六年级数学思维训练不定方程Word格式文档下载.docx

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这次比赛共考了多少道题？

17．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：

鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

这个问题是说：

每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？

18．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；

圆珠笔6支一盒，每盒6元；

铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：

三种笔分别买了多少盒？

19．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：

如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？

如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？

20．阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：

阿奇共买了多少包奶糖？

21．小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？

22．红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．

三、超越篇

23．求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解．

24．一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共1355斤．其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；

梨每筐55斤，每斤定价1.5元；

桃子每筐45斤，每斤定价1.8元．批发市场是以定价的70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：

批发市场运进三种水果各多少筐？

25．雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：

图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？

26．采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票．如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？

27．有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；

若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；

若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？

28．国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完．已知这五种商品每盒的价格和重量如下表．

商品

A

B

C

D

E

单价（元）

70

110

190

290

310

重量（千克）

1.5

2

1

10

3

如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法？

29．现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？

（砝码只能放在天平的一边）

30．现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次？

参考答案与试题解析

【分析】设大桶有x个，小桶有y个，根据题意列出方程：

8x+5y=44，根据不定方程的求解方法，解出未知数的值即可．

【解答】解：

设大桶有x个，小桶有y个，根据题意得：

8x+5y=44，变形为：

y=

，

y为自然数，则44﹣8x≥5，即y≤4.875，

经试算，当y=4，x=3时符合题意．

答：

大油桶有3个，小油桶有4个．

【分析】设大盒x个，小盒y个，则12x+7y=150，由此求出这个方程的整数解即可解答问题．

设大盒x个，小盒y个，根据题意可得方程：

12x+7y=150，方程可以变形为：

x=

因为x、y都是整数，所以150﹣7y必须是12的倍数，

所以，当x=9，y=6，或y=18，x=2是这个方程的整数解，

大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个才能恰好把这些球装完．

【分析】设一共有x个早上，y个晚上，则由题意可得：

（1+2）x+（2+3）y=61，然后整理，进行分析、进而得出结论．

