三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案Word文档下载推荐.docx

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AABC心的充要条件可以写成:

OA.（e[+e^）=OB.（e[+e^）=OC.（e^+e^）=0

0是AABC心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=0

若0是AABC的心，则SAB（）c：

SAA<

）c：

Su（）B=a：

b：

c

故aOA+bOB+cOC=OggsinAOA+slnBOB+sinCOC=6.

\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=O^P^ABC的心；

向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线ilAABC的心（是ABAC的角平分线IABIIACI

所在直线）；

（-）.将平面向量与三角形心结合考查

例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满

竺+丝），几w[o,p）则P点的珈迷一定通11MBC的（KI

（A）外心（B）心（C）重心（D）垂心

解析：

因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J,J

HI一〜

OP-dA=AP原式可化为AP=A（e{+勺），由菱形的基本性质知AP平分ABAC,SI）么在A4BC

中，AP平分Z3AC,则知选B.

点评：

2ii®

给人的M象当然是“新颖、陌生J首先箔是什么？

没见过！

想想，一个非零

M

向量除以它的模不就是单位向量?

此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg到一起,解fiiii-^rnjg也没有。

（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理刀

例2.“是厶力％所在平面任一点，阪亦=屈就=就阪O点//是△力％的垂心.

而（刁？

-阪）=00而疋=oo而丄X?

同理呢丄AB,页丄荒•故//是△警磐J出空之亦然（证略））

側3.（）P是厶ABC在平面上一点，若覇•两=PBPC=PCPAt|P是AABC的（D）

A.外心B.心C.重心D.垂心

解桥:

由阳•两=而•无得莎•而一西・P?

=0.

即PB（PA-PC）=0,即两・刁1=0

则PB丄C4,同理PA丄BC、PC丄AB所以P为MBC的垂心.故选D.

本题考查平面向量有关运算，M量枳为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识•将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量枳为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙给合。

变恥若H为ZXABC所在平面一点，且网「+”「跑「+阿：

网一+网

则点H1AABC的垂心

得（旳+-C4-CB）•84=0

^（HC+HC）^BA=0

:

.AB丄就

同理AC丄HB,BC丄HA

故H是AABC的垂心

（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4.G是卜ABC^\在平面一点，ga+g5+gc=0«

&

G是的重心.

证明作图如右，图中而+疋=圧

连ISBEfllCE.ICE=GB,BE=GCoBGCE"

耳IjElifi形=>

0是％的中点，肋为竺边丄的巴线.

将GB+GC=GE代人GA+Gfi+GC=O,

||ga+eg=O=>

ga=-ge=-2gd,故G是△力％的重心.（反之亦然（込略））例5.戶是厶ABC^\在平面任一点.G是厶ABC^\重心O~pg=^（pa+~pb+~pc）.

证明PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG=>

3PG=（AG+BG+CG）+（S+p5+PC）

•.•G是△如％•的重心

/.GA+GB+GC=Q=>

AG+BG+CG=0,Hl3PG=~PA+~PB+~PC

由此可得无=丄（丙+而+龙）.（反之亦滋（证略））

例6若O为AABC一点，OA+OB+OC=d,|（7是AABC的（）

A.心B.外心C.垂临D.重心

由OA+OB+OC=d\^OB+OC=-OA,JU图以OB、0C为相邻两边沟作平行四边形，|OB+OC=OD,由平行四边形性质知況=斗0万，\OA\=2\OE\,同理可ij［其它两边上的逆个性质,所以是重心,选Do

本题需要扎实的平面几何知识，平iiElii形的对角线互相平分员三角形重心性质：

重心是三轴形中线的分点，所分这比为2=^0本题在解题的ii程中将平面向量的有关运算与平IjEliU形的对闻线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧如结合。

变式：

已知DEF分别为ZV1BCWjfiBGAC.AB的中点.|AD+BE+CF=0.

证明：

a75=-—ga

2

•••<

^BE=-—GB

CF=--GC

.AD+BE+CF=-^（GA+GB+GC）-GA+GB+GC=0

AD+BE+CF=0..

变式引申：

如图4,平行四遡形ABCD的中心为O,P为该平面上任意一点,

则戶0=丄（PA+PB+PC+PD）.

IEH:

'

.'

PO=^（PA+PC）tPO=^（PB+PD）t

SSf：

（1）ii法运用了向量加法的三角形法则,

证法2运用了向量加法的平fffflffl形法趾

（2）

若P与o重合，则上式变oA+ob+oc+od=0.

