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利用
f(x1)·
f(x2)<
探求x1与x2之间的零点。
例1:
实数k取何值时,函数
f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2在(0,1)和(1,2)内各有一个零点?
(答案:
k∈(-2,-1)∪(3,4))
例2:
函数f(x)=x3-x2-4x+4(x∈R)在(-3,3)内是否有零点,有几个零点?
3个)
函数的单调性
例3:
若f(x)=2ax+4,在[-2,1]存在x0,使f(x0)=0,求a的取值范围。
)
例4:
求证:
函数
在定义域内有且只有一个零点。
如此新课,可以将的主动思维融于数学内容之中,将的思维活动暴露给,使沉浸于对新知识的期盼、探求的情境之中,积极的思维活动得以触发.
自主性运用不当可能产生的偏差。
新课程在强调自主性的教学实践中可能回存在着忽视作用的唯()自主化的倾向。
二次方程根的分布
在二次方程根的分布时,课堂气氛是相当活跃的。
已经大致知道可以用“韦达定理”解决“两个正根”、“两个负根”、和“一正一负两根”的问题,在此基础上可以用函数的观点引导判断两个根在任何范围的方法。
以下是上课的例题:
例:
当m取何值时,x2+2mx+2m+1=0的两根
(1)在-4的两侧;
(2)在-4与-2的两侧;
(3)一根在-4与2之间,另一根大于2;
(4)均大于-4;
(5)在-4与2之间;
这些问题都是有解答讨论之中得到解答,无外乎指点一下是否要讨论“Δ”,是否要讨论“对称轴”等细节。
所以这节课在“闹哄哄”的状况下结束,自己也觉得充分调动了积极性。
但是通过几次练习反馈,才发现至少一半在解决这类问题不是多条件,就是少条件,或者思路怪异,因此笔者回想起在把握这堂课时没有作充分的总结。
所以,在练习时把这类问题重新总结一遍,讨论此类问题只要分辨三个问题:
“Δ”、“对称轴”、“区间端点的函数值”,然后由这三个方面分别再例举例题进行辨析……
因此,我们很多课堂教学看似充分体现了的主体性,但实际上因为作用的丧失,主体性的发挥也受到他们自身水平的限制,致使他们的认知水平仍在原有水平上徘徊。
解决课堂教学有效性问题的关键在于既要真正发挥的主体性,又要努力发挥好的引领相统一的过程。
就算具备了一定的自主学习的能力,的引领仍然是必要的。
2.创设求知情境,培养思维的创造性
思维的创造性是指思维活动的创新程度,表现为分析、解决问题时的方式、方法和结
果的新颖、独特.这些良好思维品质的形成,必将逐步提升为一种创新意识和创造能力.
课例:
分析函数
的函数性质.
背景:
这个内容是新教材在幂函数章节中新增的,较为系统的内容.以往也知道这个知识点的重要,都在课上适当补充,但是都比较零碎。
这学期重新完整该段内容时,可以充分利用这个函数图像作好“文章”。
“文章一”:
对称中心怎么找?
在
中心确定的时候,一般用第三章刚补充的函数图像平移来说明中心的来历。
引例:
作出
的图像。
具体过程如图所示。
在开始接受时,思路非常顺畅。
当时一旦例举诸如
时,分离常数技巧的差异就比较大,有相当一部分分离时有些困难,在和周围同学的帮助下,也能解决这个问题:
,当这个任务完成以后,对中心坐标的判断又开始费劲了,首先不习惯看出中心的横坐标是
,纵坐标是
,其次不知道这个函数在各自的单调区间里是“增”还是“减”函数,也就是不知道这个
起什么作用。
在三一番解释后,开始有些顿悟,此时个别的思维开始活跃起来。
分别产生以下几个想法:
有说:
“这个函数的中心的提炼是不是就象找类似二次函数
顶点的方法。
”
“中心的横坐标
就是该函数定义域中去掉的那个数,中心的纵坐标
好象就是该函数两个单调减区间的分界线。
“那
不就是这个函数值域中去掉的那个数嘛。
在这些的启发下,最后有一位说:
“这个函数中心的判断不用分离常数,其实么中心的横坐标就是定义域去掉的那个数,即当分母为0时‘x’的取值;
而纵坐标就是分子分母前‘x’的系数比。
当这些“意外”的结论由口中道出以后,对这个函数的“亲切感”马上增加,通过对中心的探索,把该函数的定义域、值域和单调性等性质都复习了一遍,加强了前后知识的联系,同时活跃的课堂气氛点燃敏锐的洞察能力,合作学习激发了思维的敏捷性。
“文章二”:
以上结论在反函数中的功用
在反函数的时候,这个函数此时又出现,作为我写了这么一道题:
已知:
的反函数就是它本身,求a.