设一共有x个早上，y个晚上，则：

（1+2）x+（2+3）y=61

3x+5y=61

5y的个位数只能是0、5，所以3x的个位数只能是1、6．

根据题意可得：

y=5，x=12，那么波斯猫叫：

3×

5+1×

12=27（声）；

y=8，x=7，那么波斯猫叫：

8+1×

7=31（声）；

因为27＜31，所以波斯猫至少叫27声；

波斯猫至少叫27声．

【分析】7个大和尚每天共吃41个馒头，平均每个大和尚吃

个馒头；

比4个多

﹣4=

个；

19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个小和尚吃

比4个少4﹣

=

大和尚的人数×

=小和尚的人数×

，由此求出大和尚的人数与小和尚的人数比，再根据共有700多这一范围，求出总人数．

41÷

7﹣4，

﹣4，

（个）；

4﹣60÷

19，

=4﹣

，那么：

大和尚人数：

小和尚的人数=

：

=（16×

7）：

（13×

19）=112：

247；

如果按照大和尚人数是112，小和尚人数是247，那么总人数就是112+247=359（个）；

359＜700，所以总人数不是359人，应是：

359×

2=718（个）；

庙里有718个和尚．

【分析】此题用算术法很难解答，可以设出未知数；

设有男职工x人，女职工y人，则孩子有

人，根据共种了216棵树列方程解答即可．

人，根据题意可得方程：

13x+10y+6×

=216，

方程可以整理为：

15x+12y=216，

即5x+4y=72，

所以5x=4（y+18），

由上式可以看出5x是4的倍数，5与4的最大公约数是1，则x是4的倍数．

当x=4时，y=13，

不是整数，应舍去；

当x=8时，y=8，

当x=12时，y=3，

=5，即男职工12人，女职工3人，小孩5人．

当x＞12时，y无解．

可见，男职工有12人．

男职工有12人．

【分析】设老师x人，男生y人，表示出女生人数：

（14﹣x﹣y）人，根据题意列出不定方程，再根据x、y应为自然数，且x+y＜14，据此解答即可．

设老师x人，男生y人，则女生（14﹣x﹣y）人，根据题意得：

12x+8y+5（14﹣x﹣y）=100

化简得：

7x+3y=30

本题中x、y应为自然数，且x+y＜14；

经试算：

x=3，y=3时符合题意，14﹣3﹣3=8，即女生有8人．

搬书的老师有3人、男生有3人、女生有8人．

【分析】设20分、40分和50分得邮票分别买了x、y、z张，根据题意列出方程，根据x、y、z的实际意义，求出x、y、z的值即可．

设20分、40分和50分得邮票分别买了x、y、z张，根据题意得：

①、②消去y得：

x﹣z=﹣10；

得x=z﹣10，又x为自然数，则z﹣10≥0，即z≥10；

①、②消去x得：

8y+14z=206；

得：

z=

，又z为自然数，则206﹣8y≥14，即y≤3；

当x=3，y=3，z=13时符合题意．

20分、40分和50分得邮票分别买了3张、3张、13张．

8．小明在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是　9　封．

【分析】设平信x封，航空信y封，挂号信z封，一元二角二分钱=122分，价格分别为8分，10分，20分，所以能够保证总数尾数为2分的只能是8分，因为8×

4=32，8×

9=72；

另价格最高的越多，寄信就越少，所以寄4封8分信件时，20分最多4封，所以是：

4封8分、4封20分、1封10分，共9封．

设平信x封，航空信y封，挂号信z封，一元二角二分钱=122分，根据题意可得方程：

8x+10y+20z=122，

因为能够保证总数尾数为2分的只能是8分，因为8×

另价格最高的越多，寄信就越少，

所以当x=4时，10y+20z=90，所以z最大为4，则y=1，

4+4+1=9（封），

三种信的总和最少是9封．

故答案为：

9．

【分析】设其中1分、1角、1元和10元各有a、b、c、d张，假设总面值能恰好是100元，列出方程根据a、b、c、d的实际意义，看是否能解出a、b、c、d的值，据此判断即可．

设其中1分、1角、1元和10元各有a、b、c、d张，且a、b、c、d均为整数．

假设总面值能恰好是100元=10000分，

则必须满足：

a+10b+100c+1000d=10000…

（1）

且a+b+c+d=60…

（2）

（1）﹣

（2）得：

9b+99c+999d=9940；

即（b+11c+111d）=

显然等式左边为整数，而右边是小数而非整数，等式不成立．

可见前面假设不成立，所以这些纸币的总面值是不能够恰好是100元．

【分析】先求出花了的钱数，再设买鱼肉汉堡x个，鸡肉汉堡y个，牛肉汉堡z个，再根据单价×

数量=总价，分别求出买三种汉堡的钱数，再根据三种汉堡的总钱数，列出不定方程解答．

设买鱼肉汉堡x个，鸡肉汉堡y个，牛肉汉堡z个

7x+9y+14z=100﹣8

7x+9y+14z=92

所以9y=92﹣（7x+14z）

所以y=[92﹣（7x+14z）]÷

9

因为y为整数，所以92﹣（7x+14z）必须为9的倍数，

又92﹣（7x+14z）=90﹣[（7x+14z）﹣2]

