秋季学期新版新人教版九年级数学上学期第24章圆单元复习教案13文档格式.docx

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4.圆是一种特殊曲线,它有独特的对称性,不仅是轴对称图形、中心对称图形,而且还有旋转不变性,它的对称性在本章性质的探究活动及实际生活中应用广泛,所以在本章教学中,要重视利用圆的对称性进行证明和计算.

24.1圆的有关性质

24.1.1圆（1课时）

24.1.2垂直于弦的直径（1课时）

24.1.3弧、弦、圆心角（1课时）

24.1.4圆周角（2课时）

5课时

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系（1课时）

24.2.2直线和圆的位置关系（2课时）

3课时

24.3正多边形和圆

1课时

24.4弧长和扇形面积

2课时

24.1　圆的有关性质

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.

2.探索并证明垂径定理.

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系.

4.理解并证明圆周角定理及其推论,并能应用其解决有关计算和证明.

1.结合相关图形性质的探索和证明,进一步发展推理能力.

2.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学方法.

3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作交流的良好学习习惯.

1.垂径定理.

2.圆心角、弦、弧之间的关系.

3.圆周角定理.

【难点】　探索并证明圆的有关性质,并解决一些实际问题.

24.1.1　圆

1.理解圆的定义,掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念.

2.通过对圆的相关概念的理解,能够从图形中识别“弦、直径”、“弧、优弧、劣弧”、“半圆、等圆、等弧”.

3.能应用圆的有关概念解决问题.

1.通过观察生活中存在的大量的圆形,提高学生识图能力,体会数学与生活息息相关.

2.通过探索圆的概念的过程,学会用猜想归纳的方法解决问题.

1.经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程,养成自主探究、合作交流的良好习惯.

2.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲.

【重点】　与圆有关的概念.

【难点】　理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等概念.

【教师准备】　多媒体课件1~6.

【学生准备】　预习教材P79~80.

导入一:

【课件1】　圆是常见的图形,生活中的许多物体都给我们以圆的形象（如图所示）.

　　[过渡语]　我们观察到的都是什么图形?

圆是我们生活中常见的几何图形之一,它在几何中有重要地位.圆的有关知识,我们将在这一章中了解认识.

导入二:

思考并回答:

1.你能举出生活中圆的哪些例子?

2.为什么车轮都做成圆形?

能不能做成正方形或长方形?

3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O之间的距离有什么关系?

【师生活动】　学生思考后回答,教师适当点评,导出本节课课题.

[设计意图]　通过欣赏图片,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会圆是实际生活中常见的图形,结合小学对圆的初步接触,让学生回忆圆的知识,思考圆的特征,为后面给出圆的定义做准备,这样从已有的知识体系自然地构建出新知识.

　　[过渡语]　实际生活中存在着大量的圆的图形,今天让我们一起认识什么是圆.

一、共同探究1

活动1:

思考并动手实践

你怎样画圆?

你能说出圆的形成有几种方法吗?

【师生活动】　学生思考后会用圆规作圆,教师引导还有没有其他画圆的方法,小组合作交流,共同观察思考圆的特征,老师点评.

活动2:

自主学习课本79页

【学生活动】　互相交流圆的概念及表示方法.

【课件2】　圆的定义:

如图所示,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”.

活动3:

根据圆的定义思考

1.篮球是圆吗?

太阳是圆吗?

（强调定义中的同一平面内.）

2.以3cm为半径画圆,能画出几个圆?

为什么?

（无数个,圆心不确定.）

3.以O为圆心画圆,能画出几个圆?

（无数个,半径不确定.）

【师生活动】　学生思考、操作,小组合作交流,展示结果,教师点评.

教师强调:

圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,圆心和半径两个元素确定一个圆.

[设计意图]　通过自学教材形成概念,培养自主学习、合作交流的能力.通过动手操作和生活实例形成圆的概念,体会数学中的建模思想.追加思考,让学生更深入地理解圆的概念,提高学生分析问题的能力.

