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(4)n元集合的m元子集:
若集合A含有n个元素,则称其为n元集合。
他的每个子集含有m个元素,称为他的m元子集,这里,m=0,1,2,……,n。
一个n元集合共有2n个子集。
于是,有下面的幂集定义:
(5)幂集:
设A为集合,将A的所有子集构成的集合叫A的幂集,记做P(A)。
例1-1A={1,2,3}为一个三元集合,他可以有如下几种子集合
0元子集,即空集合:
Ø
;
1元子集:
{1},{2},{3};
2元子集:
{1,2},{1,3},{2,3};
3元子集:
{1,2,3}。
例1-2幂集计算
(a)A=Ø
,则
P(A)={Ø
};
(b)B={Ø
},则
P(B)={Ø
,{Ø
}};
(c)C={1,2,3},则
P(C)={所有子集}.
(6)空集:
不含任何元素的集合叫空集,记做Ø
。
也即某集合的0元子集,已如上两例。
再如:
集合B={x│x∈R且x2+1=0}。
因为方程x2+1=0的解为-1的两个平方根,所以无实数解,即集合B为空集,即B=Ø
按我们上述定义,空集是0元集合,是任何集合的0元子集。
所以说,
空集是一切集合的子集。
要点B)*****集合与集合之间的关系*****
1)集合与集合间的包含关系。
若集合A是集合B的子集,这时称A与B的关系为A
B或B
A,记做A
B。
按定义,显然有A
A和B
B等。
2)若集合A是集合B的真子集,记做A
显然有N
Z,Z
Q,Q
R,R
C。
3)某集合作为另一集合的元素,则集合与集合也具有隶属关系。
设:
A={{a},b,c},则有{a}∈A这种隶属关系,虽然{a}是集合。
又,集合A的幂集P(A)中的每个元素都隶属于P(A),而每个元素又都是集合。
4)全集。
一个具体问题的研究中,所涉及的集合都是某集合的子集,则称该集合为全集,记做E或U。
例如,北大应用文理学院计算机系二年级学生都修离散数学课。
这里,我们用A,B,C分别表示计算机系学生,学院二年级学生,修离散数学学生集合,则全集E自然应是应用文理学院。
显然,全集具有相对性。
就是说,不同的问题有不同的全集。
空集定理:
空集是唯一的。
采用反证法:
假设存在两个空集Ø
1和Ø
2,因为空集是任何集合的子集,必有Ø
1
2和Ø
2
Ø
1;
又根据集合相等的定义有Ø
1=Ø
2。
第二节集合的基本运算
设A,B,C为任意集合,在两集合之间可以有并、交、(相对,绝对)补、(对称)差运算.
1-2-1集合的五种基本运算定义
1.并集:
A∪B={x│x∈A或x∈B}。
例1-4集合的并运算
(1)A={1,2,3},B={4,5,6},A∪B={1,2,3,4,5,6};
2.交集:
A∩B={x│x∈A且x∈B}。
两集合的交运算产生的集合中的元素,同时属于两者,所以只能取相交部分。
例1-5集合的交运算
(1)A={1,2,3},B={4,5,6},A∩B=Ø
;
(2)A={计算机系全体学生},B={全校一年级学生},
A∩B={计算机系一年级学生};
3.相对补集:
A-B={x│x∈A且x不∈B}。
相对补集又叫差集,即从A中扣除与B相交部分。
若A,B两集合无相交部分,则结果等于左边A,说明A-B不等于B-A,相对补运算不满足交换律。
例1-6集合的相对补运算
(1)A={1,2,3},B={4,5,6},A-B={1,2,3}=A;
(2)A={1,2,3},B={4,5,6},B-A={4,5,6}=B;
4.绝对补集:
E为全集,A被E包含,A的绝对补集~A定义为全集与集合A的差集,即
~A=E-A={x│x∈E且x不∈A},即从E中扣除A。
5.对称差集:
A⊕B=(A-B)∪(B-A)即并运算的对称两边是两个集合相互做差运算,这与名称相对应,便于记忆。
但是,对称差集运算的另一个定义更便于理解,即
A⊕B=(A∪B)-(A∩B),即从A,B两集合中取消相交部分。
例1-7集合的对称差运算
(1)A={1,2,3},B={4,5,6},A⊕B={1,2,3,4,5,6};
(2)A={1,2,3},B={3,4,5},A⊕B={1,2,4,5};
1-2-2集合的并、交、补和对称差五种运算的文氏(JohnVenn)图表示
文氏图的最大优点是形象,直观。
通过文氏图进行集合运算和运算公式的证明非常方便。
遇到三种以上集合运算时,必须明确运算次序:
绝对补优先;
其余四种优先级相等。
需要提前的集合运算用括号括起来。
总体算式中,括号最优先,如同算术规则一样。
关于集合运算结果的性质,还有几个重要结论,无需加以证明,只需给以分析,因为其正确性是显而易见的。
对于这些等式,要求:
理解,承认,会用.
