材料力学第六讲1要点Word文档下载推荐.docx
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称为纯弯曲;
既有剪力又有弯矩则称为横力弯曲。
弯矩则称为横力弯曲。
Fs
四、对称纯弯曲
MMMx
五、弯曲正应力的分析方法
•从简单到复杂,从简单到复杂,即从对称纯弯曲、即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、到一般横力弯曲、再到组合变形进行研究。
再到组合变形进行研究。
•连续体的静不定问题,连续体的静不定问题,综合几何、综合几何、物理和静力学三方面进行研究
6-2弯曲正应力
一、实验观测与假设
1.外部变形观测1.外部变形观测
•纵向线:
成圆弧线,成圆弧线,上方纵向线缩短,缩短,下方伸长
•横向线:
横向线:
保持直线,保持直线,与纵线正交
•顶与底部纵、顶与底部纵、横线变形比:
符合单向受力泊松效应
2.内部变形假设2.内部变形假设
•平面假设:
平面假设:
变形前为平面的横截面变形后横截面保持平面,变形前为平面的横截面变形后横截面保持平面,仍与纵线正交
单向受力假设:
纵向纤维不相互挤压,纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.只受单向拉压.
3.重要推论3.重要推论
•梁内存在一长度不变的过渡层-的过渡层-中性层•中性轴⊥截面纵向对称轴
•纯弯曲时梁的所有横截面仍保持平面,截面仍保持平面,并绕中性轴作相对转动,绕中性轴作相对转动,而所有纵向“而所有纵向“纤维”纤维”则均处于单向受力状态纵向纤维伸长纵向纤维缩短
二、弯曲正应力一般公式
1.几何方面
考察线段ab的变形:
的变形:
变形前:
ab=dx=ρdθ
中性轴
z变形后:
变形后:
a′b′=(ρ+y)dθ∴∆=a′b′−ab=ydθ∆ydθy==ε=dxρdθρy
y—坐标原点位于中性轴,坐标原点位于中性轴,ρ—中性层的曲率半径
2.物理方面ε=y
ρ
yσ=Eε=E由胡克定律和单向受力假设:
由胡克定律和单向受力假设:
3.静力学方面ρ中性轴位置?
ρ的大小?
z
MσdA=0∫A∫
1AydA=02A中性轴过形心x∫AyσdA=MEρ∫ydA=MMy2Iz=∫ydAρ=Az
My∴σ=Iz定义σdA
Myσ=Iz
三、最大弯曲正应力
•正应力沿截面如何分布?
正应力沿截面如何分布?
MyM=σmax=IzIz/ymax
定义WzIz=(抗弯截面系数)抗弯截面系数)ymax
第六章弯曲应力典型截面的惯性矩与抗弯截面系数(α=d
D)
小结
中性轴位置:
中性轴过截面形心
M(Iz-惯性矩)惯性矩)中性层曲率中性层曲率:
:
=ρEIz(EIz-截面弯曲刚度)截面弯曲刚度)1My正应力公式正应力公式:
σ(y)=IzσmaxM=Wz(Wz-抗弯截面系数)抗弯截面系数)
应用条件:
σmax≤σp,对称弯曲,纯弯与非纯弯
附录A截面几何性质
截面的几何性质:
与截面形状和几何尺寸有关的量。
我们已经学习了哪些截面的几何性质?