二、共同探究2

【课件3】　思考并回答下列问题.

1.圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律?

2.到定点的距离等于定长的点又有什么特点?

【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,教师引导学生通过动手画图得到上述问题2的结论,学生回答问题后,教师点评,并归纳总结.

【课件4】　1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）.

2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

教师追问:

你能不能用动态的观点归纳圆的定义?

圆的第二定义:

圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

三、共同探究3

【课件5】　（教材例1）矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.

思路一

教师引导学生思考并回答:

圆的定义为　　　　　　　　,矩形的对角线的性质为　　　　　　　　. 

分析题意,题目中已知条件为:

　　　　　　　　,所求证结论为　　　　　　　　,要证明A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上,只需证明　　　　　　　　,由矩形的性质:

　　　　可得. 

【师生活动】　学生独立回答问题后,教师点评并分析如何建立几何模型.

证明:

∵四边形ABCD为矩形,

∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,

AC=BD.

∴OA=OC=OB=OD.

∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.（如图所示）

思路二

小组活动,共同探究,思考下列问题:

1.圆上的点到圆心的距离有什么特点?

2.要证明点在圆上,只需要证明什么?

3.矩形的对角线有什么性质?

4.如何把矩形的问题转化到圆上,进而解决问题?

5.你能写出证明过程吗?

【师生活动】　小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.

∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.

[设计意图]　师生共同探讨,通过探索证明点在同一个圆上的方法,找到几何问题之间的联系,为学习更多圆的知识做铺垫,同时提高学生利用圆的基本知识解决问题的能力.

四、共同探究4

自主学习课本80页

【学生活动】　互相交流和圆有关的概念及表示方法.

【课件6】

1.弦、直径.

连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.如图中,AB,AC是弦,AB是直径.

2.弧、半圆.

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A,B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.

大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如图中的;

小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的.

3.等圆、等弧.

能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出:

半径相等的两个圆是等圆;

反过来,同圆或等圆的半径相等.

在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

思考下列问题

1.直径是弦正确吗?

弦是直径呢?

直径是最长的弦吗?

2.半圆是弧正确吗?

弧是半圆呢?

半圆是最长的弧吗?

3.长度相等的两条弧是等弧吗?

【师生活动】　小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点.

[设计意图]　通过学生自主学习,掌握和圆有关的概念,培养学生自学能力,同时通过活动2加深学生对概念的辨析与再认识.

[知识拓展]　1.圆上各点到圆心的距离都等于半径.

2.到圆心的距离等于半径的点都在圆上.

3.圆可以看作到定点的距离等于定长的点的集合.

4.圆是一条封闭的曲线,是指圆周而不是指圆面,圆由圆心确定位置,由半径确定大小.

5.弦是一条线段,它的两个端点都在圆上.

6.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦.

1.圆的定义.

（1）在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.

（2）圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.

2.圆的元素:

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

3.和圆有关的概念:

弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧.

1.下列说法正确的是（　　）

A.直径是弦,弦是直径

B.半圆是弧,弧是半圆

C.等弧的长度相等

D.长度相等的两条弧是等弧

解析:

直径是弦,但弦不一定是直径,所以A错误;

半圆是弧,但弧不一定是半圆,所以B错误;

等弧是能够重合的弧,所以等弧的长度相等,但长度相等的弧不一定是等弧,所以C正确,D错误.故选C.

2.如图所示,在☉O中,弦的条数是（　　）

A.2

B.3

C.4

D.以上均不正确

观察可得AB,BC,BD,CD都是☉O的弦.故选C.

3.圆O的半径为3cm,则圆O中最长的弦长为　　　　. 

∵圆O的半径是3cm,∴圆O的直径是6cm,又直径是圆中最长的弦,∴圆O中最长的弦长为6cm.故填6cm.

4.证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.

已知:

如图所示,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别为DA,AB,BC,CD的中点.

求证:

点E,F,G,H在同一个圆上.

