六年级奥数周周练 第27周 表面积与体积一 教师版Word格式文档下载.docx
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练习1:
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?
原来长方体的表面积:
(10×
5+6×
5)×
2=280(平方厘米)
(1)在顶点上挖,剩下部分的表面积不变:
280(平方厘米)
(2)在棱上挖,剩下部分的表面积:
280+2×
2=288(平方厘米)
(3)在面上挖,剩下部分的表面积:
4=296(平方厘米)
2、把一个长为12分米,宽为6分米,高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块,这两个小长方体的表面积之和,比原来长方体的表面积增加了多少平方分米?
(1)12×
6×
2=144(平方厘米)
(2)12×
9×
2=216(平方厘米)
(3)6×
2=108(平方厘米)
3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后,表面积会发生怎样的变化?
(1)在顶点上挖,剩下部分的表面积不变与原正方体相同;
(2)在棱上挖,剩下部分的表面积比原正方体增加:
1×
2=2(平方厘米);
(3)在面上挖,剩下部分的表面积比原正方体增加:
4=4(平方厘米)。
【例题2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来,如图27-4所示,拼成一个立体图形,求这个立体图形的表面积。
【思路导航】要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、左、前三个方向观察,每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。
而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。
整个立体图形的表面积可采用(S上+S左+S前)×
2来计算。
(3×
3×
9+3×
8+3×
10)×
2
=(81+72+90)×
=243×
=486(平方厘米)
答:
这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2:
1.用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
(1×
12+1×
7+1×
8)×
2=54(平方厘米)
这个立体图形的表面积是54平方厘米。
2.一堆积木(如图27-7所示),是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米?
[2×
9+2×
7+2×
(8+1)]×
2=200(平方厘米)
它们的表面积是486平方厘米。
3.一个正方体的表面积是384平方厘米,把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。
每个小正方体的表面积是多少平方厘米?
解法一:
大正方体一个面的面积:
384÷
6=64(平方厘米)
大正方体平均分成64个小正方体,每层4×
4=16个,4层,每一个小正方体一个面的面积:
64÷
16=4(平方厘米)
每个小正方体的表面积:
4×
6=24(平方厘米)
解法二:
因为64=4×
4,所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4倍,那么大正方体的表面积是小正方体的4×
4=16倍,小正方体的表面积是:
16=24(平方厘米)
每个小正方体的表面积是24平方厘米。
【例题3】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体,拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?
【思路导航】把两个相同的长方体拼成一个大长方体,需要把两个相同面拼合,所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。
要使大长方体的表面积最小,就必须使两个拼合面的面积最大,即减少两个9×
7的面。
(9×
7+9×
4+7×
4)×
2—9×
7×
=(63+36+28)×
4—126
=508—126
=382(平方厘米)
这个大长方体的表面积最少是382平方厘米。
练习3:
1.把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?
20×
2—20×
长方体的表面积是200平方厘米。
2.将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体,再将这两个长方体拼成一个大长方体。
求大长方体的表面积是多少。
将正方体分为两个长方体,表面积就增加了2个30÷
6=5平方厘米,再将这两个长方体拼成一个大长方体,表面积将减少两个拼合面的面积,正好是1个30÷
6=5平方厘米,所以大长方体的表面积是30+30+6=35平方厘米。
30÷
6=5(平方厘米)
30+5×
2-5=35(平方厘米)
大长方体的表面积是35平方厘米。
3.用6块(如图27-8所示)长方体木块拼成一个大长方体,有许多种做法,其中表面积最小的是多少平方厘米?