例如:
(1)(A∩B)
A;
(A∩B)
就是说(A∩B)必是A或B的子集合。
(2)A
(A∪B),B
(A∪B)。
就是说集合A,B必定是(A∪B)的子集。
(3)(A—B)
(B—A)
就是说(A—B)
其实,这些公式都是部分与总体的关系,不证自明.
1-2-4集合的基数计算
集合的元素有无穷多个,尽管数目可数,但其个数如何表示,数学家正在研究。
这里,我们只研究元素数目有限的集合。
基数的定义:
有限个元素的集合,例如元素数等于n的集合称为有穷集合。
否则A为无穷集。
有穷集合A所含元素的个数n称为集合A的基数,记做cardA=n。
有穷集合的基数计算—文氏图法
作为文氏图的应用,我们给出下面的例子。
例1-10某班学生有51人,懂英语的有25人,懂日语的有21人,这两门外语都不懂,但要求开设德语的有16人,问同时懂英语和日语的人数有多少?
解:
集合元素的计算步骤如下:
(1)确定集合范围:
设A,B分别为懂英语和懂日语的人集合,则同时懂英语和日语的人数为x;
(2)按题意画文氏图;
(3)列出方程,解方程:
(25—x)+(21—x)+x=51-16
解得x=11。
第二章二元关系
第一节二元关系的重要概念
2-1-1集合的笛卡儿积—产生有序对
1.定义有序对:
由两个元素x,y按一定顺序排列成的二元组叫一个有序对.
记做<
x,y>
。
其中,x是他的第一元素,y是第二元素。
把有序对的概念扩展,引出有序n元组概念。
有序n元组是一个有序对,其中第一元素是一个有序n-1元组,即<
x1,x2,......xn>
=<
<
x1,x2,....xn-1>
,xn>
在笛卡儿空间直角坐标系中,有序3元组<
x,y,z>
<
x,y>
,z>
是一个有序对,其第一元素是我们所熟悉的平面直角坐标系。
在那里,平面上的某点坐标为(1,3),通常与点的坐标(3,1)不相同,即有序对(x,y)不满足交换律。
显然,(x,y)与(y,x)不相等。
2.定义笛卡儿积:
设A,B为集合,由A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成的有序对集合,称为A和B的笛卡儿积,即AxB={<
│x∈A并且y∈B}。
例1-12令A={a,b},B={1,2}求:
(1)AxB={<
a,1>
,<
a,2>
b,1>
b,2>
}。
(2)BxA={<
1,a>
1,b>
2,a>
2,b>
设A1,A2,……An是n个集合,则n阶笛卡儿积记做:
A1xA2x……xAn={〈x1,x2,……,xn〉│x1∈A1并x2∈A2…并xn∈An}。
3.笛卡儿积具有以下性质:
方向性--产生了有序对。
(1)笛卡儿积通常不满足交换律。
即当A,B彼此不相等且A,B都不为Ø
时,
AxB≠BxA。
有序对三个字具有两个概念:
“有序”和“对”,即这对元素是有序出现的。
一旦交换了出现的顺序,就成了另一个有序对了。
(2)集合A,B中,只要一个是空集,则他们的笛卡儿积便为空集,即
AxØ
=Ø
xB=Ø
因为集合的笛卡儿积是在集合中元素的直接参与下产生的有序对,而空集中没有任何元素,自然空集与任何集合的笛卡儿积都无法构成任何有序对,自然产生空集。
并有
xA,BxØ
xB。
要点A)集合A,B的笛卡儿积AxB产生一个新的集合R,这个集合R的元素都是有序对。
称由有序对为元素构成的集合为二元关系,简称为关系。
显然,二元关系的第一元素属于A,第二元素属于B。
这就是说,集合A,B的笛卡儿积AxB使集合的元素建立了两两都为有序对的关系。
从此,集合有了名称,即有了用集合内元素的特性表征的名称。
所以说,关系这个集合不同与以往的普通集合。
2-1-2二元关系(又叫关系)
1.定义关系:
空集或集合的元素都是有序对,则称该集合为一个二元关
系,记做R。
2.定义A到B的关系:
设A,B为集合,AxB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系;
3.当A=B时,叫A上的二元关系。
若A有n个元素,例如n=3,则AxA就有3x3=9个元素,其子集数可有2(2n)=29=512个。
这些子集的任何一个,都可说是A上的二元关系。
要点B)显然,这样定义的二元关系不都具备特有的内涵。
如果将这些子集按某种性质横向归类,就会产生许多有意义的二元关系。
只将十个最常遇到的关系介绍于下,其中带*符号者为五个最重要的二元关系:
*
(1)空关系:
空集合,他是AxA的一个子集,也是A上的关系;
*
