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4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式:
a2±
2ab+b2=(a±
b)2.
其中,a2±
2ab+b2叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·
2x·
3y+(3y)2=(2x-3y)2.
下列变形是否正确?
为什么?
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
点拨
(1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解.
(2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能进行分解.
(3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,而且在有理数范围内也不能分解.
知识点4分组分解法
(1)形如:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
(2)形如:
x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2
=(x+1)2-y2
=(x+y+1)(x-y+1).
把多项式进行适当的分组,分组后能够有公因式或运用公式,这样的因式分解方法叫做分组分解法.
知识规律小结
(1)分组分解法一般分组方式不惟一.
将am+an+bm+bn因式分解,方法有两种:
方法1:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
方法2:
am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).
(2)分组除具有尝试性外,还要具有目的性,或者分组后能出现公因式,或者分组后能运用公式.
am+an+bm+bn分组后有公因式;
x2-y2+2x+1分组后能运用公式.
分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,如何恰当分组是解题的关键,常见的分组方法有:
(1)按字母分组;
(2)按次数分组;
(3)按系数分组.
把下列各式因式分解.
(1)am+bm+an+bn;
(2)x2-y2+x+y;
(3)2ax-5by+2ay-5bx.
知识点5关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
事实上:
x2+(p+q)x+pq
=x2+px+qx+pq
=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q).
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用这个公式,可以把二次三项式因式分解,当p=q时,这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2,是完全平方式,可以运用公式分解因式.
把x2+3x+2分解因式.
(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1×
2,一次项系数3=1+2,这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
解:
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
典例剖析师生互动
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括:
(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式;
(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.
例1用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay;
(2)6xyz-3xz2;
(3)-x3z+x4y;
(4)36aby-12abx+6ab;
(5)3x(a-b)+2y(b-a);
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
(分析)
(1)~(4)题直接提取公因式分解即可,(5)题和(6)题首先要适当的变形,其中(5)题把b-a化成-(a-b)的,(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y),然后再提取公因式.
(1)ax-ay=a(x-y)
(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).
(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1).
(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)
=(m-x)(m-y)(x-m)
=-(m-x)2(m-y).
小结运用提公团式法分解因式时,要注意下列问题:
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号不能再分解.
如:
(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)
=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]
=(x+y)(4m-6n).
=2(x+y)(2m-3n).
(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少,减少统一计算出现误差的机率,这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).
分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.
本题既可以把(x-y)统一成(y-x),也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便,因为(x-y)2=(y-x)2.
a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2
=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2
=(y-x)2[a+b(y-x)+c]
=(y-x)2(a+by-bx+c).
(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成积的形式.
(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b)
=8(a-2b)2.
学生做一做把下列各式分解因式.
(1)am+an;
(2)(xy+ay-by);
(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b);
(4)3x(a-b)-2y(b-a);
(5)4p(1-q)3+2(q-1)2;
(6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.
老师评一评
(1)原式=a(m+n)
(2)原式=y(x+a-b);
(3)原式=2(2a+b)2;
(4)原式=(a-b)(3x+2y);
(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2);
(6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay).
例2把下列各式分解因式.
(1)m2+2m+1;
(2)9x2-12x+4;
(3)1-10x+25x2;
(4)(m+n)2-6(m+n)+9.
(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.
(1)m2+2m+1=(m+1)2.
(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.
(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.
(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1;
(2)(x+y)2-4(x+y-1).
老师评一评
(1)原式=(x2+3)2;
(2)原式=(x+y-2)2.
例3把下列各式分解因式.
(1)x2+7x+10;
(2)x2-2x-8;
(3)y2-7y+10;
(4)x2+7x-18.
(分析)二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1,常数项10=2×
5,一次项系数7=2+5,所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子,可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.
(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).
(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).
(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).
(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).