∵E,H分别为DA,DC的中点,

∴在ΔDAC中,EH∥AC,

同理得FG∥AC,EF∥DB,HG∥DB,

∴EH∥FG,EF∥HG,

∴四边形EFGH是平行四边形,

又∵AC⊥BD,

∴EH⊥HG,

∴四边形EHGF为矩形,

∴E,H,G,F在同一个圆上.

圆的第一定义:

例1

和圆有关的概念:

一、教材作业

【必做题】

教材第81页练习的1,2题.

【选做题】

教材第89页习题24.1的1题.

二、课后作业

【基础巩固】

A.周长相等的两个圆是等圆

B.长度相等的两条弧是等弧

C.同一条弦所对的两条弧是等弧

D.半径确定了,圆也就确定了

2.如图所示,AB是☉O的弦,∠AOB=80°

则∠A等于（　　）

A.50°

B.55°

C.65°

D.80°

3.过圆内的一点（非圆心）有　　　　条弦,有　　　　条直径. 

4.圆内最长的弦长为10cm,则圆的半径等于　　　　cm. 

5.如图所示的圆中有　　　　条直径,　　　　条弦,以点A为一个端点的劣弧有　　　　条. 

6.如图所示,已知OA,OB,OC是☉O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M,N分别为OA,OB的中点.求证MC=NC.

7.如图所示,AB是☉O的弦（非直径）,C,D是AB上的两点,并且AC=BD.求证OC=OD.

【能力提升】

8.如图所示,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,求BC的长.

9.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长.

10.如图所示,CD是☉O的直径,∠EOD=84°

AE交☉O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.

【拓展探究】

11.如图所示,两正方形彼此相邻且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆的直径上,小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,B,E两点在半圆O的直径上,点G在大正方形的边AB上,若小正方形的边长是4cm,求该半圆的半径.

【答案与解析】

1.A（解析:

周长相等的两个圆半径相等,所以是等圆,所以A正确;

长度相等的弧不一定能重合,所以B错误;

同一条弦所对的两条弧构成一个圆,不一定相等,所以C错误;

半径确定圆的大小,圆心确定圆的位置,两者共同确定一个圆,所以D错误.故选A.）

2.A（解析:

∵OA=OB,∴∠A=∠B,∵∠AOB+∠A+∠B=180°

∴∠A==50°

.故选A.）

3.无数　一（解析:

过圆内一点（非圆心）有无数条直线与圆相交,根据弦的定义可知过圆内一点（非圆心）有无数条弦;

两点确定一条直线,所以过圆心和该点只有一条直径.）

4.5（解析:

∵圆内最长的弦长为10cm,又直径是圆中最长的弦,∴圆的直径是10cm,∴圆的半径是5cm.故填5.）

5.1　3　4（解析:

根据圆的有关定义可得图中AB是直径,AB,CD,EF是弦,以A为一个端点的劣弧有,,,.）

6.证明:

∵OA,OB为☉O的半径,∴OA=OB,∵M是OA中点,N是OB中点,∴OM=ON,又∵∠AOC=∠BOC,OC=OC,∴ΔMOC≌ΔNOC,∴MC=NC.

7.证明:

分别连接OA,OB.∵OB=OA,∴∠A=∠B.又∵AC=BD,∴ΔAOC≌ΔBOD,∴OC=OD.

8.解:

∵AB是☉O的直径,∴OA=OB,∵D是AC的中点,∴AD=DC,∴OD是ΔABC的中位线,∴BC=2OD=8.

9.解:

连接OC.∵CD=4,OD=3,∴在RtΔODC中,OC==5,∴AB=2OC=10.

10.解:

连接OB.∵AB=OC,∴AB=BO,∴∠BOC=∠A,∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A,由OB=OE,得∠E=∠EBO=2∠A,∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,而∠EOD=84°

∴3∠A=84°

∴∠A=28°

.

11.解析:

设大正方形边长为2x,根据勾股定理可得半圆半径,连接圆心和小正方形右上顶点,也可得直角三角形,已知小正方形的边长,利用勾股定理即可求解.