，则0是AABC的（

（0）.将平面向量与三轴形?

［心毬考L側7若0为443C—点，|oX|=|dg|=|^c|

A.心B.外心C.垂心D.重心

由向量模的定义知0到AABC的三顶农距离相等。

故0是4WC的外心，选B。

点评:

本題将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

（五）将平面向量与三角形里心空考查一_

例&

已知向量函，匝，西满足条件OP；

+OP；

+0P；

=0,|^|=|^K|=I^I=1,

求证是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五3组第6題）

证明由已知of\+op^=-op^,两边平方得函・oK=-l,

同理0可・OP；

=0P；

・0斤=_［,

•••I^Kl=l^Xl=l丽IM,从而△P\PA是正三幷形.

反之，若点0是正三角形△P&

2P3的中心，则显然有函+匝+西=0目|函1=1匝1=1西|.彗竺竺所在平巴一点厶_

函+函'

+函=0目|禹1=1函1=1西Io点0是正'

PPP?

的中心.

例9.在ZXABC中，B知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证:

Q、G、H三点共线，且QG:

GH=1:

20

【证明］：

UA为原虑，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A（0,0）、B（xJ）、C（x2,y2）,D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

由題设可设0（*,儿）、日（心，儿）,G（丄导,号）

C（X2$2）

D;

B（X].O

可修编・

-AH丄疋

.AH•BC=x2（x2-xj+y2y4=0_」（心_\）

••〉4_

y2

•讶丄疋

.••Q戸・疋=心（寻-中+『2（牛-儿）=0八（心一小）＞s

・・y严—+寸

2y

・勿_八.•口■■、.、_/2人\一3AU.V.-.VJ）‘2、

•QH一（心一亍儿一儿）一（-^，——瓦—一丁）

•芮•=（八―y（2t\_\—卞,工2_\）_$2）

32，3•§

_6，32y22

2兀=一兀]3x^（x^-%,）y212x*-X]3x^（x,-x,）y，

丁—一才肓（一「2咒_〒）

即丽=迈7,!

AQ、G、//三点共线，且QG：

GH=\：

2

【注】:

本例!

01果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标形式,将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形”和“数”紧密地結合在一起，U而，很多对林、共线、共点、垂直等冋題的证明,部可转化为熟练的代数运算的论证。

M10.若0、HE别是△/!

%的外心和垂心.

求证OH=OA+OB+OC.

证明若厶ABC垂心为"

，外心为0,如图.

连％并延长交外接岡于Q,连结力0CD.

.AD丄AB,CD丄BC.Q垂心为//,A//丄BC,CH丄/1B,

/.AH//CD,CH//AD.

.•.MV^_AHCD些行四岂形,

/.AH=DC=~DO+OC,故OH=OA+~AH=OA+OB+OC.

著名的HKfi定理”讲的是鋭角三角形的“三心”一

心、垂。

的位置关系:

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一“欣拉线”；

（2）三角形的重心在“欣拉线”上,且为M'

一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“瞰拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11.

外心、重

证明

设ag、//分别是鋭角的外心.重心.垂心.og=Loh

3

按重心定理G是△/!

%的重心oog=L（oa^oH^oc）

按垂心定理OH=OA^OB^OC由此可得OG=^OH.

三、与三角形的“El©

”有关的髙考连接题及其应用

例1：

（2003年全国高考題）0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，朋点P满足

OP=OA+A（I—+

■•

AB竺），几€（0,2）,则动点P的机连一定通11AABC的（）

AC

（B）心

（D）垂心

—ABAC

事实上如图设ae=^af=^胡是卑位向量

岡kl

AB

易孙呱边形AETF是菱％机选SMB

M2：

（2005年市东城区高三模扭题）0为AABC所在平而一点，如果页•丽=OBOC=OCOA9则0必

为AABC的（）

（A）外心（B）心（C）車心（D）垂小

事实上刃•西=55・OC^＞（OA-OC）•西=0=＞乙4・55=o=＞ob丄CA

故选苔案D

M3：

巳知0为三角形ABC所在平面-点,且満足

|刃「+|阿'

=|5b|2+|ga|2=|5c|2+|ab|2,igo是三甬形abc的（

（A）外心（B）心（C）車心（D）垂小

事实上由条件可OA-OB=OBOC=OCOA选答案D

例4：

设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共我的三点,

甬直P满足丽=07+几（占兰一+A耳cos3

事实上兄（

（A）外心（B）心（C）車心（D）垂心一AC

—：

"

