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中的运动悄况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的惜况相同,“因此,如果到某一时刻,它们已描绘的线段为x和y,那么到下一时刻所描绘的线段就是x+xo和y+yo.”牛顿用x+xo和y+yo代替f(x,丫)=0中的风和『,于是有
按二项式展开并略去。
的二次以上(含二次)的项,得
除以。
后便得到
(1)式.作为一个实例,可把y=X写成f(x,y)=y-xr-的形式,由
(1)式推出
的代数式).他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现,即:
其中A表示曲线y二f(x)下的面积.从《流数简论》可以看出,他是用如下方法推导这一重要定理的:
设y表示曲线f(x)下的面积dbc(图11.13),并把它看作垂
平行移动,描绘出面积x和y,它们随时间而增加的速度是be和be,”显
然,be=l而be二f(x).因此,牛顿认为面积y随时间的变化率是
这显然等价于
(2)式,就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐
标.他把求积问题看作求变化率的逆过程,即把y看作f(x)的积分(不定积分).
牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系.如果面积y=
在解决了基本的微积分问题后,牛顿乂进一步提出变量代换法,它
变量z=l+x=,其流数比为
这便是我们熟知的幕函数微分公式,它的现代形式为
类似地,牛顿在积分中也采用了代换法,并在稍后的着作中总结出代换积分公式.这个问题将在下面讨论.
《流数简论》中,牛顿还导出函数的积和商的微分法则.设y二u(x)・v(x),则山讣算流数之比的基本法则得到
至于函数和的微分,牛顿认为是显然的,没有作为公式列出.
山于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念,明确提出一般性的微积分算法,特别是提出微积分基本定理,所以说他“发明”了微积分.不过,他当时只是观察到这一重要定理,至于定理的证明则是在他的第二本微积分着作中才出现的.
二、《运用无穷多项方程的分析学》
(下简称《分析学》)
在这本书中,牛顿假定曲线下的面积为
z=axn,
其中m是有理数.他把x的无穷小增量叫x的瞬,用。
表示.由曲线、x轴、y轴及x+o处纵坐标所围成的面积用z+oy表示(图11.14),其中oy是面积的瞬,于是有
z+oy=a(x+o)n・
根据二项式定理
考虑到z=ax\并用。
去除等式两边,得
略去仍然含。
的项,得
y=maxi-1・
这就是相应于面积Z的纵坐标y的表达式,或者说是面积Z在点的变化率
(即半)°
这个结果袤明,若面积2二宓血给出,那么构成这个面积的曲dx
线为y二max"
;
反之,若曲线是y=max"
,则它下面的面积是z=ax\在这里,牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法,而且证明了微积分基本定理.从计算角度来说,他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)
(ax"
)'
在证明了面积的导数是y值,并断言逆过程是正确的以后,牛顿给出下面的法则:
若y值是若干项的和,则面积是山每一项得到的面积的和,用现在的话来说,就是函数之和的积分等于各函数的积分的和:
f[F(x)+f'
(x)+…+f*(x)]dx二J'
f1(x)dx
+jf'
(x)dx+…+ffn(x)dx.
他对如下的积分性质也有明确认识:
faf(x)dx=aff(x)dx.
他利用上述知识得到各种曲线下的面积,解决了许多能表成和式的问题.
在此基础上,牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法.例如
为了对汗—进行积分,他将f除以b+纸得到D+X
a2a2xa2x2a2x3
然后对这个无穷级数逐项积分,得
他说,只要b是x的倍数,取最初儿项就可以了.
y=l-x:
+x;
—x6+x3—•••
(1)
y=x_:
—x_;
+x^~xz+•••
(2)
他说,当X很小时,应该用
(1)式,若X较大就必须用
(2)式了.可见他已意识到级数收敛和发散的区别,不过还没有提出收敛的概念.
同《流数简论》相比,《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上.牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和,这种观念与现代是接近的.为了求某一个区间的确定的面积即定积分,牛顿提出如下方法:
先求出原函数,再将上下限分别代入原函数而取其差.这就是着名的牛顿一莱布尼茨公式,是他与莱布尼茨各自独立发明的.若采用现代数学符号,该公式可表述为:
若F(x)是f(x)在区间[a,b]
中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题,所以它是十分重要的.
《分析学》中还有其他一些出色的成果,例如,书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法),导出正弦级数及余弦级数,等等.
到此为止,牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法.不过他在概念上仍有不清楚的地方.第一,他的无穷小增量。
是不是0牛顿认为不是.既然这样,运算中为什么可以略去含。
的项呢牛顿没有给出合乎逻辑的论证.第二,牛顿虽然提出变化率的概念,但没有提出一个普遍适用的定义,只是把它想象成“流动的”速度.牛顿自己也认为,他的工作主要是建立有效的计算方法,而不是澄清概念,他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证.”牛顿的态度是实事求是的.
三、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)
这是一部内容广泛的微积分专着,是牛顿在数学方面的代表作.在前两部书的基础上,牛顿提出了更加完整的理论.
从书中可以看出,牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段.他把随时间变化的量,即以时间为自变量的函数称为流量,以字母表的后儿个字母V,x,y,z来表示;
把流量的变化速度,即变化率称为流数,以表示流量的字母上加点的方法来表示,如玄,和以前用的瞬的慨念仍然保留,并且仍用。
表示.
他在书中明确表述了他的流数法的理论依据,说:
“流数法赖以建立的主要原理,乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理,这就是:
数学量,特别是外延量,都可以看成是由连续轨迹运动产生的;
而且所有不管什么量,都可以认为是在同样方式下产生的.”乂说:
“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以(至少在理论上说)使之连续减小,直至……比任何一个指定的量都小.”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的,他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题.
