江西省九所重点中学玉山一中临川一中等届高三联合考试数学文试题含答案解析Word下载.docx
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中,点D在线段
上,且满足
,点Q为线段
上任意一点,若实数x,y满足
A.4B.
10.已知函数
的图像关于直线
对称,且当
成立,若
,则(
11.已知四棱锥
中,底面
为边长为
的正方形,侧面
底面
,且
为等边三角形,则该四棱锥
外接球的表面积为(
12.已知函数
二、填空题
13.函数
的图像在点
处的切线方程为__________.
14.已知非零向量
满足
,向量
在向量
方向上的投影为2,则
______.
15.已知数列
的前n项和为
,且数列
16.已知双曲线
,其左右焦点分别为
,点P是双曲线右支上的一点,点I为
的内心(内切圆的圆心),
的内切圆的半径为______.
三、解答题
17.已知向量
.
(1)求函数
的最小正周期;
(2)在
中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
,求
的面积的最大值.
18.如图,在四棱锥
中,底面四边形
为菱形,点E为棱
的中点,点O为边
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)若侧面
,求点B到平面
的距离.
19.2022年2月4日至2月20日,北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣,从某大学随机抽取了600人进行调查,经统计男生与女生的人数之比是
,对冰壶运动有兴趣的人数占总数的
,女生中有50人对冰壶运动没有兴趣.
(1)完成下面
列联表,并判断是否有99.9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?
有兴趣
没有兴趣
合计
男
女
50
600
(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人,若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员,求选出的2人中至少有一位是女生的概率.
附:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20.已知椭圆
的左右焦点分别为
,其离心率
,过左焦点
的直线l与椭圆交于A,B两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图过原点的直线
与椭圆C交于E,F两点(点E在第一象限),过点E作x轴的垂线,垂足为点G,设直线
与椭圆的另一个交点为H,连接
得到直线
,交x轴于点M,交y轴于点N,记
、
的面积分别为
的最小值.
21.已知函数
(1)讨论函数
的单调性;
(2)令函数
,若对
恒成立,求实数a的取值范围.
22.在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为
(
为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,点P的坐标为
的值.
23.已知函数
(1)当
时,解不等式
(2)若对
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
化简集合A,B,根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
∵集合
∴
故选:
B.
2.A
由准线方程写出抛物线标准方程,即可得参数a的值.
由已知抛物线的方程可得:
,其准线为
所以其标准方程为
,即
A.
3.A
由直线垂直得到
的值,从而求出答案.
由
得:
或
,故
是
的充分不必要条件,即A选项正确.
A
4.C
画出不等式组所表示的平面区域,结合图象确定目标函数的最优解,代入即可求解.
画出不等式组
所表示的平面区域,如图所示,
目标函数
可化为直线
当直线
过点
时,直线
在
轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,
又由
,解得
所以目标函数的最小值为
C.
5.C
利用三角函数图象变换规律求解即可.
由题意可得
图象是由
的图象向左平移
个单位长度,得
,再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得
6.D
AC均可举出反例,B选项,l与平面
内两条相交直线垂直才能推导出
,故不正确,D选项,可以利用面面垂直的判定定理证明.
对于A:
若
∥
或l与
相交,故A错误;
对于B:
要得到
,则需要l与平面
内两条相交直线垂直,只有
得不到
,故B错误;
对于C:
与
相交,故C错误;
对于D:
因为
,所以
,又
,则在
内存在直线
,使得
∥m,则
,故由面面垂直的判定定理可得
,即D选项正确.
D
7.B
,直接代入
值计算即可.
对于等差数列的前n项和满足
,知道
8.B
,结合
的最小值为点C到直线l的距离求解.
圆C的圆心为
,其中
的最小值为点C到直线l的距离,即
所以当
取最小时,
也取最小,即
B
9.D
由向量共线定理及推论得到
,再使用基本不等式求出最小值.
由题知点D满足
,由
,由点Q在线段
上,结合向量的三点共线定理可得
,当且仅当
等号成立,即D选项正确.
10.D
先得到
为偶函数,再构造函数
,利用题目条件判断单调性,进而得出大小关系.
函数
对称,可知函数
对称,即
为偶函数,构造
,当
上单调递减,且易知
为奇函数,故
上单调递减,由
D.
11.A
取侧面
和底面正方形
的外接圆的圆心分别为
,分别过
作两个平面的垂线交于点O,得到点O即为该球的球心,取线段
的中点E,得到四边形
为矩形,分别求得
,结合球的截面圆的性质,即可求解.
如图所示,在四棱锥
中,取侧面
作两个平面的垂线交于点O,
则由外接球的性质知,点O即为该球的球心,
取线段
的中点E,连
,则四边形
为矩形,
在等边
中,可得
在正方形
中,因为
,可得
在直角
所以四棱锥
外接球的表面积为
12.B
通过
解析式,
的值求得
关于
的表达式,结合导数求得所求的最小值.
