弹性力学简明复习题提示和参考答案Word文档格式.docx
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2-13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足
(1)平衡微分方程,
(2)相容方程,
(3)应力边界条件(假设)。
2-14 见教科书。
2-15 见教科书。
2-16 见教科书。
2-17 取
它们均满足平衡微分方程,相容方程及x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。
2-18 见教科书。
2-19 提示:
求出任一点的位移分量和,及转动量,再令,便可得出。
第三章 习题的提示与答案
3-1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解:
(1)校核相容条件是否满足,
(2)求应力,
(3)推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3-2 用逆解法求解。
由于本题中l>
>
h,x=0,l属于次要边界(小边界),可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3-3 见3-1例题。
3-4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后,并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是:
主要边界:
所以在边界上无剪切面力作用。
下边界无法向面力;
上边界有向下的法向面力q。
次要边界:
x=0面上无剪切面力作用;
但其主矢量和主矩在x=0面上均为零。
因此,本题可解决如习题3-10所示的问题。
3-5 按半逆解法步骤求解。
(1)可假设
(2)可推出
(3)代入相容方程可解出f、,得到
(4)由求应力。
(5)主要边界x=0,b上的条件为
次要边界y=0上,可应用圣维南原理,三个积分边界条件为
读者也可以按或的假设进行计算。
3-6 本题已给出了应力函数,应首先校核相容方程是否满足,然后再求应力,并考察边界条件。
在各有两个应精确满足的边界条件,即
而在次要边界y=0上,已满足,而的条件不可能精确满足(否则只有A=B=0,使本题无解),可用积分条件代替:
3-7 见例题2。
3-8 同样,在的边界上,应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。
3-9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。
3-10 应力函数中的多项式超过四次幂时,为满足相容方程,系数之间必须满足一定的条件。
3-11 见例题3。
3-12 见圣维南原理。
3-13 m个主要边界上,每边有两个精确的应力边界条件,如式(2-15)所示。
n个次要边界上,每边可以用三个积分的条件代替。
3-14 见教科书。
3-15 严格地说,不成立。
第四章 习题的提示和答案
4-1 参见§
4-1,§
4-2。
4-2 参见图4-3。
4-3 采用按位移求解的方法,可设代入几何方程得形变分量,然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。
将此应力公式代入平衡微分方程,其中第二式自然满足,而由第一式得出求的基本方程。
4-4 按应力求解的方法,是取应力为基本未知函数。
在轴对称情况下,,只有为基本未知函数,且它们仅为的函数。
求解应力的基本方程是:
(1)平衡微分方程(其中第二式自然满足),
(2)相容方程。
相容方程可以这样导出:
从几何方程中消去位移,得
再将形变通过物理方程用应力表示,得到用应力表示的相容方程。
4-5 参见§
4-3。
4-6 参见§
4-7 参见§
4-7。
4-8 见例题1。
4-9 见例题2。
4-10 见答案。
4-11 由应力求出位移,再考虑边界上的约束条件。
4-12 见提示。
4-13 外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变。
4-14 为位移边界条件。
4-15 求出两个主应力后,再应用单向应力场下圆孔的解答。
4-16 求出小圆孔附近的主应力场后,再应用单向应力场下圆孔的解答。
4-17 求出小圆孔附近的主应力场后,再应用单向应力场下圆孔的解答。
4-18 见例题3。
4-19 见例题4。
第五章 习题提示和答案
5-1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。
5-2 参见书中的方程。
5-3 注意对称性的利用,取基点A如图。
答案见书中。
5-4 注意对称性的利用,并相应选取基点A。
5-5 注意对称性的利用,本题有一个对称轴。
5-6 注意对称性的利用,本题有二个对称轴。
5-7 按位移求微分方程的解法中,位移应满足:
(1)上的位移边界条件,
(2)上的应力边界条件,(3)区域A中的平衡微分方程。
用瑞利-里茨变分法求解时,设定的位移试函数应预先满足
(1)上的位移边界条件,而
(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。
5-8 在拉伸和弯曲情况下,引用的表达式,再代入书中的公式。
在
扭转和弯曲情况下,引用的表达式,再代入书中的公式。
5-9 对于书中图5-15的问题,可假设
对于书中图5-16的问题中,y轴是其对称轴,x轴是其反对称轴,在设定u、v试函数时,为满足全部约束边界条件,应包含公共因子。
此外,其余的乘积项中,应考虑:
u应为x和y的奇函数,v应为x和y的偶函数。
5-10答案见书中。
5-11 在u,v中各取一项,并设时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是
代入后,上两式方程是
解出
位移分量的解答为
应力分量为
第六章 习题的提示和答案
6-1 提示:
分别代入的公式进行运算。
6-2 (3)中的位移,一为刚体平移,另一为刚体转动,均不会产生应力。