本题的用意非常明确,希望不必真的去做反函数,只要在原函数里找一个点,比如
,然后必定知道反函数过
,再把它代入该函数,就把a的值确定好了。
但是,当我还在黑板上演算的时候,有几个已经把答案“a=-3”说出来了,他们的方法还要简便,那就是这个函数的值域是
,所以反函数的定义域也是它,那么a不就等于-3嘛。
因此我准备的另一道习题:
“若函数
的反函数的对称中心为(a,1),求a.”也毫无“悬念”地被口算出“a=1”。
尽管“玄机”被轻易道破,但是在这节课给予我,给予的意外收获是远远超过了预想的教学目标,再一次验证思维的敏捷性已经步入了“思前想后”的成熟阶段。
3.剖析函数的新概念,培养思维的广阔性
思维的广阔性是指对一个事实能作出多方面的解释,对一个对象能用多种形式表达,对一个问题能给出各种不同的解法,对同一个问题的不同预设条件给予不同的回答.
的引入和应用
这个内容不仅是一个函数性质应用的载体工具,同时也是前一章“不等式”的拓广,在最值的选取上能够进一步培养思维的严密性、全面性。
从图像的直观到解析式的变形过程也是思维成熟发展的过程。
首先根据教材,应用描点法或借助媒体向解释
通过图像让找出在
时函数的值域(或最值)。
引申:
那么请想一想,
的最小值是多少呢?
(背景:
这个问题是在学习不等式性质中,很多在课外学习中遇到的问题,当时很难理解为什么最小值不是2。
然后此时开始让在解决此类问题时注意观察,体验,该函数的变式,从而达到培养思维的严密、完整的教学目的。
4.运用新函数知识和方法,培养思维的深刻性
思维的深刻性主要表现在理解能力强,能抓住定理、法则、方法的核心及知识的内在联系,准确地掌握知识的内涵及使用的条件和范围.在用掌握的知识解决不同问题时,能抓住问题的实质,能抓住问题的关键.
思维的深刻性其实也是一个巩固深化阶段:
是深刻理解数学概念之后,应立即引导运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题(或其他问题),在运用中巩固概念.使认识到数学概念,既是进一步学习数学理论基础,又是进行再认识的工具.如此往复,使的学习过程,成为实践—认识—再实践—再认识的过程,达到培养思维深刻性的目的.
当然,应用的设计应由易到难,循序渐进,形成梯度,拾级而上,以促进思维的合理过渡.