小结对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解,①pq>0,则p,q同号,若p+q>0,则p>0,q>0;
若q+p<0,则p<0,q<0;
②若pq<0,则p,q异号,若p+q>0,则绝对值大的为正数,若p+q<0,则绝对值大的为负数.
(1)m2-7m+12;
(2)x2y2-3xy-10;
(3)(m-n)2-(m-n)-12;
(4)x2-xy-2y2.
老师评一评
(1)原式=(m-3)(m-4);
(2)原式=(xy-5)(xy+2);
(3)原式=(m-n-4)(m-n+3);
(4)原式=(x-2y)(x+y).
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括:
(1)用分组分解法分解因式;
(2)与方程组的综合应用;
(3)与几何知识的综合应用;
(4)几种因式分解方法的综合应用.
例4分解因式.
(1)x3-2x2+x;
(2)(a+b)2-4a2;
(3)x4-81x2y2;
(4)x2(x-y)+y2(y-x);
(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.
(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.
(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.
(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).
(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).
(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)
=(x+y)(x-y)2.
(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2
=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]
=2a·
(2b+2c)
=4a(b+c).
例5利用分组分解法把下列各式分解因式.
(1)a2-b2+a-b;
(2)a2+b2-2ab-1;
(3)(ax+by)2+(ay-bx)2;
(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.
(分析)分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式,其中
(1)题分组后存在公因式,(3)题需去括号后重新分组,
(2)和(4)题分组后能运用公式.
(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)
=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).
(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1
=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).
(3)(ax+by)2+(ay-bx)2
=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2
=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2
=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)
=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)
=(a2+b2)(x2+y2).
(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1
=(a2-2ab+b2)-(c2+2c+1)
=(a-b)2-(c+1)2
=[(a-b)+(c+1)][(a-b)-(c+1)]
=(a-b+c+1)(a-b-c-1).
小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;
如果没有公因式或提取公因式后,通常分下列几种情况考虑:
(1)如果是四项或四项以上,考虑用分组分解法;
(2)如果是二次三项式或完全平方式,则考虑用x2+(p+q)x+pq型式子或完全平方公式分解因式;
(3)如果是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式.
最后,直到每一个因式都不能再分解为止.
例6解方程组
(分析)本题是一个二元二次方程组,就目前的知识水平来说,用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5,再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中,即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.
由①得(x+2y)(x-2y)=5,③
把②代入③中得x+2y=5,④
∴原方程组化为
②+④得2x=6,∴x=3.
②-④得4y=4,∴y=1.
∴原方程组的解为
学生做一做解方程组
老师评一评
例7若a,b,c是三角形的三边,且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0,试判断这个三角形的形状.
∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.
即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
由平方的非负性可知,
∴a=b=c.
∴这个三角形是等边三角形.
例8利用因式分解计算下列各题.
(1)234×
265-234×
65;
(2)992+198+1.
(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.
65=234×
(265-65)
=234×
200=46800.
(2)992+198+1=992+2×
99×
1+1
=(99+1)2=1002
=10000.
学生做一做利用因式分解计算下列各题.
(1)7.6×
199.9+4.3×
199.9-1.9×
199.9;
(2)20022-4006×
2002+20032;
(3)5652×
11-4352×
11;
(4)(5
)2-(2
)2.
老师评一评
(1)原式=1999;
(2)原式=1;
(3)原式=143000O;
(4)原式=28.
例9若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k=.
(分析)完全平方式是形如:
2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2,
∴±
kxy=2·
3x·
6y=36xy.
∴k=±
36.
学生做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k=.
老师评一评k=3或k=-9.
探索与创新题
例10计算
.
(分析)本题旨在考查因式分解的灵活运用,即
=a-b(a+b≠0).
解:
原式=
+…
+
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004)
=(-1)×
(2004÷
2)
=-1002.