第一类:
已知流量的关系求它们的流数之比,即已知y=f(x)或
例如书中的问题1:
如果流量x和y之间的关系是E—ax'
+dxy—y*0,求它们的流数之比.
程中的x和y,得
展开后利用x3-ax:
+axy-y3=0这一事实再把余下的项除以o,得
至此牛顿说:
“我们已假定。
是无限微小,它可以代表流动量的瞬,所以与它
相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有.因此我把它们丢掉,而剩下
从表面看,这种方法与《流数简论》中的方法一致.所不同的是,
在《简论》中!
和塔只被看作运动速度,丽在这里却表示一般意义的流
数.《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义.
例如,假定y=x=,牛顿首先建立
然后用二项式定理展开右边,消去y=x"
用。
除两边,略去仍含。
的项,结果得
当然,在对具体函数微分时,不必采用无穷小而可直接代入公式.
第二类:
已知一个含流数的方程,求流量,即积分.
(X),则
p(Cx))夕GOdx=JfGOdu
(1)
这个公式表明,只要所求的积分可表为⑴左边的形式,则令u=@
(龙),即可化为F(u)对u的积分,积分后再用Q&
)代u就行了。
《流
数简论》中,牛顿在具体积分中已经采用了这种方法,只是到这时才明确总结出公式.从《简论》及《流数法》两书来看,他推导此式的思路大致如下:
由⑵,⑶得
山微积分基本定理,得
牛顿在书中还推出分部积分公式,即
fuv'
dx二uv-fvu'
dx.
其中u和V都是X的函数.若求juLdx有困难而求fvurdx比较容易时,就可利用分部积分公式求积分.
牛顿总结了他的积分研究成果,列成两个积分表,一个是“与直线图形有关的曲线一览表”,另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”.这两个表为积分工作提供了许多方便.
至此,牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法,他当时统称为流数法.他充分认识到这种方法的意义,说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”,它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题.”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途,下面略举儿例.
例1,在'
'
问题3——极大值和极小值的确定”中,牛顿给出了通过解方程
f‘(x)=0来求f(x)极值的方法.他写道:
“当一个量取极大值或极小值时,它的流数既不增加也不减少,因为如果增加,就说明它的流数还是较小的,并且即将变大;
反之,如果减少,则情况恰好相反.所以求出它的流数,并且令这个流数等于
0.”他用这种方法解出了九个问题.其中之一是求方程x3-aX:
+axy-y3=0中x的最大值.他先求出x和y的流数之比,得
即3y:
=ax.
把上式代入原方程后,就很容易求得相应的x值和y值了.
例2,已知曲线方程为x3-ax:
+axyy3=0,AB和BD分别为曲线上D点的横、
纵坐标,求作过D点的切线(图11.15).牛顿先求得流数之间的关系
山此得出
因BD=y,所以
牛顿说:
“给定D点后,便可得出DB和AB,即y和x,BT的长度也就给定,
由此可确定切线TD.”
例3,在'
问题12——曲线长度的确定”中,牛顿采用流数法计算弧长.设
QR是给定曲线,RN丄MN,牛顿分别记MN=s.NR=t,QR=v(图11.16),它们的流数分别为s,t,v,然后“想象直线\R向右移动到最接近的可能位置nr,由R向nr引垂线RS,则MN,NR和QR分别增加RS,Sr和Rr.”牛顿说:
“因为RS,Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的
比,又考虑到ZRSr为直角,所以有Jr必+胪二Rr,因此十"
若换成现在通用的坐标X,y和弧长S,则牛顿的结果为
只要对t积分,就可求出弧长sT.
综上所述,《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展,而且提供了更加有效的计•算方法.但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小,因而同《分析学》一样出现逻辑困难.他尝试建立没有无穷小的微积分,于是有《曲线求积术》(下简称
《求积术》)之作.
四、牛顿的极限理论
牛顿的四部微积分专着中,《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版
(1704)的一部.在书中,导数概念已被引出,而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数.牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了,他算出许多复杂图形的面积•阿达玛(J.Hadamard,1865-1963)称赞说,该书“论述的有理函数积分法,儿乎不亚于目前的水平.”
值得注意的是,在《求积术》中,牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积
分.他在序言中明确指出:
“数学的量并不是山非常小的部分组成的,而是用连续的运动来描述的.直线不是一部分一部分的连接,而是山点的连续运动画出的,因而是这样生成的;
面是山线的运动,体是山面的运动,角是山边的旋转,时间段落是曲连续的流动生成的.”在这种思想指导下,他放弃了无穷小的概念,代之以最初比和最后比的新概念.为了求函数y二x"
的导数,牛顿让x“山流动”而成为x+
o,于是疋变为
的最后比等于1比nx^1.所以量x的流数与量X的流数之比等于1比nx心.”牛顿认为这个比即增量的最初比,可见最初比与最后比的实质是一样的,都表示y关于x的导数,或者说是y对于x的变化率.用现在的符号可写成y‘二nf.
牛顿还对他的最后比作出下面的儿何解释:
如图11.17,假定be移向BC,使得c和C重合,那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于ACET的各边之比,即把这些增量看作初生量的最初比.”他说,“只有点C与c完全重合了,直线CK才会与切线(CH)重合,而CE、Ec、Cc的最后比才能求出.”显然,他是把切线CH当作割线CK的极限位置.
实际上,早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中,牛顿就表述了明确的极限思想.他说:
“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比,而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限.它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小,但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它.”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中,牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上,他用极限观点解释了微积分中的许多概念.例如,他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合.牛顿指出,当这些平行四边形(相当于今天讲定积分儿何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时,就成为“消失的平行四边形”,而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了.牛顿在《原理》中阐发的极限思想,成为他撰写《求积术》的理论基础.当然,他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义.
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