教学设计《 数学人教A版高中选修23第一章 计数原理1Word格式.docx
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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;
求有理项时要注意到指数及项数的整数性
(二)课前设计
1.的展开式中,常数项为,则()
A.B.C.D.
解:
D
2.的展开式中常数项为.(用数字作答)
-42
3.若的二项展开式中的系数为,则.
2
2.问题探究
问题探究一
●活动一认知杨辉三角
在展开式中,当n=1,2,3,…时,各项的二项式系数是怎样的?
仔细观察,你能发现什么规律?
“杨辉三角”为什么会有这些规律呢?
二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数,当依次取…时,二项式系数表,表中每行两端都是,除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
●活动二函数观点认知二项式系数
设函数,这个函数的定义域是怎样的?
试以n=6为例作出的函数图象,观察函数图像,你能说出它的哪些性质?
展开式的二项式系数是,,,…,.可以看成以为自变量的函数
定义域是,例当时,其图象是个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵).
直线是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值.∵,
∴相对于的增减情况由决定,,
当时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;
当是偶数时,中间一项取得最大值;
当是奇数时,中间两项,取得最大值.
●活动三认知二项式系数
各二项式系数的和等于多少?
为什么?
∵,
令,则
●活动四二项式系数、系数的应用
1.二项式系数的性质
例1
(1)多项式x10=a0+a1(x-1)+a2·
(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为()
A.10B.45C.-9D.-45
【知识点:
二项式系数的性质】
Bx10=[1+(x-1)]10=1+(x-1)+(x-1)2+…+(x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10对任意实数x都成立,∴a8===45.
(2)二项式(1+sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为,则x在[0,2π]内的值为________.
详解:
或.由题意得T4=·
sin3x=20sin3x=,∴sinx=,∵x∈[0,2π],∴x=或.
(3)若的二项展开式中,x3的系数为,则二项式系数最大的项为________.
x3.∵,令12-3r=3,得r=3,∴a-3=,解得a=2.
故二项式系数最大的项为T4=(x2)3=x3.
点拨:
二项式系数、二项展开式中的项的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破.
2.用赋值法求二项式各项系数的和
例2在的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.
用赋值法求二项式各项系数的和】
分析:
因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.
设(*),
各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为.
②令,各项系数和为.
③奇数项的二项式系数和为,
偶数项的二项式系数和为.
④设,
令,得到…
(1),
令,(或,)得…
(2)
(1)+
(2)得,
∴奇数项的系数和为;
(1)-
(2)得,∴偶数项的系数和为.
⑤的奇次项系数和为;
的偶次项系数和为.
要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
3.综合运用
例3
(1)设a∈Z,且0≤a<
13,若512012+a能被13整除,则a=()
A.0B.B.1B.C.11B.D.12
二项式定理的应用】
A本题考查二项展开式的应用.512012=(52-1)2012=522012-522011+522010+…+×
52×
(-1)2011+×
(-1)2012,若想被13整除需加12,∴a=12.
(2)在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的()
A.第11项B.第13项C.第18项D.第20项
二项式定理,数列的应用】
D.(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数为==5+15+35=55,以-2为首项,3为公差的等差数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5,令an=55,即3n-5=55,n=20,故选D.
(3)将(n∈N*)的展开式中x-4的系数记为an,则________.
二项式定理,不等式的应用】
.第r+1项,令-2r=-4,∴r=2,
∴an=(-1)2=,
涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,需要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破,同时注意二项式定理和不等式、数列的综合应用.
3.课堂总结
【知识梳理】
二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用.
【重难点突破】
涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用.
4.随堂检测
1.的展开式中二项式系数的和为,各项系数的和为,二项式系数最大的项为第项.
11
2.的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为.
.展开式中只有第六项的二项式系数最大,,.
3.+++,则()
A.B.C.D.
A
(三)课后作业
基础型自主突破
1.展开式中的系数为,各项系数之和为.
45,0.
2.多项式()的展开式中,的系数
为.
0.提示:
3.若二项式()的展开式中含有常数项,则的最小值为()
A.4B.5C.6D.8
B.
4.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最低应()
A.低于5%B.在5%~6%之间
C.在6%~8%之间D.在8%以上
C.
5.在的展开式中,奇数项之和为,偶数项之和为,则等于()
A.0B.C.D.
D.
6.若(1-2x)2009=a0+a1x+…+a2009x2009(x∈R),求的值.
令x=0,则a0=1,令x=,则=0,
∴=-1.
能力型师生共研
7.的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,求(1-x)n的展开式中系数最小的项的系数.
展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得2n=64,所以n=6,(1-x)6的展开式中,第四项的系数最小,为-=-20.
8.若的展开式中含有非零常数项,求正整数n的最小值.
令=0,得.∴n取最小值为4.
9.令an为(1+x)的展开式中含x项的系数,求数列的前n项和.
∵,∴,,
∴
10.已知(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数与(x+)4的展开式中x3的系数相等,求cosθ.
(xcosθ+1)5=(1+xcosθ)5,展开式中x2的系数为cos2θ.
(x+)4=(+x)4,展开式中x3的系数为,
由题意可知cos2θ=,∴cos2θ=,
∴cosθ=.
探究型多维突破
11.若(cosφ+x)5的展开式中x3的系数为2,则sin(2φ+)=________.
12.已知,求:
(1);
(2);
(3).
(1)当时,,展开式右边为
∴,
当时,,∴,
(2)令,①
令,②
①②得:
,∴.
(3)由展开式知:
均为负,均为正,
∴由
(2)中①+②得:
,
∴,
.
自助餐
1.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()
A.74B.121C.-74D.-121
解:
D(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=,(1-x)5中x4的系数为,-(1-x)9中x4的系数为,-126+5=-121.
2.在的展开式中,x2的系数是224,则的系数是()
A.14B.28C.56D.112
A,令2n-2r=2,r=n-1,则,∴.
∴n=4.再令8-2r=-2,∴r=5.∴.
3.在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能等于()
A.13,14B.14,15C.12,13D.11,12,13
D分三种情况:
(1)若仅T7系数最大,则共有13项,n=12;
(2)若T7与T6系数相等且最大,则共有12项,n=11;
(3)若T7与T8系数相等且最大,则共有14项,n=13,所以n的值可能等于11,12,13.
4.在(x+1)(2x+1)(nx+1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()
B1+2+3+…+n==.
5.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<
0,则x的取值范围是()
A.B.C.D.
D二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=·
x9-r·
yr依题意有
由此得
由此解得x>
1,即x的取值范围是(1,+∞).
6.设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=()
A.0B.1C.11D.12
D512012+a=(13×
4-1)2012+a,被13整除余1+a,结合选项可得a=12时,512012+a能被13整除.
7.在的展开式中常数项是____________.(用数字作答)
45T要求常数项,即40-5r=0,可得r=8,代入通项公式可得.
8.若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+…+1(n∈N*),且a∶b=3∶1,那么n=_____________.
11,,又a∶b=3∶1,∴.∴,解得n=11.
9.在(1+x)3+(1+)3+(1+)3的展开式中,x的系数为_______(用数字作答).
7++=23-1=7.
10.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,求a3.
不妨设1+x=t,则x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,则a3=(-1)2=10.
11.若(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R),求(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004).(用数字作答)
2004令x=0,得a0=1;
令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a2004,故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)=2003a0+a0+a1+a2+…+a2004=2004.
12.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,求k.
(1+kx2)6按二项式定理展开的通项为,∴x8的系数为.∴15k4<120,也即k4<8.而k是正整数,故k只能取1。
略。
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