高中数学第5章推理与证明51合情推理和演绎推理513514演绎推理合情推理与演绎推理的关系讲义含Word格式文档下载.docx

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三段论的形式

把下列演绎推理写成三段论的形式．

（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；

（2）一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

（3）三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．

[自主解答]　

（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，（大前提）

在一个标准大气压下把水加热到100℃，（小前提）

水会沸腾．（结论）

（2）一切奇数都不能被2整除，（大前提）

2100＋1是奇数，（小前提）

2100＋1不能被2整除．（结论）

（3）三角函数都是周期函数，（大前提）

y＝tanα是三角函数，（小前提）

y＝tanα是周期函数．（结论）

三段论的推理形式

三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；

a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；

a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．

1．用三段论的形式写出下列演绎推理．

（1）若两角是对顶角，则此两角相等．所以若两角不相等，则此两角不是对顶角；

（2）矩形的对角线相等．正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；

（3）y＝sinx（x∈R）是周期函数．

解：

（1）两个角是对顶角，则两角相等，（大前提）

∠1和∠2不相等，（小前提）

∠1和∠2不是对顶角．（结论）

（2）每一个矩形的对角线都相等，（大前提）

正方形是矩形，（小前提）

正方形的对角线相等．（结论）

（3）三角函数是周期函数，（大前提）

y＝sinx是三角函数，（小前提）

y＝sinx是周期函数．（结论）

三段论在几何证明中的应用

如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B，证明：

平面AB1C⊥平面A1BC1.（写出每一个三段论的大前提、小前提、结论）

[自主解答]　因为菱形的对角线互相垂直，（大前提）

侧面BCC1B1是菱形，（小前提）

∴B1C⊥BC1.（结论）

若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，（大前提）

B1C⊥A1B，B1C⊥BC1，且A1B∩BC1＝B，（小前提）

∴B1C⊥平面A1BC1.（结论）

若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，（大前提）

B1C⊂平面AB1C，B1C⊥平面A1BC1，（小前提）

∴平面AB1C⊥平面A1BC1.（结论）

在三段论的应用过程中，往往多次用到三段论，类似这种命题证明的形式叫作复合三段论形式．事实上，每一次三段论的大前提并不一定写出，每一次三段论的小前提也并不一定写出，根据题意，如果是前面已证的结论，则可以省略．

2．如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：

ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．

证明：

因为同位角相等，两条直线平行，（大前提）

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）

所以FD∥AE.（结论）

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE∥BA，且FD∥AE，（小前提）

所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）

因为平行四边形的对边相等，（大前提）

ED和AF为平行四边形AFDE的对边，（小前提）

所以ED＝AF.（结论）

演绎推理在代数中的应用

已知函数f（x）＝ax＋

（a>

1），求证：

函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．

[自主解答]　对于∀x1，x2∈I，且x1<

x2，若f（x1）<

f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数．

（大前提）

设x1，x2是（－1，＋∞）上的任意两数，且x1<

x2，则

f（x1）－f（x2）＝ax1＋

－ax2－

＝ax1－ax2＋

－

，

∵a>

1，且x1<

x2，∴ax1<

ax2，x1－x2<

0.

又∵x1>

－1，x2>

－1，∴（x1＋1）（x2＋1）>

∴f（x1）－f（x2）<

∴f（x1）<

f（x2）．（小前提）

∴函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．（结论）

应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件（小前提），根据需要引入相关的适用的定理和性质（大前提），并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．

3．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明

＜

因为不等式（两边）同乘以一个正数，不等号不改变方向，（大前提）

b＜a，m＞0，（小前提）

所以mb＜ma.（结论）

因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，（大前提）

mb＜ma，（小前提）

所以mb＋ab＜ma＋ab，即b（a＋m）＜a（b＋m）．（结论）

因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，（大前提）

b（a＋m）＜a（b＋m），a（a＋m）＞0，（小前提）

所以

，即

.（结论）

已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：

MN∥平面ACD.

[巧思]　已知条件中由重心想到重心分中线为2∶1的两段，进而得出平行，这是演绎推理思想的体现．

[妙解]　如图所示，连接BM，BN并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.

因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，

所以P，Q分别是AD，DC中点．

又因为

＝

，所以MN∥PQ.

又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，

所以MN∥平面ACD.

1．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是（　　）

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

解析：

由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：

矩形都是对角线相等的四边形，故应选B.

答案：

B

2．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理（　　）

A．结论正确　　　　　　　　B．大前提不正确

C．小前提不正确D．全不正确

因为f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，所以小前提不正确.