解:

设大正方形的边长为2x,半圆的半径为R,则BO=x,AB=2x,∵小正方形的边长为4cm,∴BE=EF=4,连接OA,OF,由勾股定理,得R2=OB2+AB2=OE2+EF2,即x2+4x2=（x+4）2+42,解得x=4或x=-2（舍去）,∴R=4cm.∴该半圆的半径为4cm.

本节课由观察图形导入新课,让学生体会圆在实际生活中无处不在,可激发学生探究圆的知识的欲望.本节课的主要学习方式为自主学习、合作交流、共同探究、归纳总结,学生通过观察、操作、交流、归纳,理解圆及和圆有关的概念,由于本节课内容较为简单,故给了学生充分展示的舞台,学生交流后展示,其他组学生补充,让学生真正体会数学概念的形成过程,提高学生归纳总结能力.例题的探究与讨论,让学生体会到几何之间的互相转化,提高学生运用知识解决问题的能力.

由于这节课内容较少,加上小学对圆的认识,误

认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时概念的形成过程中有点过于急躁,造成学生对概念中的细节问题掌握不牢固.对形如例1这样的几何问题,不能找到新旧知识的联系,造成解题困难,在今后的教学中,应注重培养学生逻辑思维能力.

圆是一种常见的几何图形,它的应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为圆的问题加以研究.在教学中要重视圆的概念的形成和构建,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到解决图形问题的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.教学中多给学生交流的空间,通过与同学、老师之间的合作交流,体验数学学习带来的快乐.

练习（教材第81页）

1.提示:

拿一根5m长的绳子,站定一个位置,当做圆的圆心,再让另一个人拉紧绳子,绕走一圈,并画出走的轨迹即可.

2.解:

=0.575（cm）.

3.证明:

如图所示,取AB的中点O,连接CO.在RtΔABC中,∵AO=BO,∠ACB=90°

∴CO=AB,即CO=AO=BO.∴A,B,C三点在同一个圆上,圆心为点O.

本节课主要探究圆的定义和圆的有关概念,是对小学里已学过的圆的认识的巩固,也为本章即将探究的圆的性质打下基础.本节课的重点是通过观察、操作、归纳,理解圆的两种定义,理解弦（直径）、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧等和圆有关的概念,并通过讨论等活动提高学生用圆的相关知识解决实际问题的能力.课前准备生活中圆形图片,由生活实例入手,激发学生探究圆的知识的欲望,然后引导学生自主学习课本有关概念,通过合作交流解决疑难问题并强化知识点,把课堂真正交给学生,给学生足够的时间思考和探索.教师只是一个引导者,引导学生经历知识的形成过程,从而达到强化学习重点,提高学习能力,发展创新精神的目的.

　圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少.

〔解析〕　题目中说到最大距离和最小距离,我们首先想到的就是直径,然后过点P作圆的直径,从而得到圆的半径.通常情况下,我们进行的都是在圆内的有关计算,这逐渐成为一种习惯,使得我们忽略了圆外的情况,所以经常会出现漏解的情况.

如图所示,分两种情况:

（1）当点P为圆O内一点时,过点P作圆O的直径,分别交圆O于A,B两点,

由题意可得AP=2,BP=10,

所以圆O的半径为=6.

（2）当点P在圆外时,作直线OP,分别交圆O于A,B两点,

由题意可得BP=10,AP=2,

所以圆O的半径为=4.

综上所述,所求圆的半径为6或4.

24.1.2　垂直于弦的直径

1.通过观察试验,理解圆的轴对称性.

2.掌握垂径定理及其推论.

3.会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.

1.通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.

2.经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发

现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.

2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.

【重点】　垂径定理及其应用.

【难点】　探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题.

【教师准备】　多媒体课件1~5.

【学生准备】　圆形纸片、预习教材P81~83.

【课件1】　赵州桥（如图所示）是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.

　　[过渡语]　要解决这个实际问题,我们的知识储备还不够,通过这节课的学习,我们将