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3.[2019·
安徽马鞍山教学质量检测]已知函数f(x)=则f
(1)+f()+f()+…+f()=( )
A.44 B.45
C.1009D.2018
由442=1936,452=2025可得,,,…,中的有理数共有44个,其余均为无理数,所以f
(1)+f()+f()+…+f()=44.
4.[2019·
开封模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2015)=( )
A.5B.
C.2D.-2
由f(x)=-f(x+2),得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2015)=f(503×
4+3)=f(3)=f(1+2)=-f
(1)=-(2+0)=-2,故选D.
5.[2019·
吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中,重庆一中等联考]下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=2x-2-xB.f(x)=x2-1
C.f(x)=log
|x|D.f(x)=xsinx
B
f(x)=2x-2-x是奇函数,故不满足条件;
f(x)=x2-1是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故满足条件;
f(x)=log
|x|是偶函数,在(0,+∞)上单调递减,不满足条件;
f(x)=xsinx是偶函数,但是在(0,+∞)上不单调.故选B.
6.[2019·
重庆第一中学诊断模拟]设a=2
,b=log43,c=log85,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>
b>
cB.a>
c>
b
C.b>
aD.c>
a
由指数函数的性质知a>
1,由对数函数的性质得0<
b<
1,0<
c<
1.c可化为log2;
b可化为log2,∵()6<
()6,∴b>
c,∴a>
c,故选A.
7.已知函数f(x)=x2-4x+2的定义域为[1,t],f(x)的最大值与最小值之和为-3,则实数t的取值范围是( )
A.(1,3]B.[2,3]
C.(1,2]D.(2,3)
f(x)=x2-4x+2的图象开口向上,对称轴为x=2,f
(1)=-1,f
(2)=-2.当1<
t<
2时,f(x)max=f
(1)=-1,f(x)min>
f
(2)=-2,则f(x)max+f(x)min>
-3,不符合题意;
当t≥2时,f(x)min=f
(2)=-2,则f(x)max=-3-f
(2)=-1,令f(x)=-1,则x2-4x+2=-1,解得x=1或x=3,∴2≤t≤3.故选B.
8.[2019·
湖南邵阳大联考]若函数f(x)=ax-k·
a-x(a>
0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的大致图象是( )
由题意得f(0)=0,得k=1,a>
1,所以g(x)=loga(x+1)为(-1,+∞)上的单调递增函数,且g(0)=0,因此选B.
9.[2019·
江西临川一中模拟]设f(x)=则
f(x)dx的值为( )
A.+B.+3
C.+D.+3
f(x)dx=
dx+
(x2-1)dx=π×
12+=+.故选A.
10.[2019·
辽宁沈阳模拟]如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( )
A.B.(1,2)
C.D.(2,3)
C
由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得0<
1,f
(1)=0,即有a=-1-b,从而-2<
a<
-1.而g(x)=lnx+2x+a,在定义域内单调递增,g=ln+1+a<
0,g
(1)=ln1+2+a=2+a>
0,∴函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是.故选C.
11.[2019·
陕西西安第一中学模拟]设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3,满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.B.
C.D.
函数f(x)=的图象如图,
不妨设x1<
x2<
x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-<
x1<
0,则-+6<
x1+x2+x3<
0+6,即x1+x2+x3∈.故选D.
12.[2019·
河南濮阳一中质检]已知函数f(x)=x3+x2+ax.若g(x)=,且对任意x1∈,存在x2∈,使f′(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
C.[,e)D.
对任意x1∈,存在x2∈,使f′(x1)≤g(x2),∴[f′(x)]max≤[g(x)]max.
又f′(x)=(x+1)2+a-1在上单调递增,
∴[f′(x)]max=f′
(2)=8+a.而g(x)在上单调递减,则[g(x)]max=g=,∴8+a≤,则a≤-8.故选A.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.log3-log3+(-1)0-+cos=________.
原式=log3(÷
)+1--=1+1--=0.
14.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p且q是真命题,则实数a的取值范围是__________.
{a|a≤-2或a=1}
由x2-a≥0,得a≤x2,因为x∈[1,2],所以a≤1.要使q成立,则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2.因为命题p且q是真命题,所以p,q同时为真,即,故a≤-2或a=1.
15.已知f(x)=则f(f(0))=________.
-2
因为f(0)=1,所以f(f(0))=f
(1)=-2.
16.[2019·
西安八校联考]曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O为原点)是以∠A为顶角的等腰三角形,则切线l的倾斜角为________.
60°
解法一 因为y=x3,所以y′=3x2.设点B(x0,x)(x0≠0),则kl=3x,所以切线l的方程为y-x=3x(x-x0).取y=0,则x=x0,所以点A.易知线段OB的垂直平分线方程为y-=-,根据线段OB的垂直平分线过点A可得-=-,解得x=,所以kl=3x=,故切线l的倾斜角为60°
.
解法二 因为y=x3,所以y′=3x2.设点B(x0,x)(x0≠0),则kl=3x,所以切线l的方程为y-x=3x(x-x0).取y=0,则x=x0,所以点A.由|OA|=|AB|,得=+x,又x0≠0,所以x=,所以kl=3x=,故切线l的倾斜角为60°
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=log3的定义域为R,值域为,求m,n的值.