—+—）•荒"

•（-1岡+苑=0

AB\cosBAClcosC

故选笞案D

例5：

2005年全国（I）卷第15题UA4BC«

外接圆的高的交点为H,OH=m（OA+OB+OC）,團实数先解决该題:

图3

作頁经BD,连DA,DC甫可=一页,D4丄AB,

AH丄BC,CH1AB9&

CH〃DA,AHIIDC

故AHCD是平IjHii形，进而丽=DC,5iDC=OC-OD=OC+OB..OH=OA+AH=OA+DC故OH=OA+OB+OC9WJ1m=\评注：

外心的向量表示可以完善为:

若0为AABC的外心，H为垂心，^\OH=OA+OB+OC0其逆金題也戒立。

例6.已知向量两，匝，函満足条件两+匝+帀;

=0,I函|=|匝H两1=1,

求证：

'

PAR是正三角形•（《数学》第一册（下），复习参考題五B组第6题）

征明：

由已知函+匝=一两，两边平方得而；

•匝=一*,

间理op[•西=西•函=冷,.・.|斤可|=|丽|=|丽卜从而厶P\PR是正三角形.

反之，若点0是正三角眺PPR的中心，则显然有op；

+op：

+op；

=0且|亦;

|=|0可|=|。

可|,囿0是厶ABC^在平面-点,

两+匝+函=0冃I两|=|函|=|两|O点0是正'

RRR的中心.

四、练习

1.已知A、B、C是平面上不共线的三目,0是三角ABC的重心，动点P满足op^oa+Lob+2oc）,则自P—定为三轴形力％的（冈

A.AB^\中线的中点B.AB^\巾线的三等分戊（非重心）Q•重心D.AB^的巾点分析：

®

AB^\的中6M,IOA+OB=2OM,由OP=^4OA+-OB+2OC）可得3OP=3OM+2MC,

oc2

.•.加即点P为三角形中力3边上的中筑的一个三等分虑，且点p不il重心。

2.在同一f平面上有AABQ及一点0满足关系式：

oa2+bc2=ob2+ca2=OC2+ab\I<

7为△/）$?

的（D）

A.外心3•心C.重心D.垂心

3.已知△/険?

的三个取直力、B、Q及平面一点P满足：

pa+pb+pc=6,C）

4.已知0是平面上一定点，A.B、Q是平面上不共线的三个点，动点P满足：

.可修编-

OP=OA+A（AB+AC）,则P的珈迷一定通H^ABC的（Q）

5.已知△力険?

，P为三轴形所在平面上的动点，且满足：

用•疋+用•两+两•花=o,»

1为三轴形的（D）

A.外心3心C.重心D.垂心

6.已知△力険?

，P为三角形所在平面上的一自，冃点P满足：

aP4+A丙+c•疋=0,则P点为三ffl形的（〃）

7.在三幷形力％中，动点P满足：

CA=CB-2AB.CP,一定通!

！

△/%的（3）

&

非零向量而与走满足（竺+竺）・荒=0目竺・竺则△力険?

为（D）

\AB\\AC\\AB\\AC\2

4三边均不相等的三角形3直角三角形Q•等腰非等ill三用形D.等jUEffl形

解桥：

非零向量与满足（竺+竺）•凤弍，即角力的平分线垂直干％,

\AB\\AC\

.AB=AC.乂8$人=空_•竺乙*巴，所以为等辿三角形.

\AB\\AC\23

Q4ABC的外接風的圆心为0,两条21上的高的交虑为〃,OH=m（OA+OB+OC）iffl实数加丄

10.60是三舟形ABC^在平面的一点，满足可-西=OBOC=dcdAtK&

O是的（QM）Efffi的闻平分线的交点（6三条边的垂貞平分线的交点

（0三条中线的交点（G三条高的交点

门.如图1,已知点0是△力0?

的重Jb.ilG作貞线与力3,A

力C两边分别交于〃，/!

/两点，且AM=xAB,AN=yAC,/\\

证点G是的重心，知G4+GS+GC=6,得〃图］—AG+（AB-AG）+（AC-AG）=6,有AG=-（AB+AC）o

QM,N,G三自共线（/不在直线加上），

于是存在久,"

，使AG=AAM+pAN（且2+“=1）,