则7x+14z﹣2的值必须是9的倍数，且小于92

所以可以设7x+14z﹣2=9k

则7x+14z=9k+2（0≤k≤10）

9k+2这些数可以表示如下：

2；

11；

20；

29；

38；

47；

56；

65；

74；

83；

92

又7x+14z=7（2x+z）

即7x+14z是7的倍数，在上面的数中只有56符合条件

所以7x+14z=56

所以y=（92﹣56）÷

9=36÷

9=4（个）

小明买了4个鸡肉汉堡．

【分析】根据题干，设买甲级铅笔x支，乙级铅笔y只，则根据等量关系甲级铅笔价格×

数量+乙级铅笔价格×

数量=50角（5元），据此可得方程：

7x+3y=50，求出x、y的正整数解，再相加即可．

5元=50角，

设买甲级铅笔x支，乙级铅笔y只，根据题意可得方程：

7x+3y=50

当x=1时，y没有整数解

当x=2时，y=12，2+12=14（支）

当x=3时，y没有整数解；

当x=4时，y没有整数解；

当x=5时，y=5，5+5=10（支）

当x=6时，y没有整数解；

当x=7时，y没有整数解；

张明共买14支或10支铅笔．

【分析】设买大盒的鸡蛋x盒，小盒的鸡蛋y盒，则23x+16y=500，再根据x和y必须都是整数，解出不定方程即可．

设买大盒的鸡蛋x盒，小盒的鸡蛋y盒，则

23x+16y=500

所以y=

即x，y必须是偶数，

所以x=12，y=14；

12+14=26（盒）

他一共要买26盒．

【分析】设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，再根据“从两个集团军抽调部分师参与战斗，一共有27.1万人”列出方程解答．

设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，

9000x+8000y=271000

9x+8y=271

因为8y是偶数，所以9x必须是奇数

所以x必须是奇数，

而x=

所以x=23，此时y=8；

苏军参与战斗的有23个步兵师，9个航空兵师．

【分析】根据乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，得出：

10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，再根据甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵，得出13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，…和13相乘末尾是6，

22×

13+12=298，32×

13+12=428，42×

13+12=558，因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，从而可以解决问题．

因为10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，

13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，

所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，…和13相乘末尾是6，

13+12=298

32×

13+12=428

42×

13+12=558

因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，总人数有：

（428﹣12）÷

13+1+（428﹣8）÷

10+1

=33+42+1

=76（人）

甲乙两小队一共有76人．

【分析】此题可以用列表法进行计算并比较，从一种的第一根开始截起，另一种会得到相应的多少根，剩余多少厘米，如此类推，直到不能同时截取为止，从而得解．

如下表所示，

36厘米

1根

2根

3根

4根

5根

6根

7根

8根

9根

24厘米

14根

12根

11根

9根

5根

2根

剩余cm

8

20

所以长度为36厘米的铁丝最少截1根，最多截9根，

长度为24厘米的铁丝最少截1根，最多截14根，

剩余部分最少是8厘米；

剩余部分的管子最少是8厘米．

【分析】此题可以设出未知数，列出方程进行推理．可设答对a题，未答b题，答错c题，可得：

5a+2b=71①，40+3a﹣c=71②，由①②推出a的取值范围，并确定处a的值，从而推出b、c的值，解决问题．

设答对a题，未答b题，答错c题，可得：

5a+2b=71①，

40+3a﹣c=71②，

由①知，a是奇数，且a＜14；

由②知a＞12，所以a=13，

由此求得b=3，c=8，

故共有：

13+3+8=24（题）．

这次比赛共考了24道

【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，求出其解就可以了．

设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意，得

整理得：

7x+4y=100．

；

因为x≥0，y≥0，且都是自然数，

所以

≥0，

所以y≤25，100﹣4y是7的倍数，且三种鸡都有买，

所以100﹣4y=7，14，21，

所以共有3种情况：

①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；

②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；

③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．

【分析】分别设出钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒，再根据总共花了97元，买了90支笔，列出方程解答．

设钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒

所以：

5X+6Y+7Z=97

4X+6Y+10Z=90

因为XYZ取整数

则x=3，y=18，z=0或

x=12，y=3，z=2时成立．

若三种笔都要买的话，就只能是x=12，y=3，z=2；

钢笔买了12盒，圆珠笔3盒，钢笔2盒．

如果比赛规定恰好投中100分才能获