其余见书中答案。
6-3 求i结点的连杆反力时,可应用公式
为对围绕i结点的单元求和。
6-4 求支座反力的方法同上题。
6-5 单元的劲度矩阵k,可采用书中P.124式(g)的结果,并应用公式求出整体劲度矩阵的子矩阵。
6-6 求劲度矩阵元素同上题。
应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。
6-7 求劲度矩阵元素可参见P.124式(g)的结果,再求出整体劲度矩阵元素答案见书中。
6-8 当单元的形状和局部编号与书中图6-10相同时,可采用P.124式(g)的单元劲度矩阵。
答案:
中心线上的上结点位移下结点位移
6-9 能满足收敛性条件,即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变,还在单元的边界上,保持了相邻单元的位移连续性。
第七章 习题的提示和答案
7-1 答案:
7-2 提示:
原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置,将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。
7-3 见本书的叙述。
7-4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移,应考虑它们在导出方程时的贡献。
7-5 对于一般的空间问题,柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在,且它们均为的函数。
在列方程时应考虑它们的贡献。
第八章 习题的提示和答案
8-1 提示:
应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件(设)。
柱体的侧面,在(x,y)平面上应考虑为任意形状的边界(n=0,l,m为任意的),并应用一般的应力边界条件。
8-2 提示:
同上题。
应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件(设若为多连体,还应满足位移单值条件。
由于空间体为任意形状,因此,应考虑一般的应力边界条件(7-5):
法线的方向余弦为l,m,n,边界面为任意斜面,受到法向压力q作用。
为了考虑多连体中的位移单值条件,应由应力求出对应的位移,然后再检查是否满足单值条件。
8-3 见§
8-2的讨论。
8-4 从书中式(8-2)和(8-12)可以导出。
由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。
8-5 为了求o点以下h处的位移,取出书中式(8-6)的,并作如下代换
,
然后从o→a对积分。
8-6 引用布西斯克解答,在z=0的表面上的沉陷是
(1)求矩形中心点的沉陷,采用图8-9(a)的坐标系,代入并积分,
再应用部分积分得到,
。
(2)求矩形角点处的沉陷,采用图8-9(b)的坐标系,
8-7 题中已满足边界条件再由
便可求出切应力及扭角等。
8-8 题中能满足两个圆弧处的边界条件然后,相似于上题进行求式解为的两倍。
8-9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答,和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答;
并由,得出代入后进行比较即可得出。
8-10 参见§
8-8的讨论。
第九章 习题提示和答案
9-1 挠度w应满足弹性曲面的微分方程,x=0的简支边条件,以及椭圆边界上的固定边条件,。
校核椭圆边界的固定边条件时,可参见例题4。
求挠度及弯矩等的最大值时,应考虑函数的极值点(其导数为0)和边界点,从中找出其最大值。
9-2 在重三角级数中只取一项可以满足的弹性曲面微分方程,并可以求出系数m。
而四个简支边的条件已经满足。
关于角点反力的方向、符号的规定,可参见§
9-4中的图9-5。
9-3 本题中无横向荷载,q=0,只有在角点B有集中力F的作用。
注意w=mxy应满足:
弹性曲面的微分方程,x=0和y=0的简支边条件,x=a和y=b的自由边条件,以及角点的条件(见图9-5中关于角点反力的符号规定)。
在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时,这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题,以满足角点的条件。
因此,常应用这个解答于上述这类问题,作为其解答的一部分。
读者可参考§
9-6中图9-9的例题。
9-4 本题中也无横向荷载,q=0,但在边界上均有弯矩作用。
x=0,a是广义的简支边,其边界条件是
而y=0,b为广义的自由边,其边界条件是
将w=f(x)代入弹性曲面微分方程,求出f(x)。
再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。
9-5 参见§
9-7及例题1,2。
9-6 应用纳维解法,取w为重三角级数,可以满足四边简支的条件。
在求重三角级数的系数中,其中对荷载的积分
只有在的区域有均布荷载作用,应进行积分;
而其余区域,积分必然为零。
9-7 对于无孔圆板,由的挠度和力的有限值条件,得出书中§
9-9式(d)的解中,,然后再校核简支边的条件,求出。
求最大值时,应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。
9-8 本题也是无孔圆板,由有限值条件,取。
相应于荷载的特解,可根据书中§
9-9的式(c)求出。
然后再校核的固定边的条件。
求最大值时,应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。
9-9 由,代入及的公式,两边相比便可得出等用等表示的表达式。
由,将w对x,y的导数转换为对的导数。
然后再与式(a)相比,便可得出等用挠度表示的公式。
9-10 参见上题,可以用类似的方法出。
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