的定义域为
又因为
令
时,
递增,
所以
在区间
递减;
的最小值为
,即B选项正确.
【点睛】
含参数的多变量的题目,结合方法是建立变量、参数之间的关系式,主要方法是观察法,根据已知条件的结构来进行求解.
13.
利用切点和斜率求得切线方程.
,故切点为
所以切线方程为
故答案为:
14.
先利用向量
方向上的投影为2计算出
,再平方求模长即可.
15.
根据通项公式和前n项和公式的关系求
,从而求得
,再利用裂项相消法求其前n项和即可.
对于数列
,∵
当
也满足上式,
则
=
16.
根据题意可得
,结合双曲线的定义可得
,在
中,利用余弦定理求得
,再根据
即可得出答案.
解:
,结合点I是
的内切圆的圆心可知
又有
,
再结合双曲线的定义可得
再根据
,由余弦定理可得
即
可得内切圆的半径角
17.
(1)
(2)
(1)利用数量积坐标运算得到
,再利用正弦函数的性质求解;
(2)由
,再利用余弦定理结合基本不等式得到
,然后利用三角形面积公式求解.
(1)
则其最小正周期
由余弦定理得
时取等号,
的面积
所以该三角形面积的最大值为
18.
(1)证明见解析
(1)取线段
的中点F,证明四边形
为平行四边形,即可得证;
(2)通过等体积法求距离,利用
即可求解.
的中点F,连
中,E,F分别为
的中点
且
又∵底面
是菱形,且O为
∴四边形
为平行四边形
又∵
在菱形
中,O为
的中点,
所以可得
又因为平面
,平面
知
令点B到平面
的距离为h,则
可知
所以点B到平面
的距离为
19.
(1)列联表见解析,没有
(1)由题意,根据男生与女生的人数之比是
,得到男生和女生人数,再根据冰壶运动有兴趣的人数占总数的
,女生中有50人得到相关数据,完成列联表;
根据列联表求得
再与临界值表对照下结论;
(2)先得到抽取8人中,抽到的男生人数和女生人数,由题意,利用古典概型的概率求解.
由题意,从某大学随机抽取了600人进行调查,经统计男生与女生的人数之比是
男生有
人,女生有
人,
又由冰壶运动有兴趣的人数占总数的
,所以有
人,没有兴趣的有200人,
因为女生中有50人对冰壶运动没有兴趣,所以男生有兴趣的有250人,无兴趣的有150人,
女生有兴趣的有150人,
可得如下
列联表:
250
150
400
200
所以没有99.9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.
对冰壶运动有兴趣的一共有400人,
从中抽取8人,抽到的男生人数、女生人数分别为:
(人),
记3名女生分别是a,b,c,5名男生分别是A,B,C,D,E,
则从中选出2人的基本事件是:
,共28个,
选出的2人至少有一位是女生的事件有18个,
所以选出的2人至少有一位是女生的概率
20.
(1)
(2)4.
(1)利用椭圆的定义可得
,结合条件即得;
(2)设直线
的方程为
,利用点差法可得
,进而可得直线
的方程可设为
,然后表示出
,再利用基本不等式即得.
由题知椭圆的离心率
的周长为8,
故椭圆的标准方程为
令直线
轴,则
由将点E,H代入椭圆的方程可得:
两式作差可得:
所以直线
的面积为
的最小值为4.
21.
(1)答案见解析
(1)对函数求导后,分
判断导数的正负,可求出函数的单调区间,
(2)对
恒成立,只要
的最小值大于等于零即可,所以对
两次求导,可判断
上单调递增,且
,然后分
讨论
的最小值即可
,得
对
恒成立,则
在R上单调递增,
上单调递减,在
上单调递增,
综上所述:
上单调递增,则
时,即
上恒成立,
满足题意,
则由零点存在性定理可得;
上存在唯一的零点
上单调递减,
所以对
与题设矛盾,舍去,
综上:
关键点点睛:
此题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调区间,利用导数解决不等式恒成立问题,解题的关键是对
求导后无法判断导数的正负,通过
上单调递增,而
,所以对
分情况讨论即可,考查数学分思想和数学转化思想,属于较难题
22.
(1)曲线C的普通方程为
,直线l的直角坐标方程为
(1)对曲线
的参数方程消去参数,求得其普通方程.根据极坐标和直角坐标的转化公式,求得直线
的直角坐标方程.
(2)写出直线
的标准参数方程并代入曲线
的普通方程,化简写出根与系数关系,由此求得
由曲线
知,
直线
直线l的标准参数方程为:
(其中t为参数),设A,B两点分别对应的参数为
将直线l的参数方程代入圆C的方程可得:
的值为
23.
(1)
(1)分类讨论解决绝对值不等式即可;
(2)先利用绝对值三角不等式得到
,再分类讨论即可.
的解集为
对任意
所以实数a的取值范围为
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- 江西省 重点中学 玉山 一中 三联 考试 数学 试题 答案 解析