由y=f(x)=log3,得3y=,即·
x2-8x+3y-n=0
∵x∈R,∴Δ=64-4(3y-m)(3y-n)≥0,即32y-(m+n)·
3y+mn-16≤0
由0≤y≤2,得1≤3y≤9,由根与系数的关系得,解得m=n=5.
18.(本小题满分12分)
重庆调研测试诊断]已知曲线f(x)=在点(e,f(e))处的切线与直线2x+e2y=0平行,a∈R.
(1)求a的值;
(2)求证:
>
(1)f′(x)=,
由f′(e)==-,解得a=3.
(2)证明:
f(x)=,
f′(x)=.由f′(x)>
0,得<
x<
1,
故f(x)在和(1,+∞)上单调递减,在上单调递增.
①当x∈(0,1)时,f(x)≥f=e.
∵′=,∴在(0,1)上单调递增,
∴<
<
e,∴f(x)>
,即>
②当x∈[1,+∞)时,ln2x+3lnx+3≥0+0+3=3.
令g(x)=,则g′(x)=.
∴g(x)在[1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g
(2)=<
3,
∴ln2x+3lnx+3>
综上,对任意x>
0,均有>
19.(本小题满分12分)
定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).
(1)判断k为何值时,f(x)为奇函数,并证明;
(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>
3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
(1)k=0时,f(x)为R上的奇函数,证明如下:
令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
(2)k=-1时,令a=b=2,则f(4)=2f
(2)-1,f
(2)=3
∴f(mx2-2mx+3)>
f
(2)恒成立,
又f(x)是R上的增函数,∴mx2-2mx+3>
2恒成立
即mx2-2mx+1>
m=0时,3>
m≠0时,有得0<
m<
1
综上m的取值范围为[0,1).
20.(本小题满分12分)
河北馆陶县月考]设函数f(x)=lnx-(a+1)x,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当函数f(x)有最大值且最大值大于3a-1时,求a的取值范围.
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-(a+1)=.
①当a+1≤0,即a≤-1时,f′(x)>
0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a+1>
0,即a>
-1时,令f′(x)=0,解得x=,
(ⅰ)当0<
时,f′(x)>
0,函数单调递增;
(ⅱ)当x>
时,f′(x)<
0,函数单调递减.
综上所述,当a≤-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>
-1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由
(1)得,若f(x)有最大值,则a>
-1,且f(x)max=f=ln-1.
∵函数f(x)的最大值大于3a-1.
∴ln-1>
3a-1,即ln(a+1)+3a<
0(a>
-1).
令g(a)=ln(a+1)+3a(a>
-1),
∵g(0)=0且g(a)在(-1,+∞)上单调递增,
∴-1<
0.
故a的取值范围为(-1,0).
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=x2+bx-1(b∈R).
(1)当b=1时证明:
函数f(x)在区间内存在唯一零点;
(2)若当x∈[1,2],不等式f(x)<
1有解.求实数b的取值范围.
(1)由b=1,得f(x)=x2+x-1,
∴f=2+-1=-<
0,f
(1)=12+1-1=1>
0,∴f·
f
(1)<
0,
所以函数f(x)在区间(,1)内存在零点.
又由二次函数的图象,可知f(x)=x2+x-1在(,1)上单调递增,
从而函数f(x)在区间(,1)内存在唯一零点.
(2)解法一 由题意可知x2+bx-1<
1在区间[1,2]上有解,
所以b<
=-x在区间[1,2]上有解.
令g(x)=-x,可得g(x)在区间[1,2]上递减,
g(x)max=g
(1)=2-1=1,从而实数b的取值范围为(-∞,1).
解法二 由题意可知x2+bx-2<
0在区间[1,2]上有解.
令g(x)=x2+bx-2,则等价于g(x)在区间[1,2]上的最小值小于0.
当-≥2即b≤-4时,g(x)在[1,2]上递减,
∴g(x)min=g
(2)=2b+2<
0,即b<
-1,所以b≤-4;
当1<
-<
2即-4<
-2时,g(x)在[1,-]上递减,在上递增,
∴g(x)min=g(-)=()2--2=--2<
0恒成立.所以-4<
-2;
当-≤1即b≥-2时,g(x)在[1,2]上递增,
∴g(x)min=g
(1)=b-1<
0即b<
1,所以-2≤b<
综上可得b≤-4或-4<
-2或-2≤b<
1,所以b<
从而实数b的取值范围为(-∞,1)
22.(本小题满分12分)
[2018·
全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=ex-ax2.
(1)若a=1,证明:
当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
(1)证明:
当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.
设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)·
e-x=-(x-1)2e-x.
当x≠1时,g′(x)<
0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减.
而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.
(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.
f(x)在(0,+∞)只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)只有一个零点.
(i)当a≤0时,h(x)>
0,h(x)没有零点;
(ii)当a>
0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.
当x∈(0,2)时,h′(x)<
0;
当x∈(2,+∞)时,h′(x)>
所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
故h
(2)=1-是h(x)在(0,+∞)的最小值.
①若h
(2)>
0,即a<
,h(x)在(0,+∞)没有零点.
②若h
(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点.
③若h
(2)<
,
因为h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点;
由
(1)知,当x>
0时,ex>
x2,所以h(4a)=1-=1->
1-=1->
0,故h(x)在(2,4a)有一个零点.
因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.
综上,当f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.
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