要是表面积最小,就要尽可能地把大的面拼合在一起。
拼成的大长方体是3厘米×
3厘米×
4厘米,表面积最小。
3+3×
2)×
2=66(平方厘米)
其中表面积最小的是66平方厘米。
【例题4】一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;
如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;
如果高增加4厘米,则体积增加96立方里,求原长方体的表面积。
【思路导航】我们知道:
体积=长×
宽×
高;
由长增加2厘米,体积增加40立方厘米,可知宽×
高=40÷
2=20(平方厘米);
由宽增加3厘米,体积增加90立方厘米,可知长×
高=90÷
3=30(平方厘米);
由高增加4厘米,体积增加96立方厘米,可知长×
宽=96÷
4=24(平方厘米)。
而长方体的表面积=(长×
宽+长×
高+宽×
高)×
2=(20+30+24)×
2=148(平方厘米)。
即
40÷
2=20(平方厘米)
90÷
3=30(平方厘米)
96÷
4=24(平方厘米)
(30+20+24)×
2=148(平方厘米)
原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4:
1.一个长方体,如果长减少2厘米,则体积减少48立方厘米;
如果宽增加5厘米,则体积增加65立方厘米;
如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。
原来长方体的表面积是多少平方厘米?
(48÷
2+65÷
5+96÷
2=122(平方厘米)
原来长方体的表面积是122平方厘米。
2.一个长方体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,其表面积减少了120平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米?
减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。
把两个合并起来,用120÷
(3+2)=24厘米,求到正方体底面的周长,正方体的棱长就是24÷
4=6厘米。
圆长方体的体积是:
(6+3+2)=396立方厘米。
120÷
(3+2)÷
4=6(厘米)
(6+3+2)=396(立方厘米)
原来长方体的体积是396立方厘米。
3.有一个长方体(如图27-9所示),它的正面和上面的面积之和是209。
如果它的长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少?
(单位:
厘米)
由题意可知,正面和上面的面积之和是209,所以长×
高=长×
(宽+高)=209,把209分解因数为:
209=11×
19,又因为长、宽、高都是质数,
(1)若长=19,宽+高=11,11是奇数,只能分解成一个奇数+一个偶数,而偶数中只有2是质数,11只能分成2+9,而9又不是质数,所以此情况不成立;
(2)若长=11,宽+高=19,同样19只能分成2+17,所以这个长方体的三个棱长分别为2,11,17。
体积:
11×
17=374(立方厘米)
这个长方体的体积是374立方厘米。
【例题5】如图27-10所示,将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
【思路导航】如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦。
实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。
这样,这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×
1.52×
2+2×
1.5×
1+2×
0.5×
1
=3.14×
(4.5+3+2+1)
10.5
=32.97(平方米)
这个物体的表面积是3297平方米。
练习5:
1.一个棱长为40厘米的正方体零件(如图27-11所示)的上、下两个面上,各有一个直径为4厘米的圆孔,孔深为10厘米。
求这个零件的表面积。
40×
6+3.14×
2=9851.2(平方厘米)
这个零件的表面积是9851.2平方厘米。
2.用铁皮做一个如图27-12所示的工件(两头无盖,单位:
厘米),需用铁皮多少平方厘米?
圆柱的平均长度:
(54+46)÷
2=50(厘米)
需用铁皮:
15×
50=2355(平方厘米)
下部圆柱面积:
46=2166.6(平方厘米)
上部三角形面积:
(54-46)÷
2=188.4(平方厘米)
2166.6+188.4=2355(平方厘米)
需用铁皮2355平方厘米。
3.如图27-13所示,在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知立方体棱长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求该立体图形的表面积和体积。
(1)如图所示:
外部表面积为:
6-4×
4-3.14×
(4÷
2)2×
2=510.88(平方厘米)
内部表面积为:
(10-4)+4×
(10-4)×
2+4×
2-3.14×
2=274.24(平方厘米)
总表面积为:
510.88+274.24=785.12(平方厘米)
(2)如图所示:
挖出部分的几何体体积为:
4+3.14×
(10-4)=331.36(立方厘米)
所求几何体体积为:
10-331.36=668.64(立方厘米)
该立体图形的表面积是785.12平方厘米,体积为668.64立方厘米。
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