人教版八年级数学下册 第18章《平行四边形》讲义 第11讲菱形及正方形精选教学文档.docx
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第11讲菱形、正方形
第一部分知识梳理
知识点一:
菱形的概念和性质
1、定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、基本性质:
(1)边:
菱形的四条边都相等;
(2)角:
菱形的对角相等,邻角互补;
(3)对角线:
菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角:
(4)对称性:
菱形是轴对称图形,中心对称图形,对称轴有两条;
(5)面积:
S=ab(其中a、b分别是菱形的两条对角线的长).或S=底×高。
知识点二:
菱形的判定方法
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)四边都相等的四边形是菱形;
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;
(4)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识点三:
正方形的基本概念
1、正方形的定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、基本性质:
(1)边:
正方形四条边都相等;
(2)角:
正方形的四个角都相等;
(3)对角线:
对角线相等且互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;
(4)对称性:
是中心对称图形,又是轴对称图形,对称轴有四条;
知识点四:
正方形判定
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(3)有一个角是直角的菱形是正方形;
(4)对角线相等的菱形是正方形。
第二部分考点精讲精练
考点1、菱形的性质
例1、菱形的一个内角是120°,一条较短的对角线的长为10,则菱形的周长是________
例2、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是________.
例3、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线长为_______cm。
例4、如图,菱形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF=60°,
∠BAE=18°,求∠CEF的度数。
例5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明:
四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
例6、如图,在菱形ABCD中,F为对角线BD上一点,点E为AB延长线上一点,DF=BE,CE=CF.
求证:
(1)△CFD≌△CEB;
(2)∠CFE=60°.
例7、已知:
如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)、若CE=1,求BC的长;
(2)、求证:
AM=DF+ME.
举一反三:
1、菱形ABCD中,∠A=60o,对角线BD长为7cm,则此菱形周长cm。
2、如图,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,△CND的周长是10,则AC的长为 .
3、如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH=( )
A、B、C、12D、24
(2)(3)
4、如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC, 连接 CE、OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:
OE=CD
(2)若菱形ABCD的边长为4, ∠ABC=60°,求AE的长.
5、如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
6、如图,△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是BC、BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.
(1)求证:
四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
7、已知:
如图,菱形ABCD中,过AD的中点E作AC的垂线EF,交AB于点M,交CB的延长线于点F.如果FB的长是,∠AEM=30°,求菱形ABCD的周长和面积。
考点2、菱形的判定
例1、在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列说法正确的是( )
A、如果AB=BC,AC⊥BD,∠A=90°,那么四边形ABCD是正方形
B、如果AC=BD,AC⊥BD,那么四边形ABCD是矩形
C、如果AB=CD,AD∥BC,那么四边形ABCD是平行四边形
D、如果AO=CO,BO=DO,BC=CD,那么四边形ABCD是菱形
例2、如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件是。
例3、如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:
①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形;③AD=4AG;④FH=BD;其中正确结论的是()
A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④
(例2)(例3)
例4、如图,已知过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证:
四边形EFGH是菱形。
例5、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证:
四边形ADCF是菱形.
例6、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.
(1)求证:
△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论
例7、如图,四边形BFCD为平行四边形,点E是AF的中点.
(1)求证:
CF=AD;
(2)若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD的形状,并说明理由.
例8、如图①,在□ABCD中,AF平分∠BAD,交BC于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E.
(1)求证:
四边形AFCE是平行四边形;
(2)如图②,若BE⊥EC,求证:
四边形ABFE是菱形.
变式训练:
1、下列条件能判定四边形是菱形的是()
A、对角线相等的四边形B、对角线互相垂直的四边形
C、对角线互相垂直平分的四边形D、对角线相等且互相垂直的四边形
2、顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,要使四边形EFGH是菱形,应添加的条件是()
A、AD∥BCB、AC=BDC、AC⊥BDD、AD=AB
3、如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可)
4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点,BF∥CE交DE的延长线于点F.
(1)求证:
四边形ECBF是平行四边形;
(2)当∠A=30°时,求证:
四边形ECBF是菱形.
5、已知:
如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,交BF于点C,BD平分∠ABC,交AE于点D,连接CD.求证:
四边形ABCD是菱形.
6、如图,点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)试判断四边形AECF的形状;
(2)若AE=BE,∠BAC=90°,求证:
四边形AECF是菱形.
7、如图,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,点F在BD上,且BE=DF连接AE并延长,交BC于点G,连接CF并延长,交AD于点H.
(1)求证:
△AOE≌△COF;
(2)若AC平分∠HAG,求证:
四边形AGCH是菱形.
考点3、正方形性质
例1、如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()
A、3cmB、4cmC、5cmD、6cm
例2、如图,在正方形ABCD中,AD=5,点E、F是正方形ABCD内的两点,且AE=FC=3,BE=DF=4,则EF的长为
(例1)(例2)
例3、如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP度数是()
A、45°B、22.5°C、67.5°D、75°
例4、如图,在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE,AE、BD交于点F,则∠AFB的度数为。
(例3)(例4)
例5、如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥CD,垂足为F,求证:
EF=AP
例6、已知:
如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:
AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.
例7、如图,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD.
求证:
(1)△APB≌△DPC;
(2)∠BAP=2∠PAC.
举一反三:
1、已知:
如图,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E、F分别是边AB、BC上的点,若AE=4cm,DF=3cm,且OE⊥OF,则EF的长为。
2、如图,正方形ABCD的周长为28cm,则矩形MNGC的周长是()
A、24cmB、14cmC、18cmD、7cm
(1)
(2)
3、一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示摆放,点G是BC中点,正方形对角线EG⊥BC,则∠AFE=()
A、10°B、15°C、20°D、25°
4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=40°,AD是△ABC的一条角平分线,点E,F,G分别在AD,AC,BC上,且四边形CGEF是正方形,则∠DEB的度数为
(3)(4)
5、四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:
△ADE≌△ABF;
(2)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
6、如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明:
∠BAE=∠FEC;
(2)求△AEF的面积.
7、正方形ABCD的中点E为正方形边上D→C→B之间任意一点,且满足DM⊥AE于点M,BN⊥AE于点N.
(1)求证:
△ABN≌DAM.
(2)DM,MN,NB有怎样的数量关系?
证明你的结论.
考点4、正方形判定
例1、在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA,连接EF,则下列三种说法:
①如果EF=AD,那么四边形AEDF是矩形②如果EF⊥AD,那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形其中正确的有()
A、3个B、2个C、1个D、0个
例2、在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,能判定这个四边形是正方形的是()
A、AO=BO=CO=DO,AC⊥BDB、AB∥CD,AC=BD
C、AO=BO,∠A=∠CD、AO=CO,BO=DO,AB=BC
例3、如图,在矩形ABCD中,AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线,E、F、G、H分别为它们的交点.求证:
四边形EFGH是正方形.
例4、如图,四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)请判断四边形EFGH的形状?
并说明为什么;
(2)若使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质?
例5、如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与
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