向量:
1,2,1T
0,1,1T
3x2
设有线性方程组
2x2
1,问m,
k为何值时,方程组有惟一解?
mx3
有无穷多组解?
有无穷多组解时,求出一般解。
7
,m
1时,k为任意数,
m
m1
3,有唯一解。
1时,无解。
m1,k1,rArA2,有无穷多解。
k1,0,1T
0,17,37T
1(1,2,0)
(1,a
2,3a),
(1,b
2,a
2b)
及
(1,3,3).
(1)a,b
为何值时,
不能表示成
3的线性组合.
(2)a,b
有
2,3的惟一线性表示,并写出该表示式.
假设x1
x33
求解方程组,求x1,x2,x3.
2a2b2
0ab4
b4
3a
a2b
2b
0a
5b120
(1)a
0,b
125
时,
3,方程组无解,
即不能表示成
2,3的线性组合。
时,r(A)
r(A),方程组有无穷多解
即有无穷多种方法
可表示成1,2,3的线性组合。
(2)a
0,a
5b
r(A),方程组有惟一解
即能表示成
2,3的线性组合,
且表示法惟一.
此时得方程组
ax2
(b
4)x3
(a
12)x3
解得:
x3
(1
1)
03
x1
表示式为:
7.假设
.如果
是方程组Ax
b的一个解,试求
1,b
c
b的通解。
解.将代入Ax
b,得到1ac10,ac.
(1)a
于是
基础解系所含解向量个数为
.
齐次方程:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 线性代数 第四 线性方程组 试题 答案 doc
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)