C

3．某人进行了如下的“三段论”：

如果f′（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．你认为以上推理的（　　）

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．结论正确

若f′（x0）＝0，则x＝x0不一定是函数f（x）的极值点，如f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．

A

4．已知结论“函数y＝2x＋5的图象是一条直线”，若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________________．

大前提：

一次函数的图象是一条直线，

小前提：

函数y＝2x＋5是一次函数，

结论：

函数y＝2x＋5的图象是一条直线．

一次函数的图象是一条直线

5．演绎推理证明“y＝x2，x∈（－∞，0）是减函数”时，大前提是________．

大前提是：

减函数的定义．

在x∈D内，若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），

小前提是：

y＝x2，x∈（－∞，0）时，对x1＜x2，

有f（x1）＞f（x2），

y＝x2，x∈（－∞，0）是减函数．

减函数的定义

6．将下列演绎推理写成三段论的形式．

（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．

（2）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，所以∠A＝∠B.

（3）由通项公式an＝2n＋3可知数列{an}为等差数列．

（4）Rt△ABC的内角和为180°

（1）平行四边形的对角线互相平分，（大前提）

菱形是平行四边形，（小前提）

菱形的对角线互相平分．（结论）

（2）等腰三角形两底角相等，（大前提）

∠A，∠B是等腰三角形的两底角，（小前提）

所以∠A＝∠B.（结论）

（3）数列{an}中，若当n≥2时，an－an－1为常数，则数列{an}为等差数列，（大前提）

由通项公式an＝2n＋3可知：

当n≥2时，则an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常数），（小前提）

数列{an}为等差数列，（结论）

（4）三角形的内角和为180°

，（大前提）

Rt△ABC是三角形，（小前提）

Rt△ABC的内角和为180°

一、选择题

1．《论语·

学路》篇中说：

“名不正，则言不顺；

言不顺，则事不成；

事不成，则礼乐不兴；

礼乐不兴，则刑罚不中；

刑罚不中，则民无所措手足；

所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（　　）

A．类比推理　　　　　　B．归纳推理

C．演绎推理D．一次三段论

这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

2．下列推理过程属于演绎推理的是（　　）

A．老鼠、猴子与人在身体结构上大有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验

B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…得出1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2

C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每个顶点与对面重心的连线）交于一点

D．通项公式如an＝cqn（c，q≠0）的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列

A、C是类比推理，B是归纳推理，D是演绎推理．

D

3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（　　）

A．大前提：

无限不循环小数是无理数；

π是无理数；

π是无限不循环小数

B．大前提：

π是无限不循环小数；

π是无理数

C．大前提：

D．大前提：

无限不循环小数是无理数

对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；

对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；

对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；

对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．

4．已知f（x）＝x

，求证：

f（x）是偶函数．

f（x）＝x·

，其定义域为{x|x≠0}，

又f（－x）＝（－x）

＝－x·

＝x·

＝f（x），

∴f（x）为偶函数．

此题省略了（　　）

A．大前提　　　　　　　　　B．小前提

C．推理过程D．“三段”全没省略

此题省略了“偶函数的定义”这一大前提．

二、填空题

5．已知a＝

，函数f（x）＝ax，若实数m，n满足f（m）>

f（n），则m，n的大小关系为________．

因为当0<

a<

1时，函数f（x）＝ax为减函数，（大前提）

a＝

∈（0,1），（小前提）

所以函数f（x）＝

x为减函数．（结论）

故由f（m）>

f（n），得m<

n.

m<

n

6．补充下列推理的三段论：

（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.

（2）因为y＝sinx在

上是增函数，又因为______________，所以sin

>

sin

（1）a＝－8　

（2）

∈

且

7．“由（a2＋a＋1）x>

3，得x>

”的推理过程中，其大前提是________．

∵a2＋a＋1＝

2＋

0，

∴（a2＋a＋1）x>

3⇒x>

其前提依据为不等式的乘法法则：

a>

0，b>

c⇒ab>

ac.

ac

8．关于函数f（x）＝lg

（x≠0），有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当x>

0时，f（x）是增函数；

当x<

0时，f（x）为减函数；

③f（x）的最小值是lg2；

④当－1<

x<

0或x>

1时，f（x）是增函数；

⑤f（x）无最大值，也无最小值．

其中所有正确结论的序号是________．

显然f（－x）＝f（x），

∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称．

当x>

0时，f（x）＝lg

＝lg

设g（x）＝x＋

，可知其在（0,1）上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数，

∴f（x）在（0,1）上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数．

[f（x）]min＝f

（1）＝lg2.

∵f（x）为偶函数，∴f（x）在（－1,0）上是增函数．

①③④

三、解答题

9．将下列演绎推理写成三段论的形式：

（1）函数y＝x

的图象不过第四象限；

（2）四边形内角和为360°

，则长方形的内角和为360°

（1）幂函数的图象不过第四象限，（大前提）

函数y＝x

是幂函数，（小前提）

的图象不过第四象限．（结论）

长方形是四边形，（小前提）

长方形内角和为360°

10．设m∈（－2,2），求证：

方程x2－mx＋1＝0无实根．（用三段论形式证）

因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式Δ＝b2－4ac<

0，那么方程无实根，（大前提）

一元二次方程x2－mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4，当m∈（－2,2）时，Δ<

0，（小前提）

所以当m∈（－2,2）时，方程x2－mx＋1＝0无实根．（结论）