通过数形结合的方法讨论方程解的个数
准备知识:
①在初中阶段,对二次方程ax2+bx+c=0解的个数与“a”,“Δ”的关系如数家珍,并且大部分基本了解ax2+bx+c=0解的个数和与f(x)=ax2+bx+c与x轴的交点存在一定联系。
②其次,在不等式学习阶段和函数学习开始阶段,关于二次函数根的分布也让初步
建立起“函数”与“方程”之间转化、“图像交点”与“方程解集”之间转化的内在关联。
③在解决根的分布时,有些也向展示过“分离参数”解决“至少存在一个根”、“不等式恒成立”等问题。
当然以上这些知识点还是比较程序化,可以通过反复训练来加深对它们的理解,因此在学习完幂、指、对等新函数后,我们对不同方程的解集的估计和判断就必须领走上新的台阶,课时可以安排在完成“指对数方程”学习之后。
台阶第一格:
方程log3(x+3)-3x=0的个数是个。
分析:
在刚学完指对数方程后,显然这个方程是不符合他们学过的任何类型,好在这个函数也不需要真的解决具体的根,所以自然有想到看图像的交点吧。
可是,又会想难道要画f(x)=log3(x+3)-3x的图像,显然又是一个“不可能任务”,所以会把“分离参数”的方法用上,把它分成两个简单函数相互相等。
解:
由log3(x+3)-3x=0,得log3(x+3)=3x,
令:
f(x)=log3(x+3),g(x)=3x
在同一坐标系作出两个图像:
所以,通过的草图发现,该即含有对数,又含有指数的方程的解的个数一目了然,此时可以适当让探求解的大致范围。
台阶二:
在方程中存在未知系数与解的个数关系。
若a∈R,讨论方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的解的个数。
此时开始知道要把方程分离,很多得到如下一个方程组关系:
,令:
f(x)=(x-1)(3-x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,g(x)=a-x
图像的表现是这样的:
对于一名没有学过解析几何的高一来说,很难理解一次函数g(x)=a-x的图像中的“a”的变化如何决定它与二次函数图像的交点。
由于思维定势,受了上一道例题的影响,可能会出现诸如此类的方法。
其实,已经忘记了分离参数求交点与本节课的联系,本题完全可以用分离参数的方法解决交点问题,只是本题是借助对数的形式引出二次函数,即带有定义域的二次函数。
如图:
得:
当
时,无解;
时,一解;
时,两解。
练习1:
设α是3-x=lgx的解,β是3-x=10x的解,求α+β的值。
(3)
练习2:
若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数k的取值范围。
(k<
0或k=4)
5.分析错解成因,培养思维的批判性
思维的批判是指思维严谨而不疏漏,能准确地辨别和判断,善于觅错、纠错,以批判的眼光观察事物和审视思维的活动.
深化阶段:
对数学概念的理解要防止片面性.除在运用概念时,用典型的例子从正面加深对概念的理解、巩固概念之外,还应针对——某些概念的定义中有些关键性的字眼不易被所理解,容易被忽视;
某些概念的条件比较多,常顾此失彼,不易全面掌握;
某些概念与它的邻近概念相似,不易区别;
等等——举反例,从反面来加深对概念的内涵与外延的理解,培养思维的批判性.
“作业订正”、“试卷分析”是指导进行批判性思维的大好时机。
“完成作业”对大部分来说是一种“任务意识”,完全违背了“让课后复习上课内容”的初衷,所以往往对问题思考不透彻;
同样由于时间限制,在课堂测验中对问题的理解也有一定的片面和限制。
因此,对于“作业订正”、“试卷分析”知识简单的报答案,或写过程,那未免过于枯燥,对于那些会做的而言是浪费时间,对于不会的而言,也只是一个记录答案的过程。
所以通过作业、试卷反馈培养批判性思维可以采取以下一个简单模式:
列举错误正确方法回顾知识巩固练习
两个变量存在相互制约条件时,求最值
课本上有这么一类习题:
设方程x2-2ax+a+6=0的两实根为α、β,求(α-1)2+(β-1)2的最小值。
例举错误:
(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-2(α+β)+2
=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4a2-2(a+6)-2•2a+2=4a2-6a-10
=
∴
这是一个非常明显的错误,平方和怎么可能为负呢?
正确方法:
因为方程有两个实数根,所以Δ=4a2-4a-24≥0,
所以a≥3或a≤-2.
由图像得:
当a=3时,(α-1)2+(β-1)2有最小值8。
回顾知识:
知识点1:
两个变量的解析式,需要考虑其中的相互联系,在我们建立函数关系式已经强调。
知识点2:
学会由图像观察最低点,或者之间通过计算与对称的远近关系,确定最值。
巩固练习:
(课内或课后补充)
ex1:
已知x2+4y2=4x,x,y∈R,求x2+y2的最大值。
∴取x=4时,x2+y2的最大值为16。
注法二:
由x2+4y2=4x得,
这是一个椭圆如右图,其中
显然,x2+y2的最大值即
的最大值是16.这是一种数形结合的方法.
ex2:
已知二次函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1,m∈R,其图像与x轴相交于A、B两点,坐标为
(α,0)、(β,0),求α-1)2+(β-1)2的最小值。
由题意得:
,
∴(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2
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- 函数 零点