(2)全域关系EA={<
│x∈A且y∈A}=AxA;
*(3)恒等关系IA={<
x,x>
│x∈A};
*(4)小于等于关系LA={〈x,y〉│x,y∈A且x〈=y},即将所有第一项小于等于第二项的二元关系都列出;
*(5)整除关系DA={〈x,y〉│x,y∈A且x│y},即将所有第一项能整除第二项的二元关系都列出;
例2-1设A={a,b},R是P(A)上的包含关系,即
*(9)包含关系R={<
x,y>
│x,y∈P(A)且x
y},则P(A)上的包含关系
4.通常,给出一个关系有三种方法,介绍于下:
(1)集合表达式法:
用谓词给出表达式的要求,也即用谓词概括出所有元素的性质。
如,R={〈x,y〉│x,y∈A且x│y},
列出所有元素即R={<
1,1>
1,2>
1,3>
1,6>
2,2>
2,6>
3,3>
3,6>
6,6>
}。
(2)关系矩阵法:
首先给出关系矩阵的一般定义
令A={x1,x2,……,xn},R为A上的关系。
我们用MR表示R的矩阵表示,其矩阵元素为
r11r12……r1n
r21r22……r2n
(rij)=……rij……
rn1rn2……rnn
其中,我们定义
1xiRxj
rij=i,j=1,2,……,n
0xiRxj
(3)关系图法
以集合元素为图的顶点,以关系R内的有序对为有向线,第一元素指向第二元素.
要点C)2-1-3关系的性质
在集合A的诸多关系中,有许多具有重要意义。
之所以说他们具有重要意义,是因为他们具有许多在理论和应用中都很重要的性质。
设R是集合A上的关系,当他以某种特定形式出现时,我们便说他具备如下性质:
在实际问题中,集合A上的关系R可以以不同方式给出。
当然判别他们的性质,可以根据R的不同表达方式,采取不同方法,见下表。
********A={1,2,3}上关系R的性质判定表*********
给出方式R={〈x1,y1〉,〈x2,y2〉,〈x3,y3〉,……}
性质判别方式定义谓词关系矩阵关系图判别式
自反所有x(x∈A→主对角线元素每个顶点IA
R
EA
〈x,x〉∈R)都为1都有圈
例题:
R1={〈1,1〉,〈2,2〉};
x
R2={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈1,2〉,〈2,3〉}。
反所有x(x∈A→主对角线元素每个顶点IA∩R=Ø
自反〈x,x〉不∈R)都为0都没有圈
R1={〈1,1〉,〈1,2〉};
R2={〈1,3〉,〈3,2〉,〈1,2〉,〈2,3〉}。
对称所有x,y(<
x,y>
∈R对称矩阵顶点间无边R=R—1
→〈y,x〉∈R)或有双向边
R1={〈1,2〉,〈2,2〉};
R2={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈1,2〉,〈2,1〉}。
反所有x,y(<
∈R若rij=1顶点间无边R∩R—1
IA
对称且x≠y→i≠j或有单向边
〈y,x〉不∈R)rji=0
R1={〈1,1〉,〈1,2〉,〈2,1〉};
传递所有x,y,z(不存在M2中的1每个顶点xR。
R
R
*要点*xRy且yRz而无xRzM中同位到任意y无
的情况)也是1步长大于1;
有大于1的边
必有边直达.
R1={〈1,1〉,〈1,2〉,〈3,1〉};
R2={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉}。
*****需要补充一句就是:
若任何两顶点x,y∈V间不存在长度大于1的通路,则关系R具有传递性*****
要点D)2-1-4关系的运算
1.求关系的域
定义域:
R中所有有序对的第一元素的集合。
值域:
R中所有有序对的第二元素的集合。
域:
fldR=domR∪ranR为关系R的域。
例2-2求整数集合Z上的关系Ri(i=1,2,3)的定义域和值域。
(1)R1={<
x,y∈Z且x2+y2=1};
(2)R2={<
2,3>
3,4>
4,5>
};
(1)必须首先求出满足方程的解:
当x=1或-1时,必须有y=0;
若x=0则y=1或-1。
x,y取任何此外的数都无效。
即R1={<
0,1>
0,-1>
1,0>
-1,0>
},则domR1=ranR={-1,0,1}。
2.设F,G为集合A上的关系,则有如下定义的逆运算:
关系F的逆记做F-1,并有F-1={〈x,y〉且yFx}。
*要点*3.关系的复合运算(本教材采用左合成运算)
定义:
F。
G={〈x,y〉存在t使xGt且tFy成立}.