拉压:
扭转:
弯曲:
Fσ=,AFl∆l=EATρTTlτ=,τmax=,ϕ=IPWGIPPMy,σ=IzσmaxM=Wz
A,IP,WP,Iz,Wz——表征截面几何性质的量
A-1静矩与形心1静矩与形心
一、静矩
积分
Sz=
Sy∫=∫AAydAzdAoyz
dAz分别称为对坐标轴x和y的静矩
或一次矩。
静矩的量纲:
L3y
Sz=静矩:
二.形心.形心
∫
A
ydA,
回顾理论力学的质心计算公式:
质心计算公式:
均质等厚薄板质心位于中面形心
ycyc=
SySz
∴yc=,zc=
AA
或
Sz=yc⋅ASy=zc⋅A
•如果截面对某轴的静矩为零,如果截面对某轴的静矩为零,则该轴为形心轴。
则该轴为形心轴。
形心轴:
通过截面形心的坐标轴。
三、组合截面的静矩与形心
o
A1A2yo
A1
A2
y
A3
Sz=∫ydA
=∫ydA+∫ydA+∫ydA
=yc1⋅A1+yc2⋅A2+yc3⋅A3
Sz
yc==
∑S
n
i
∑y
=
ci
⋅Ai
Sz=yc=
例:
确定下图所示截面的形心位置
A1z
y解:
将截面分为两部分,将截面分为两部分,利用组合截面的公式:
利用组合截面的公式:
yc1⋅A1+yc2⋅A2yc=A1+A2
A-2极惯性矩2极惯性矩·
惯性矩·
惯性积一、截面对o点的极惯性矩或二次极矩
Ip=∫ρdA2Aoρ
dAyz二、截面对z轴或y轴的惯性矩
或二次轴矩
Iz=∫ydA,2AIy=∫zdA2Ay
三、一个恒等式Ip=Iz+Iy(Qρ=z+y)222
四、截面对z轴与y轴的惯性积
Iyz=∫yzdA
dAy
五、截面对z轴或y轴的惯性半径
iy=
iz=
A1A2y
六、惯性矩与惯性积的组合截面公式
Iz=∑Izi,Iy=∑Iyi,Iyz=∑Iyzi
i=1
nnn
A-3惯性矩与惯性积的平行移轴定理3惯性矩与惯性积的平行移轴定理Iz=∫ydA,2AIy=∫zdA2AIyz=∫yzdAA
一、惯性矩的平行移轴定理
Iz=∫ydA=∫(y0+a)dA22AA
=∫(y+2ay0+a)dAA202
QIz0=∫ydA∫Ay0dA=0A20
∴
同理:
Iz=Iz0+aAIy=Iy0+bA22Cy0z0-形心直角坐标系Oyz-任意直角坐标系二者平行
二、惯性积的平行移轴定理
Iyz=∫yzdAA
y=a+y0,z=b+z0Iyz=∫(a+y0)(b+z0)dAA
QIy0z0=∫Ay0z0dA,∫Ay0dA=0,∫Az0dA=0∴Iyz=
Iy0z0+AabCy0z0-形心直角坐标系Oyz-任意直角坐标系二者平行
求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩解:
方法一,方法一,如图将截面划分四块
1、求全截面形心轴位置A
2、求对各部分自身形心
轴的惯性矩
2Izi=∫ydA,i=1,2,3,4Aiyc=∑yci⋅Aii=14zA210A1A
4102020A3z0y
3、求对全截面形心轴惯性矩方法二:
方法二:
负面积法。
自行完成
思考:
下列计算是否正确?
其中C是截面形心。
是截面形心。
IZ2=IZ1+Aa
解:
不正确。
2•C
az1
z2因为Z1不是形心轴
例1撑杆跳过程中某刻跳杆曲1撑杆跳过程中某刻跳杆曲率为4.5m率为4.5m,4.5m,跳杆为增强玻璃钢直径40mm直径40mm,40mm,E=120GPa,E=120GPa,求此刻杆中的最大正应力。
杆中的最大正应力。
由弯曲曲率公式
可得:
M=ρEIz1ρ代入弯曲正应力公式:
MEIZEdσ====533.3MPaWZρWZ2ρM=EIz
例2截面为T截面为T字形的铸铁梁如图所示,字形的铸铁梁如图所示,欲使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1压应力之比为1:
3,试求水平翼缘的合理宽度b试求水平翼缘的合理宽度b。
中性轴的位置:
1)中性轴的位置:
+σmaxy11==−σmaxy23
y1+y2=400
→y1=100mm
2)求b:
y2=300mm(中性轴必过形心)
SZ=0SZ=yc1⋅A1+yc2⋅
A2=0
340⇒60b×
−(y1−30)+340×
30(y2−)=02
b=316mm
谢谢
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