例11若x2+kx+20能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有()
A.2个B.3个C.4个D.6个
(分析)若把x2+kx+20在整数范围内因式分解,由式子x2+(p+q)x+qq考虑把20分解因数,20可分解为:
20×
1,(-20)×
(-1),10×
2,(-10)×
(-2),5×
4,(-5)×
(-4),所以k可能取的值有:
20+1,(-20)+(-1),10+2,(-10)+(-2),5+4,(-5)+(-4),故k可能取的值有6个,所以正确答案为D项.
例12分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.
(分析)把x4+x2作为一个整体,用一个新字母代替,从而简化式子的结构.
令x4+x2=m,则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
=m2-m-12+10
=m2-m-2
=(m-2)(m+1)
=(x4+x2-2)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).
学生做一做求证:
四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数.
老师评一评设这四个连续自然数依次为n,n+1,n+2,n+3,则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.
例13若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积,试确定m的值.
(分析)用待定系数法,令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.
设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+acy2+(b+d)x+(ad+bc)y+bd.
对比多项式的系数得
由③,⑤两式可得b=-8,d=3,或b=3,d=-8.
(1)当b=-8,d=3时,得a=9,c=-2,⑥
(2)当b=3,d=-8时,得a=-2,c=9.⑦
∴m=-18.
学生做一做已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.
老师评一评由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+
(a+2b)x+b.
对比多项式系数可得
中考展望点击中考
中考命题总结与展望
本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现,直接以分解因式单独命题的并不多,但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的,应在学习中引起充分的重视.
中考试题预测
例1
(1)分解因式:
a2-25=;
(2)分解因式:
xy2-x2y=;
(3)分解因式:
x2-1=;
(4)分解因式:
3x2-3=;
(5)分解因式:
x2+2xy+y2-4=;
(6)分解因式:
x3y2-4x=;
(7)分解因式:
2x2-2=;
(8)分解因式:
a3+2a2+a=;
(9)分解因式:
x3y-4xy+4y=;
(10)分解因式:
a2-2ab+b2-c2=.
(分析)
(1)直接运用平方差公式分解即可.
(2)直接运用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法,x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4
=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式,再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x(x2y2-4)=
x(xy+2)(xy-2).
答案:
(1)(a+5)(a-5)
(2)xy(y-x)(3)(x+1)(x-1)(4)3(x+1)(x-1)(5)(x+y+2)(x+y-2)
(6)x(xy+2)(xy-2)(7)2(x+1)(x-1)(8)a(a+1)2(9)y(x-2)2(10)(a-b+c)(a-b-c)
例2下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是()
A.x2-yB.x2+2yC.x2+y2D.x2-xy+y2
答案:
B
例3将多项式a2-ab+ac-bc分解因式,分组的方法共有种.
(分析)一种是:
a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc);
另一种是:
a2-ab-ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc),
∴分组方法共有2种.
例4x2-y2-x-y分解因式的结果是.
(x+y)(x-y-1)
例5将下列式子因式分解:
x-x2-y+y2=.
(x-y)(1-x-y)
(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组.
由①得(x-2y)(x+y)=0,③
把②代入③中,得x-2y=0,④
原方程组化为
②-④得3y=2,∴y=
把y=
代入④中,得x=
例7为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式,则b可能取的值为.(任写一个)
(分析)这是一个开放性试题,答案不惟一,依据的是式子x2+(p+q)x+pq.
-8
例8把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是()
A.(1-x-y)(1+x-y)B.(1+x-y)(1-x+y)
C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)
(分析)解决本题采用分组分解法.
1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2)
=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y).
故此,正确答案为B项.
课堂小结本节归纳
1.本节主要学习了:
用提公因式法分解因式;
用公式法分解因式;
用分组分解法分解因式;
形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式的因式分解.
2.会运用因式分解解决计算问题.
自我评价知识巩固
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于()
A.3B.-5C.7.D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是()
A.2B.4C.6D.8
3.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果是()
A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)2
4.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为()
A.2(5x-2y)2B.-2
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