以上的复合运算可以概括成两句话:
寻找过渡的桥;
过河拆桥。
t即为过河的桥;
组成新有序对后,桥t被废除。
谁有资格作为桥t呢?
只有那些G的有序对的y与F的有序对的x相同者才行.
例2-3设F,G为自然数N上的关系,并有下列表达式:
F={<
x,y∈N且y=x2+1};
G={<
x,y∈N且y=x+1};
求
(1)G-1;
(2)F。
G;
(1)G-1={<
〡yGx}={<
1,0>
2,1>
3,2>
x+1,x>
,……};
(2)G={<
0,1>
3,4>
5,6>
,……},
然后,把G的有序对搬到F的左边,并把G的y与F的x对齐,便一目了然:
F={<
2,5>
3,10>
4,17>
……}
G={<
接下来,将加黑的桥拆掉,合成后的关系的有序对—G的x,F的y--就摆在眼前了:
F。
0,2>
1,5>
2,10>
3,17>
,……,<
x,(x+1)2+1>
,……}
={<
〡x,y∈N且y=(x+1)2+1};
符号集合
,∈,
,
,Ø
∪,∩,-,~,⊕,≠,│.
∪,∩,-,~,⊕。
例2-5设集合A={1,2,3},判断A上关系Ri的性质
R={<
以表达式形式给出的关系,例如
(1)—(5),最方便的办法是用判别式,所以
因为<
不属于IA,所以R不是自反的;
R与IA的交集不是空集,R也不是反自反的;
R与其逆并不相等,且R与其逆的交集中的<
不属于IA,所以,R既不是对称的,也不是反对称的;
R。
R中的<
不属于R,所以也不是传递的。
4.关系的并、交、补、差运算
由于关系是有序对的集合,所以,对于集合的运算都应该适合于关系的运算。
关系作为集合运算后的结果,依然是从A到B的关系。
5.关系的幂运算***
集合A上的关系R的n次幂,即R的n次复合运算,因而有如下定义:
(a)Ro={<
x∈A};
Ro=IA。
即A上任何关系R的0次幂都等于A的恒等关系IA。
显然,R。
RO=R=RO。
R。
以及
(b)Rn=Rn-1。
R和Rn+1=Rn。
例2-6设A={1,2,3,5),A上关系
3,5>
}
求:
RO,R1,R2,R3,R4,R5。
计算关系R的n次幂时,按关系的复合运算步骤及其幂运算公式
Ro=IA,
Rn=RN-1。
所以,关系R的幂运算三种方法依次表示如下:
(1)关系矩阵相乘方法:
R及2、3……各次幂的关系矩阵分别为M(R),M2,M3,…,按矩阵乘法规则,元素加法采用逻辑和.
(2)关系图法:
Ro,R2,R3…,n次幂的求法如下:
以R的图为基础,从第一顶点起,到其他顶点,若有步长等于2的有向线,则在R2的图中,必有一条直接到达的有向线;
然后看第二顶点,在R的图中寻找到其他顶点步长等于2的线。
如此,查完所有顶点。
注意:
步长2对应的是R的2次幂。
可见,步长3,4自然对应着R的3,4次幂。
2-1-5关系运算的性质
2)dom(R-1)=ranR;
ran(R-1)=domR;
3)满足结合律:
(F。
G)。
H=F。
(G。
H);
6)幂运算的性质定理
设:
R为集合A上的二元关系。
m和n都属于N,则下面等式成立
(1)Rm。
Rn=R(m+n);
(2)(Rm)n=R(mn)。
第二节等价关系与划分
2-2-1等价关系
1.等价关系定义:
设R是非空集合A上的关系,若R是自反的,对称的,传递的,则称R为A上的等价关系。
例2-11设A={0,1,…7},R={<
│x,y∈A且x=y(mod3)}。
其中,x=y(mod3)叫做x与y的模3相等。
可证R为A上的等价关系。
2.x关于R的等价类定义:
对于任何x∈A,令[x]R={y∈A,都有xRy}成立,则称[x]R为x关于R的等价类,简称x的等价类,记为[x]。
等价类[x]有如下性质:
(1)[x]是A的非空子集,即[x]
A。
(2)若xRy,则[x]=[y]。
(3)若不存在xRy,则[x]∩[y]=Ø
(4)所有[x]的并集=A。
3.商集定
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